全国高中数学联赛江西省预赛试题一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞．2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则ab的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞； D 、[]2,2-.3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27．4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）. A 、6； B 、5； C 、4； D 、3．5、设(212n n a +=+，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）．A 、必为无理数；B 、必为偶数；C 、必为奇数；D 、可为无理数或有理数．6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和.你的判断是（ ）A.甲对乙错；B. 甲错乙对；C.甲乙都对；D.甲乙都不一定对. 二、填空题（每小题9分，共54分）7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22194x y +=所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 .8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 .9、四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ∆的垂心，G 是ABC ∆的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ．10、000sin 20sin 40sin80⋅⋅= .11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，则201k k b ==∑ .12、从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M =中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ． 三、解答题：13、（20分）AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，（AB AC <），12,I I 分别是,ABD ACD ∆∆的内心，12AI I ∆的外接圆O 分别交,AB AC 于,E F ，直线,EF BC 交于点M ；证明：12,I I 分别是ODM ∆的内心与旁心．14、（20分）设,,x y z 为非负实数，满足1xy yz zx ++=，证明： 11152x y y z z x ++≥+++．15、（20分）对于2n 元集合{}1,2,,2M n =，若n 元集{}12,,,n A a a a =，{}12,,,n B b b b =满足：,A B M A B ==∅，且11nnk k k k a b ===∑∑，则称A B 是集M 的一个“等和划分”（A B 与BA 算是同一个划分）． 试确定集{}1,2,,12M =共有多少个“等和划分”．全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、选择题（每小题6分,共36分）1、若函数()()2lg 43f x ax x a =-+-的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）. A 、()4,+∞ ；B 、[]0,4；C 、()0,4；D 、()(),14,-∞-+∞．答案：B ．解：欲使()f x 的值域为R ，当使真数243ax x a -+-可取到一切正数，故或者0a =；或者0a >且()24430a a --≥，解得04a ≤≤2、设221a b +=，()0b ≠，若直线2ax by +=和椭圆22162x y +=有公共点，则ab的取值范围是（ ）.A 、11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； B 、[]1,1-； C 、(][),11,-∞-+∞； D 、[]2,2-.答：C ． 解：将2axy b-=代入椭圆方程并整理得，()22223121260a b x ax b +-+-=， 因直线和椭圆有公共点，则判别式()()()222212431260a a b b -+-≥，利用221a b +=，化简得22a b ≥，所以1a b ≥．即(][),11,ab∈-∞-+∞．3、四面体ABCD 的六条棱长分别为7,13,18,27,36,41，且知41AB =，则CD = .A 、7 ；B 、13 ；C 、18 ；D 、27． 答案：B .解：四面体中，除CD 外，其余的棱皆与AB 相邻接，若长13的棱与AB 相邻，不妨设13BC =，据构成三角形条件，可知{}7,18,27AC ∉，36, 7AC BD ⇒=⇒=，{}{},18,27AD CD ⇒=，于是ABD ∆中，两边之和小于第三边，矛盾。

