2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（二）27.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 60DAB DBF ∠=∠=︒，且F A =FC .（1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值.28.如图（甲），在直角梯形ABED 中，//AB DE ，AB BE ⊥，AB CD ⊥，且BC CD =，2AB =，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，现将ACD ∆沿CD 折起，使平面ACD ⊥平面CBED ，如图（乙）．（1）求证：平面FHG ∥平面ABE ；（2）若43BC =，求二面角D -AB -C 的余弦值．29.如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥平面,,90,ABCD AD BC ABC ∠=o P PA =3,1,2,3,PB BC AB AD O ====为AB 的中点.（1）证明:PO CD ⊥；（2）求二面角C PD O --的余弦值.30.如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ABC ⊥平面，四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =，060ADC ∠=.（1）求证：11//C D AB C 平面；（2）若1AA AC =，求证：111AC A B CD ⊥平面；（3）若2CD =，二面角1A C D C --的余弦值为若55，求三棱锥11C A CD -的体积．31.如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD =6，BC =2AB =4，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ，现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）若BE =1，是否存在折叠后的线段AD 上存在一点P ，且AP PD λ=u u u r u u u r ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（2）求三棱锥A -CDF 的体积的最大值，并求此时点F 到平面ACD 的距离． F E C B AD F ECB A D32.已知在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形，且AD =2，AB =1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点.（1）证明：PF ⊥DF ；（2）在线段P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ？若存在，确定点G 的位置；若不存在，说明理由.（3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45°,求二面角A - PD - F 的余弦值.33.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝22，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上.(1)若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．34.如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（Ⅰ）求证：AC⊥FB（Ⅱ）求二面角E﹣FB﹣C的大小．35.如图，在四棱锥P ABCD -中，E 是PC 的中点，底面ABCD 为矩形，4AB =，2AD =，PA PD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，平面ABE 与棱PD 交于点F ，平面PCD 与平面PAB 交于直线l .（1）求证：l EF ∥；（2）求PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为22121，求P AE B --的余弦值.36.在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =DC =21BC =1，E 是PC 的中点，面P A C ⊥面ABCD ．（Ⅰ）证明：ED ∥面P AB ；（Ⅱ）若PC =2，P A =3，求二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．37.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ABC =∠ACD =90°，∠BAC =∠CAD =60°，P A ⊥平面ABCD ，P A =2，AB =1．（1）设点E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面P AB ；（2）线段PD 上是否存在一点N ，使得直线CN 与平面P AC 所成的角θ的正弦值为515？若存在，试确定点N 的位置，若不存在，请说明理由．38.如图，已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2AB EC ==，2AE BE ==（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD .（2）求二面角A -EC -D 的余弦值.39.如图，在三棱锥P -ABC 中，侧面P AB 为边长为22的正三角形，底面ABC 为以AB 为斜边的等腰直角三角形， PC ⊥AC ．（Ⅰ）求证：PC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角B -AP -C 的的余弦值 .40.