1.高考数学数列题型专题汇总1一、选择题21、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列3 条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ） 4（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a 5（C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a 6【答案】B78 2、已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a9（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）9710【答案】C 1112 3、定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 13 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，14 则不同的“规范01数列”共有15（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个16【答案】C 17182.4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ，201122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则2223 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24C ．{}n d 是等差数列D ．2{}n d 是等差数列 25【答案】A 2627 28 2930 二、填空题311、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则32 6=S _______..33【答案】6 34352、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意363.*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.37【答案】4383、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值39 为 . 40【答案】64 4142 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，43 S 5= .44【答案】1 121 45 4647 三、解答题481、设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整49 数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“)(A G 是数列A 的所50 有“G 时刻”组成的集合.51（1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素；52（2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；53（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N）,则)(A G 的元素个54 数不小于N a -1a .554.5657 如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1. 58从而)(A G m i ∈且1+=i i n m .59又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G .6061625.2、已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+63（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；64（Ⅱ）令1(1).(2)n n n n n a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .65【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=， 66所以111=a ，当2≥n 时，6756)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，68又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．69又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21． 70当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722，71解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132+=-=n da b n n ． 72(Ⅱ)由1112)33()33()66()2()1(+++⋅+=++=++=n nn n n n n n n n n b a c ， 73于是14322)33(2122926+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T ， 74两边同乘以２，得7521432)33(2)3(29262++⋅++⋅++⋅+⋅=n n n n n T ，76两式相减，得776.214322)33(23232326++⋅+-⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T782222)33(21)21(2323+⋅+---⋅+⋅=n n n79222232)33()21(2312++⋅=⋅++-⋅+-=n n n n n n T ．8081 3、若无穷数列{}n a 满足：只要*(,)p q a a p q N =∈，必有11p q a a ++=，则称{}n a 具82 有性质P .83（1）若{}n a 具有性质P ，且12451,2,3,2a a a a ====，67821a a a ++=，求3a ；84（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，85 151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ，并说明理由；86（3）设{}n b 是无穷数列，已知*1sin ()n n n a b a n N +=+∈.求证：“对任意1,{}n a a 87 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”. 88【解析】89试题分析：（1）根据已知条件，得到678332a a a a ++=++，结合67821a a a ++=90 求解．91（2）根据{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，写出通项公式，从而可得92 520193n n n n a b c n -=+=-+．93通过计算1582a a ==，248a =，63043a =，26a a ≠，即知{}n a 不具有性质P ． 94（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．957.试题解析：（1）因为52a a =，所以63a a =，743a a ==，852a a ==． 96于是678332a a a a ++=++，又因为67821a a a ++=，解得316a =．97（2）{}n b 的公差为20，{}n c 的公比为13，98所以()12012019n b n n =+-=-，1518133n n n c --⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭．99520193n n n n a b c n -=+=-+．1001582a a ==，但248a =，63043a =，26a a ≠， 101所以{}n a 不具有性质P ． 102（3）[证]充分性：103当{}n b 为常数列时，11sin n n a b a +=+．104对任意给定的1a ，只要p q a a =，则由11sin sin p q b a b a +=+，必有11p q a a ++=． 105充分性得证． 106必要性：107用反证法证明．假设{}n b 不是常数列，则存在k *∈N ， 108使得12k b b b b ==⋅⋅⋅==，而1k b b +≠．109下面证明存在满足1sin n n n a b a +=+的{}n a ，使得121k a a a +==⋅⋅⋅=，但21k k a a ++≠．1108.设()sin f x x x b =--，取m *∈N ，使得m b π>，则111()0f m m b ππ=->，()0f m m b ππ-=--<，故存在c 使得()0f c =． 112取1a c =，因为1sin n n a b a +=+（1n k ≤≤），所以21sin a b c c a =+==， 113依此类推，得121k a a a c +==⋅⋅⋅==．114但2111sin sin sin k k k k a b a b c b c ++++=+=+≠+，即21k k a a ++≠． 115所以{}n a 不具有性质P ，矛盾． 116必要性得证．117综上，“对任意1a ，{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”． 118119 4、已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+ ，120 其中q>0，*n N ∈ .121（I ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求a n 的通项公式；122(ii)设双曲线2221ny x a -= 的离心率为n e ，且253e = ，证明：123121433n nn n e e e --++⋅⋅⋅+>.124【答案】（Ⅰ）1=n n a q ；（Ⅱ）详见解析. 125解析：（Ⅰ）由已知，1211,1,nnnnS qS S qS 两式相减得到21,1nn a qa n.1269.又由211S qS 得到21a qa ，故1nn a qa 对所有1n 都成立.127所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 128从而1=n n a q .129由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a ，即22=32,q q ，则(21)(2)0q+q，130 由已知,0q ，故 =2q .131所以1*2()n na n N .132（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n na q .133所以双曲线2221n y xa 的离心率 22(1)11nn n e a q .134由2513q q 解得43q . 135因为2(1)2(1)1+kkq q 1*k q kN （）. 136于是11211+1n n nq e e e q qq ， 137故1231433n nn e e e . 138139 5、已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的140 ,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等比中项.14110.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；142(Ⅱ)设 ()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk k T d =<∑143【解析】⑴22112112n n n n n n n n C b b a a a a d a +++++=-=-=⋅144 21212()2n n n n C C d a a d +++-=-=为定值．145∴{}n C 为等差数列146⑵2213211(1)nk n k n k T b C C C -==-=++⋅⋅⋅+∑21(1)42n n nC d -=+⋅212(1)nC d n n =+-（*）147由已知22212123122122()4C b b a a a a d a d a d d =-=-=⋅=+= 148将214C d =代入（*）式得22(1)n T d n n =+149∴2111112(1)nnk k kT d k k ===+∑∑150212d<，得证 151 6、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 152 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，．153（Ⅰ）求111101b b b ，，；154（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和． 155 【解析】⑴设 {}n a 的公差为d ，74728S a ==，15611.∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． 157 ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===．158 ⑵ 记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+159 [][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+． 160当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；161 当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；162 当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；163 当lg 3n a =时，1000n =．164 ∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．165 7、已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．166 （I ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；167 （II ）若53132S =，求λ． 168 【解析】16912.170171 8、设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． 172（I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；173 （II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ． 17413.175 （II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >， 1761121112122222222n m n n n n m m n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 177 ********n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 178 112n -<， 179 故 180 11222m n n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 181 11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 182 3224m n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭． 18314. 从而对于任意m n ，均有184185。