因此只有13CD =.另一方面，使41,13AB CD ==的四面体ABCD 可作出，例如取7,36,18,27BC AC BD AD ====.故选B4、若对所有实数x ，均有sin sin cos cos cos 2k k k x kx x kx x ⋅+⋅=，则k =（ ）.A 、6；B 、5；C 、4；D 、3． 答：D .解：记()sin sin cos cos cos 2k k k f x x kx x kx x =⋅+⋅- ，则由条件，()f x 恒为0，取2x π=，得()sin12k k π=-，则k 为奇数，设21k n =-，上式成为sin 12n ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此n 为偶数，令2n m =，则41k m =-，故选择支中只有3k =满足题意．5、设(212n n a +=+，n b 是n a 的小数部分，则当*n N ∈时，n n a b 的值（ ）．A 、必为无理数；B 、必为偶数；C 、必为奇数；D 、可为无理数或有理数．答：C ．解：令22u v ==4,3u v uv +==-，,u v 是方程243x x =+的两根， 则2243,43u u v v =+=+，所以当2n ≥时，121243,43n n n n n n u u u v v v ----=+=+，令n n n S u v =+，则当2n ≥时，1201,2,4n n n S S S S S --=+==，故所有n S 为偶数，))2121212121222n n n n n u v S k +++++-=+==，))2121222n n k ++=+，因)21021n +<<，所以)212n +为n a 的小数部分，即)212n n b +=，))212121223n n n n na b +++=⋅==奇数．6、设n 为正整数，且31n +与51n -皆为完全平方数，对于以下两个命题： （甲）.713n +必为合数；（乙）.()28173n n +必为两个平方数的和.你的判断是（ ）A.甲对乙错；B. 甲错乙对；C.甲乙都对；D.甲乙都不一定对. 答案:C解：设2231, 51n a n b +=-=，,a b 为正整数；则()()()()()()22713931451323232n n n a b a b a b +=+--=-=-+…○1， 由此知，32a b -为正整数，且321a b -≠，因为若321a b -=，则()()222279321441n a b b b +==+=++，即()22742n n n =+-，则4n ，记4n k =，得51201n k -=-不为平方数，矛盾！所以322a b -≥，故由○1得， 713n +为合数；又因为()()()()()28173315143151n n n n n n +=++-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()2222222222a b a b a b ab ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦，故选C .（例如65是上述n 之一）.二、填空题（每小题9分，共54分）7、过点()1,1P 作直线l ，使得它被椭圆22194x y +=所截出的弦的中点恰为P ，则直线l 的方程为 . 答案：4913x y +=．解：设直线l 的方程为()11y k x =-+，代入椭圆方程，整理得，()()22294181918270k x k k x k k ++-+--=，设其两根为12,x x ，则1212x x +=， 即()218142,949k k k k --==-+，所以直线l 的方程为()4119y x =--+，即4913x y += 8、设x R ∈，则函数()f x =的最小值为 .答案：13.解：如图，取A 为数轴原点，12AB =，再作AB 垂线,AC BD ，使1,4AC BD ==，在数轴上取点P ，使AP x =，则()f x CP DP =+，当,,C P D 共线时，f值最小，此时min 13f CD AE ====.9、四面体ABCD 中，面ABC 与面BCD 成060的二面角，顶点A 在面BCD 上的射影H 是BCD ∆的垂心，G 是ABC ∆的重心，若4AH =，AB AC =，则GH = ．解：设面AHD 交BC 于F ，则因AB AC =，故G 在AF 上，且13GF AF =，060AFH ∠=，于是0sin 60AH AF ==，12FH AF ==，GF =，在三角形GFH 中，由余弦定理得GH =10、000sin 20sin 40sin80⋅⋅=. 答案：8．解：()0000008sin 20sin 40sin804cos 20cos60sin80⋅⋅=-()0000004sin80cos202sin802sin100sin 602sin80=-=+-02sin 60==所以000sin 20sin 40sin 80⋅⋅=． 11、数列{}n a 满足：11a =，且对每个*n N ∈，1,n n a a +是方程230n x nx b ++=的两根，则201k k b ==∑ .答：6385．解：对每个*n N ∈，13n n a a n ++=- ……○1，1n n n a a b += ……○2， 将○1写作()1313332424n n n n a a ++⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，因此3324n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是一个公比为1-的等比数列，故 ()13371244n n n a -+-=-，即()()13217144n n n a --=-+-⋅， ()()13217144n n n a ++=-+-⋅；于是()21929211488n n n n b a a n +==-+-⋅；2016385k k b ==∑．12、从前2008个正整数构成的集{}1,2,,2008M =中取出一个k 元子集A ，使得A 中任两数之和不能被这两数之差整除，则k 的最大值为 ．答案：670.