在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠BAD =60°，PB =PD =2，AC ∩BD =O ．（Ⅰ）证明：PC ⊥BD（Ⅱ）若E 是PA 的中点，且BE 与平面PAC 所成的角的正切值为36，求二面角A ﹣EC ﹣B 的余弦值．41. 如图，四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，,22==BC ADο90=∠=∠ABC BAD .（1）证明：BC PC ⊥；（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30°，求二面角D PC B --的余弦值.42.如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PB AB ⊥.（1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）若异面直线PC 与BD 所成角为60o，PB AB =，PB BC ⊥，求二面角B PD C --的大小.43.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，3BAD π∠=，2AB PD ==，2PB PC ==.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.44.如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中， EF AB //，2=AB ，1AD AF ==，060=∠BAF ,P O ,分别为CB AB ,的中点，M 为底面OBF ∆的重心.（Ⅰ）求证：PM ∥平面AFC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面CEF 所成角的正弦值.45.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD，CD AD ⊥，22AD CD AB ===，E ，F 分别为PC ，CD 的中点． （Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BEF ；（Ⅱ）设PA a =，若平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角,43ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围．46.如图所示ABCD 中，//AD BC ，AD DC AB ==，60ABC ∠=︒，将三角形ABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上.（Ⅰ）求证：平面ACD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）求二面角G AC D --的平面角的余弦值.47.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，PA PB =，E 为AC 的中点. （1）求证：PE AB ⊥；（2）设平面PAB ⊥平面ABC ，2PB BC ==，4AC =，求二面角B PA C --的平面角的正弦值.48.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面PAB ，PAC ∆为等边三角形，AB PB ⊥且2AB PB ==，O 为PA 的中点，点M 在AC 上.（1）求证：平面BOM ⊥平面PAC ； （2）求点P 到平面ABC 的距离.-中，PA⊥底面49.如图，在四棱锥P ABCD∥，ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD BC====，M为PB的中点，平面ADM交PC于N PA AD AB BC90BAD∠=︒，22点.⊥；（1）求证：PB DN--的余弦值.（2）求二面角P DN A50.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．51.已知四边形ABCD 为直角梯形，∠BCD =90°，AB ∥CD ，且AD =3，BC =2CD =4，点E ，F 分别在线段AD 和BC 上，使FECD 为正方形，将四边形ABFE 沿EF 翻折至使二面角B ﹣EF ﹣C 的所成角为60° （Ⅰ）求证：CE ∥面A ′DB ′（Ⅱ）求直线A ′B ′与平面FECD 所成角的正弦值52.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且4PD CD ==，2AD =． （1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦． （2）求二面角M CB P --的余弦值．DPA BCM试卷答案27.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD . ∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2,23BD AC ==. ∵DBF ∆为等边三角形，∴3OF =. ∴)()()(3,0,0,0,1,0,3,0,0,3AB C F -，∴()3,0,3,3,0,3,3,1,0AF CF CB =-==u u u r u u u r u u u r.设平面BCF 的法向量为(),,n x y z =r ，则33030CF n x z CB n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r ru u u r r， 取1x =，得()1,3,1n =--r.设直线AF 与平面BCF 所成角为θ，则10sin cos ,AF n AF n AF n θ⋅===⋅u u u r r u u u r r u u u r r28.（1）证明：由图（甲）结合已知条件知四边形CBED 为正方形，如图（乙）， ∵F H G 、、分别为AC AD DE 、、的中点，∴//,//FH CD HG AE ． ∵//CD BE ，∴//FH BE ．