运筹学习题集二习题一1.1 用法求解下列线性规划问题并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。

(1) min z ＝6x1＋4x2 (2) max z ＝4x1＋8x2 st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2 (4) max z ＝3x1－2x2 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2 (6) max z ＝3x1＋4x2 st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中找出所有基本解指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数比较找出最优解。

(1) max z ＝3x1＋5x2 (2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3 st. x1 ＋x3 ＝4 st. x1 ＋3x3－x4 ＝32x2 ＋x4 ＝12 2x2＋2x3 －x5＝53x1＋2x2 ＋x5 ＝18 xj ≥0 （j＝1, (5)xj ≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用法和单纯形法求解下列线性规划问题并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于法可行域中的哪一个顶点。

(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1 ≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥01.4. 分别用大M法和两阶段法求解下列线性规划问题并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x1＋5x2＋x3 (2) max z ＝2x1＋x2＋x3 st. 3x1＋2x2＋x3≥18 st. 4x1＋2x2＋2x3≥42x1＋x2 ≤4 2x1＋4x2 ≤20x1＋x2－x3＝5 4x1＋8x2＋2x3≤16xj ≥0 （j＝1,2,3）xj ≥0 （j＝1,2,3）(3) max z ＝x1＋x2 (4) max z ＝x1＋2x2＋3x3－x4 st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋2x2＋3x3＝154x1＋6x2≥－12 2x1＋x2＋5x3＝202x2≥4 x1＋2x2＋x3＋x4＝10x1, x2≥0 xj ≥0 （j＝1, (4)(5) max z ＝4x1＋6x2 (6) max z ＝5x1＋3x2＋6x3 st. 2x1＋4x2 ≤180 st. x1＋2x2＋x3≤183x1＋2x2 ≤150 2x1＋x2＋3x3≤16x1＋x2＝57 x1＋x2＋x3＝10x2≥22 x1, x2≥0x3无约束x1, x2≥01.5 线性规划问题max z＝CXAX＝bX≥0如X*是该问题的最优解又λ0为某一常数分别讨论下列情况时最优解的变化：（1）目标函数变为max z＝λCX；（2）目标函数变为maxz＝（C＋λ）X；（3）目标函数变为max z＝X约束条件变为AX＝λb。

1.6 下表中给出某求极大化问题的单纯形表问表中a1, a2, c1, c2, d为何值时以及表中变量属于哪一种类型时有：（1）表中解为唯一最优解；（2）表中解为无穷多最优解之一；（3）表中解为退化的可行解；（4）下一步迭代将以x1替换基变量x5 ；（5）该线性规划问题具有无界解；（6）该线性规划问题无可行解。

x1 x2 x3 x4 x5x3 d 4 a1 1 0 0x4 2 －1 －5 0 1 0x5 3 a2 －3 0 0 1cj －zj c1 c2 0 0 01.7 战斗机是一种重要的作战工具但要使战斗机发挥作用必须有足够的驾驶员。

因此生产出来的战斗机除一部分直接用于战斗外需抽一部分用于驾驶员。

已知每年生产的战斗机数量为aj（j＝1,…,n）又每架战斗机每年能出k名驾驶员问应如何分配每年生产出来的战斗机使在n年内生产出来的战斗机为空防作出最大贡献？1.8. 某石油管道公司希望知道在下图所示的管道络中可以流过的最大流量是多少及怎样输送弧上数字是容量限制。

请建立此问题的线性规划模型不必求解。

2 5 4103 111 4 3 656 8 73 51.9. 某昼夜服务的公交线每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下：班次时间所需人数1 6:00-10:00 602 10:00-14:00 703 14:00-18:00 604 18:00-22:00 505 22:00-2:00 206 2:00-6:00 30设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班并连续工作八小时问该公交线至少配备多少名司机和乘务人员。

列出此问题的线性规划模型。

1.10 某班有男生30人女生20人周日去植树。

根据经验一天男生平均每人挖坑20个或栽树30棵或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个或栽树20棵或给15棵树浇水。

问应怎样安排才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型不必求解。

1.11.某糖果用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。

已知各种牌号糖果中A、B、C含量原料成本各种原料的每月限制用量三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。

问该每月应生产这三种牌号糖果各多少千克使该获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。

甲乙丙原料成本(/千克) 每月限量（千克）A≥60％≥15％ 2.00 2000B 1.50 2500C ≤20％≤60％≤50％ 1.00 1200加工费（/千克）0.50 0.40 0.30售价 3.40 2.85 2.251.12. 某商店制定7－12月进货售货计划已知商店仓库容量不得超过500件6月底已存货200件以后每月初进货一次假设各月份此商品买进售出单价如下表所示问各月进货售货各多少才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型不必求解。

月份7 8 9 10 11 12买进单价28 24 25 27 23 23售出单价29 24 26 28 22 251.13 .某农场有100公顷土地及15000资金可用于发展生产。

农场劳动力情况为秋冬季3500人日春夏季4000人日如劳动力本身用不了时可外出干活春夏季收入为2.1／人日秋冬季收入为1.8／人日。

该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦并饲养奶牛和鸡。

种作物时不需要专门投资而饲养动物时每头奶牛投资400每只鸡投资3。

养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草并占用人工秋冬季为100人日春夏季为50人日年净收入400／每头奶牛。

养鸡时不占土地需人工为每只鸡秋冬季需0.6人日春夏季为0.3人日年净收人为2／每只鸡。

农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡牛栏允许最多养32头奶牛。

三种作物每年需要的人工及收人情况如下表所示。

大豆玉米麦子秋冬季需人日数203510春夏季需人日数507540年净收入(／公顷)175300120试决定该农场的经营方案使年净收人为最大。

(建立线性规划模型不需求解)习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4 st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4 ≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3 ＝－4xj ≥0 （j＝1,2,3）x1 －x3＋x4≥1x1x3≥0x2x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3 ≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3 ≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5x1≥0x4≤0x2x3 无约束x1≤0 x2≥0x3 无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CXAX=bX≥0。

分别说明发生下列情况时其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；（4）模型中全部x1用3 代换。

2.3已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2 ＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2xj≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1120）试根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。

2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2xj≥0（j＝1,2,3,4）其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1试根据对偶问题的性质求出原问题的最优解。

2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80xj≥0 （j＝1,2,3）（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。

2.6 已知线性规划问题max z＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8xj≥0（j＝1,2）用单纯形法求得最终表如下表所示：x1x2x3x4bx201—x110—1j=cj-Zj00——试用灵敏度分析的方法分别判断：（1）目标函数系数c1或c2分别在什么范围内变动上述最优解不变；（2）约束条件右端项b1b2当一个保持不变时另一个在什么范围内变化上述最优基保持不变；（3）问题的目标函数变为max z ＝12x1＋4x2时上述最优解的变化；（4）约束条件右端项由变为时上述最优解的变化。

2.7 线性规划问题如下：max z＝—5x1＋5x2＋13x3st. —x1＋x2＋3x3≤20 ①12x1＋4x2＋10x3≤90 ②xj≥0 （j＝1,2,3）先用单纯形法求解然后分析下列各种条件下最优解分别有什么变化？（1）约束条件①的右端常数由20变为30；（2）约束条件②的右端常数由90变为70；（3）目标函数中x3的系数由13变为8；（4）x1的系数列向量由（—112）T变为（05）T；（5）增加一个约束条件③：2x1＋3x2＋5x3≤50；（6）将原约束条件②改变为：10x1＋5x2＋10x3≤100。