解：首先，我们可以取670元集{}1,4,7,,2008A =，A 中任两数之和不能被3整除，而其差是3的倍数；其次，将M 中的数自小到大按每三数一段，共分为670段：1,2,3,4,5,6,7,8,9,,2005,2006,2007,2008,从A 中任取671个数，必有两数,x y 取自同一段，则1x y -=或2，注意x y -与x y +同奇偶，于是()()x y x y -+．因此k 的最大值为670. 三、解答题：13、（20分）AD 是直角三角形ABC 斜边BC 上的高，（AB AC <），12,I I 分别是,ABD ACD ∆∆的内心，12AI I ∆的外接圆O 分别交,AB AC 于,E F ，直线,EF BC 交于点M ；证明：12,I I 分别是ODM ∆的内心与旁心．证：如图，连12121,,,,DI DI BI AI I F ，由090EAF ∠=，则圆心O 在EF 上，设直径EF 交AD 于O '，并简记ABC ∆的三内角为,,A B C ，由1122B I BD DAC ∠==∠ 0212,45I AD I DB I DA =∠∠==∠，所以1DBI ∆∽2DAI ∆，得12DI DBDI DA =，且01290I DI BDA ∠==∠，故12I DI ∆∽BDA ∆，而0121,902B DI I B AI D ∠=∠=+， 注意111212AI D AI F FI I DI I ∠=∠+∠+∠，1122,2B AI F AEF FI I FAI ∠=∠∠=∠=， 所以090AEF B C DAB ∠=-==∠，因此O E O A ''=，同理得O F O A ''=，故O '与O 重合，即圆心O 在AD 上，而22EOD OEA OAE OAE C ∠=∠+∠=∠=，112EOI EAI BAD C ∠=∠=∠=，所以1OI 平分DOM ∠；同理得2OI 平分DOF ∠，即1I 是ODM ∆的内心，2I 是ODM ∆的旁心．证二：如图，因为90BAC ∠=︒，故12AI I ∆的外接圆圆心O 在EF 上，连12,12,,OI OI I D I D ，则由12,I I 为内心知，1245I AI ∠=︒， 所以121212290I OI I AI I DI ∠=∠=︒=∠，于是12,,,O I D I 四点共圆，所以211245I I O I I O ∠=∠=︒，又因221245I DO I I O I DA ∠=∠=︒=∠，因此点O 在AD 上，即O 为EF 与AD 的交点．设AD 与O 交于另一点H ，而由112EAI I AH ∠=∠，22HAI FAI ∠=∠，可知，12,I I 分别为,EH HF 的中点，所以11EOI DOI ∠=∠， 22DOI FOI ∠=∠．因此，点12,I I 分别为OMD ∆的内心与旁心．14、（20分）设,,x y z 为非负实数，满足1xy yz zx ++=，证明：11152x y y z z x ++≥+++． 简证：为使所证式有意义，,,x y z 三数中至多有一个为0；据对称性，不妨设0x y z ≥≥≥，则0,0,0x y z >>≥，对正数,x y 作调整， 由于11y z z x+≥=++x y =，此时条件式成为221x xz +=，则1x ≤，且有212x z x -=，于是11112x y y z z x x ++≥+++21421x x x =++， 只要证2145212x x x +≥+，即2319550x x x +--≥，也即()()215410x x x --+≥，此为显然，取等号当且仅当1,0x y z ===，故命题得证．详证：为使所证式有意义，,,x y z 三数中至多有一个为0；据对称性，不妨设0x y z ≥≥≥，则0,0,0,1x y z xy >>≥≤；()01、当x y =时，条件式成为221x xz +=，212x z x -=，21x ≤，而2211121214212212x x x x y y z z x z x x x x x x++=+=+=+-++++++， 只要证，2145212x x x +≥+，即2319550x x x +--≥，也即()()215410x x x --+≥，此为显然；取等号当且仅当1,0x y z ===．()02、再证，对所有满足1xy yz zx ++=的非负实数,,x y z ，皆有11152x y y z z x ++≥+++．显然，三数,,x y z 中至多有一个为0，据对称性， 仍设0x y z ≥≥≥，则0,0,0,1x y z xy >>≥≤，令cot ,cot x A y B ==，,A B 为锐角，以,A B 为内角，构作ABC ∆，则()1cot cot 1cot cot cot cot A B xyC A B A B x y--=-+==++0z =≥，于是090C ≤，且由0x y z ≥≥≥知，cot cot cot 0A B C ≥≥≥；于是090A B C ≤≤≤，即ABC ∆是一个非钝角三角形．下面采用调整法，对于任一个以C 为最大角的非钝角三角形ABC ，固定最大角C ，将ABC ∆调整为以C 为顶角的等腰A B C ''∆，其中2A BA B +''∠=∠=，且设cottan 22A B Ct +==，记()111,,f x y z x y y z z x =+++++，据()01知， ()5,,2f t t z ≥． 今证明，()(),,,,f x y z f t t z ≥．即111122x y y z z x t t z++≥+++++ ……○1． 即要证 1111202x y t y z z x t z ⎛⎫⎛⎫-++-≥ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ……○2 先证 2x y t +≥ ……○3，即证 cot cot 2cot2A BA B ++≥， 即 ()2cossin 2sin sin sin 2A BA B A B A B ++≥+，此即 2sin sin sin 2A B A B +≥，也即 ()1cos sin sin A B A B -+≥，即 ()cos 1A B -≤，此为显然． 