∵BE ⊂面ABE ，FH ⊄面ABE ．∴//FH 面ABE ． 同理可得//HG 面ABE ，又∵FH HG H ⋂=,∴平面//FHG 平面ABE ．（2）43BC=这时23AC=，从而2225AB AC BC=+=，过点C作CM AB⊥于M，连结MD．∵,,CD AC CD BC AC BC C⊥⊥⋂=，∴CD⊥面ABC．∵CM⊂面ABC，∴CM CD⊥,∴AB⊥面MCD，∵MD⊂面MCD，∴AB MD⊥，∴CMD∠是二面角D AB C--的平面角，由AB CM AC BC⋅=⋅得24453325AC BCCMAB⨯⋅===，∴224635MD MC CD=+=，在Rt MCD∆中45615cos46MCCMDMD∠===．29.解：（1）联结,PO因为3,PA PB==O为AB的中点,所以.PO AB⊥又平面PAB⊥平面,ABCD交线为,ABPO⊆平面,PAB所以.PO ABCD⊥平面又CD⊆平面,ABCD所以.PO CD⊥（2）取线段CD的中点,E2OE=，,OE BCP因为90,ABC∠=o所以,.AB BC AB OE⊥⊥由（1）知, .PO ABCD⊥平面故可以O为原点, 射线,,OB OE OP 分别为,x y z轴,轴轴的正半轴建立空间直角坐标系.O xyz-则(0,0,0),(1,1,0),(0,0,2),(1,3,0).O C P D-于是(1,1,22),(2,2,0),(0,0,22).CP CD OP=--=-=u u u r u u u r u u u r设平面CPD 的一个法向量为111(,,),x y z =m 由0,0CP CD ⋅=⋅=u u u r u u u rm m 得11111220,220x y z x y ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩令11,z =得(2,2,1).=m 设平面OPD 的法向量为222(,,),x y z =n 由0,0OP OD ⋅=⋅=u u u r u u u rn n 得222220,30z x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩令23,x =得(3,1,0).=n 所以424cos ,.5510⋅<>===⋅m n m n m n 易知二面角C PD O --的平面角为锐角,所以二面角C PD O --的余弦值为4.530.（1）【证明】连1BC 交1B C于M 点，连BD 交AC 于N 点，则1MN AB C⊂平面.由平几知：M 为1BC 的中点，N 为BD 的中点， 即MN 为1BC D ∆的中位线. 1//MN C D ∴.又1111,//C D AB C C D AB C ⊄∴平面平面.……………3分（2）【证明】111,,,AA ABCD AC ABCD AA AC AA CD ⊥⊂∴⊥⊥Q 平面平面. 又11111,,AA AC AAC C AC AC =∴⊥Q 知为正方形. 在ACD ∆中由余弦定理知：2223,AC CD AD AC CD CD AC ==+∴⊥得.又111,AC AA A CD A ACC =∴⊥I 平面. 又1111,AC A ACC CD AC ⊂∴⊥平面.又1111,AC CD C AC A B CD =∴⊥I 平面.……………………7分（3）【解】作1CH C D ⊥交1C D 于H ，连AG ，由（2）知：1AC CC D ⊥平面.111,,AC C D C D ACH AHC A C D C ∴⊥∴⊥∴∠--平面为二面角的平面角. ……9分 5cos ,tan 25ACAHC AHC CH∴∠=∠==；由2CD =知：23AC =得3CH =； 在1C CD ∆中由平几知：123CC =，于是得11AAC C 为正方形. 由（2）知：111111(2323)2432C A CD D A CC V V --==⨯⨯⨯⨯=. ………………………12分31.解：（1）存在P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时32λ=． 证明：当32λ=，此时35AP AD =， 过P 作MP FD ∥，与AF 交M ，则35MP FD =， 又5FD =，故3MP =， ∵3EC =，MP FD EC ∥∥，∴MP EC ∥，且MP EC =，故四边形MPCE 为平行四边形， ∴PC ME ∥，∵CP Ø平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ， ∴CP ∥平面ABEF 成立．（2）∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，ABEF ∩平面EFDC =EF ，AF EF ⊥， ∴AF ⊥平面EFDC ， ∵BE x =，∴AF x =，(04)x <<，6FD x =-，故三棱锥A -CDF 的体积2111162(6)(6)332332x x V x x x x +-⎛⎫=⨯⨯⨯-=-⨯= ⎪⎝⎭≤，∴3x =时，三棱锥的体积V 有最大值，最大值为3．建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)F ，(0,0,3)A ，(2,1,0)C ，(0,3,0)D ．(0,3,3)AD =-u u u r ，(2,2,0)CD =-u u u r，(0,0,3)FA =u u u r ．设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00n AD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r， ∴330220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1y =，则1x =，1z =，∴(1,1,1)n =r．∴点F 到平面ACD 的距离||3||3n FA d n ⋅===r u u u rr ． 32.（1）连接AF ，则2AF =，2DF =. 又2AD =，∴222DF AF AD +=，∴DF AF ⊥ 又∵PA ⊥平面ABCD ，∴DF PA ⊥.