立体几何中有关体积的求法
一、常见图形的面积求解方法。
二、空间中常见几何体的体积公式。
三、空间中常见求体积问题变换方法。
等价转换法：当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．
1.在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱11111A B A D A A ，，上的点，且满足
11112A M A B =
，112A N ND =，113
4
A P A A =（如图1）
，试求三棱锥1A MNP -的体积．
2.（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱
1111ABCD A B C D -中,//AB CD ,AD AB ⊥,2AB =,2AD =,13AA =,E 为CD 上一点,1DE =,
3EC =.求三棱锥111B EA C -的体积．
割补法：割补法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．
3.如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比
4.如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，求几何体EFGH ABCD -的体积。
5.如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，
060ABC ∠=，其侧面展开图是边长为8的正方形。
E 、F 分别是侧棱1AA 、
1CC 上的动点，8=+CF AE ． 问多面体1BCFB AE -的体积V 是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V 的取值范围．
C
D
H
E
B
G
F
真题演练：
【2014全国2，文7】正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2
D 为BC 中点，求三棱锥
11A B DC -的体积
1．【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点,D 在平面ABP 内的正投影为点E,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；
（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．
1
P
A
B
D C
G
E
2. 【2014高考北京文第17题】（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，
AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11A C 、BC 的中点.
（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.
3. 【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，
V ∆AB 为等边三角形，
C C A ⊥B
且C C A =B =O ，M 分别为AB ，V A 的中点．
（I ）求证：V //B 平面C MO ；（II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；（III ）求三棱锥V C -AB 的体积．
C 1
B 1
A 1
F
E C
B
A
4. 【2014高考广东卷.文.18】(本小题满分13分)如图2,四边形为矩形,平面,,
,作如图3折叠,折痕.其中点.分别在线段.上,沿折叠后点在线
段上的点记为,并且
.(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.
5. [2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，AD
BC ，3AB AD AC ===，
4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（I ）证明MN
平面PAB ；
（II ）求四面体N BCM -的体积.
ABCD PD ⊥ABCD 1AB =2BC PC ==//EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF ⊥CF ⊥MDF M CDE
-图3
图2
M
F
E
P
D
C
B
A P
D
C
B A
6. 【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2
AD BC BAD AB BC π
∠=
=1
2
AD a =
=，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥
1A BCDE -.(I)证明：CD ⊥平面1
AOC ；
(II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为a 的值.
7. 【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，
BE ABCD ⊥平面，
（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为6
3
，求该三棱锥的侧面积.
8.【2014福建,文19】（（本小题满分12分）
如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,BCD CD BD ⊥. （1）求证：CD ⊥平面ABD ；
（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.
9. 【2014辽宁文19】（本小题满分12分）
如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0
120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点. （Ⅰ）求证：EF ⊥平面BCG ； （Ⅰ）求三棱锥
D -BCG 的体积.
补充练习
1、如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2AC=2BC ，D 是AA 1的中点，CDⅠB 1D ． （1）证明：CDⅠB 1C 1；
（2）平面CDB 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．
2．已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PAⅠ平面ABCD ，PA=，AB=1，AD=2，
ⅠBAD=120°，E ，G 分别是BC ，PC 的中点．求三棱锥P ﹣GED 的体积．
3.在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点． （1）求证：EFⅠ平面ABC 1D 1； （2）求证：EFⅠB 1C ； （3）求三棱锥1B EFC V 的体积．
4.在四棱锥P ﹣ABCD 中，ⅠABC=ⅠACD=90°，ⅠBAC=ⅠCAD=60°，PAⅠ平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA=2AB=2．求三棱锥P ﹣ACE 的体积V ．。