由于在A B C ''∆中，221t tz +=，则()()()222221t z t z t z z t z ++==+++；而在ABC ∆中， ()()211221x y z x y zy z z x y z z x z +++++==+++++，因此○2式成为 ()()2112012x y t zt x y ⎛⎫+--≥ ⎪⎪++⎝⎭ ……○4， 只要证，()211012z t x y -≥++ ……○5，即证 ()221t x y z +≥+，注意○3式以及 212t z t -=，只要证2221412t t t ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭，即421512t t ≥+，也即()221521t t -≥…○6由于最大角C 满足：006090C ≤≤，而cottan 22A B Ct +==1t ≤≤，所以 ()2211152152133t t ⎛⎫-≥⨯-= ⎪⎝⎭，故○6成立，因此○5得证，由○3及○5得○4成立，从而○1成立，即()(),,,,f x y z f t t z ≥，因此本题得证． 15、（20分）对于2n 元集合{}1,2,,2M n =，若n 元集{}12,,,n A a a a =，{}12,,,n B b b b =满足：,A B M A B ==∅，且11nnk k k k a b ===∑∑，则称A B 是集M的一个“等和划分”（A B 与BA 算是同一个划分）． 试确定集{}1,2,,12M =共有多少个“等和划分”． 解一：不妨设12A ∈，由于当集A 确定后，集B 便唯一确定，故只须考虑集A 的个数，设{}126,,,A a a a =，6a 为最大数，由121278+++=，则12639a a a +++=，612a =，于是 1234527a a a a a ++++=，故{}112345,,,,A a a a a a =中有奇数个奇数．()1、若1A 中有5个奇数，因M 中的六个奇数之和为36，而27369=-，则{}11,3,5,7,11A =，这时得到唯一的{}1,3,5,7,11,12A =；()2、若1A 中有3个奇数、两个偶数；用p 表示1A 中这两个偶数12,x x 之和；q 表示1A 中这三个奇数123,,y y y 之和，则6,9p q ≥≥，于是21,18q p ≤≤．共得1A 的24种情形．其中，()01、当6,21p q ==，则()()12,2,4x x =，()()()123,,1,9,11,3,7,11y y y =，()5,7,9；可搭配成1A 的3个情形；()02、当8,19p q ==，则()()12,2,6x x =，()()()()123,,1,7,11,3,5,11,3,7,9y y y =；可搭配成1A 的3个情形；()03、当10,17p q ==，则()()()12,2,8,4,6x x =，()()()123,,1,5,11,1,7,9y y y =，()3,5,9，可搭配成1A 的6个情形；()04、当12,15p q ==，则()()()12,2,10,4,8x x =，()()()123,,1,3,11,1,5,9y y y =，()3,5,7，可搭配成1A 的6个情形；()05、当14,13p q ==，则()()()12,4,10,6,8x x =，()()()123,,1,3,9,1,5,7y y y =，可搭配成1A 的4个情形；()06、当16,11p q ==，则()()12,6,10x x =，()()123,,1,3,7y y y =； 可搭配成1A 的1个情形；()07、当18,9p q ==，则()()12,8,10x x =，()()123,,1,3,5y y y =； 可搭配成1A 的1个情形．()3、若1A 中有一个奇数、四个偶数，由于M 中除12外，其余的五个偶数和24681030++++=，从中去掉一个偶数，补加一个奇数，使1A 中五数之和为27，分别得到1A 的4个情形：()()()()7,2,4,6,8,5,2,4,6,10,3,2,4,8,10,1,2,6,8,10． 综合以上三步讨论，可知集A 有124429++=种情形，即M 有29种“等和划分”． 解二：元素交换法，显然661139i i i i a b ====∑∑，恒设12A ∈；()01、首先注意极端情况的一个分划：{}{}001,2,3,10,11,12,4,5,6,7,8,9A B ==，显然数组{}1,2,3与{}10,11,12中，若有一组数全在A 中，则另一组数必全在A 中； 以下考虑10,11两数至少一个不在A 中的情况，为此，考虑00,A B 中个数相同且和数相等的元素交换：()02、()()()10,15,6,4,7↔；()()()10,25,7,4,8↔；()()()()10,36,7,5,8,4,9↔； ()()10,2,34,5,6↔；共得到8个对换；()03、()()()11,15,7,4,8↔；()()()()11,26,7,5,8,4,9↔；()()()11,36,8,5,9↔； ()()11,1,34,5,6↔；()()11,2,34,5,7↔；共得到9个对换；()04、()()()↔；10,11,37,8,9↔；()() 10,11,16,7,9,5,8,9↔；()()10,11,26,8,9()()()↔；10,11,1,34,6,7,8,4,5,7,910,11,1,24,5,7,8,4,5,6,9↔；()()()()()()()↔；共得到11个对换．每个对换都得到一个10,11,2,35,6,7,8,4,6,7,9,4,5,8,9新的划分，因此，本题共得1891129+++=种等和划分．。