又PA AF A =I . ∴DF ⊥平面PAF .∵PF ⊂平面PAF ，∴DF PF ⊥.（2）过点E 作EH FD ∥交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有14AH AD =. 再过点H 作HG DP ∥交PA 于点G ，连接EG ，则HG ∥平面PFD 且14AG AP =. ∴平面EHG ∥平面PFD .∴EG ∥平面PFD .∴当G 为PA 的一个四等分点（靠近点A ）时，EG ∥平面PFD（3）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PBA ∠是PB 与平面ABCD 所成的角，且45PBA ∠=︒，∴1PA AB ==.取AD 的中点M ，连接FM ，则FM AD ⊥，FM ⊥平面PAD ，∴FM PD ⊥.在平面PAD 中，过点M 作MN PD ⊥于点N ，连接FN 则PD ⊥平面FMN ，则MNF ∠为二面角A PD F --的平面角. ∵Rt MND Rt PAD △∽△，∴MN MDPA PD=∵1PA =，1MD =，5PD =，且90FMN ∠=︒，∴55 MN=，305FN=，∴6cos6MNMNFFN∠==故二面角A PD F--的余弦值为6633.解:以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,22)，B1(0,4，22).(1)因为A1M＝3MB1，所以M(1,3,22).所以1CA＝(4,0,22)，AM＝(－3,3,22).所以cos〈1CA，AM||||11AMCA＝26244⋅-＝－3939.所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为3939.-------------------------8分(2)由A(4,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,22)，知AB＝(－4,4,0)，1AC＝(－4,0,22).设平面ABC1的法向量为n＝(a，b，c)，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅1ACnABn得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22444caba，令a＝1，则b＝1，c＝2，所以平面ABC1的一个法向量为n＝(1,1，2).因为点M在线段A1B1上，所以可设M(x,4－x,22)，所以AM＝(x－4,4－x,22).因为直线AM 与平面ABC 1所成角为30°，所以|cos 〈n ，AM 〉|＝sin 30°＝21. 由|n ·AM |＝|n ||AM ||cos 〈n ，AM 〉|，得|1·(x －4)＋1·(4－x )＋2·22|＝2·8)4()4(22+-+-x x ·21， 解得x ＝2或x ＝6.因为点M 在线段A 1B 1上，所以x ＝2，即点M (2,2,22)是线段A 1B 1的中点. -------------------------14分 34.（Ⅰ）证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且DC ∩DF =D ， ∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD ⊥FC ，……………………………………2分 ∵四边形CDEF 为正方形．∴DC ⊥FC由DC ∩AD =D ∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC ……………………4分 又∵四边形ABCD 为直角梯形， AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD =2，AB =4∴22=AC ，22=BC ，则有AC 2+BC 2=AB 2∴AC ⊥BC由BC ∩FC =C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB ．……………………6分（Ⅱ）解：由（I ）知AD ，DC ，DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，以DADC DE u u u r u u u r u u u r ，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz…………………………………7分可得D （0，0，0），F （0，2，2），B （2，4，0）， E （0，0，2），C （0，2，0），A （2，0，0）， 由（Ⅰ）知平面FCB 的法向量为)0,2,2(-=AC∵)0,2,0(=，)2,2,2(-=……………………………………………………8分设平面EFB 的法向量为),,(z y x =则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB n EF n 即⎩⎨⎧=-+=022202z y x y令1=z 则)1,0,1(=n ……………………………………………………………………10分 设二面角E ﹣FB ﹣C 的大小为θ，有图易知θ为锐角212220120)2(1||||cos =⨯⨯+⨯+-⨯=⋅⋅=AC n AC n θ 所以二面角E ﹣FB ﹣C 的大小为3π……………………………………………………12分 35. 解：（1）矩形ABCD 中，AB CD ∥∵AB ⊄面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ， 又AB ⊂平面ABE ，平面PCD I 平面ABE EF =，∴AB EF ∥， 又平面PAB I 平面PCD l =，∴AB l ∥ ∴l EF ∥.（2）取AD 中点O ，连接PO ，∵PA PD =，∴PO AD ⊥， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， ∴PO ⊥平面ABCD ，连接OB ，则OB 为PB 在平面ABCD 内的射影， ∴PBO ∠为PB 与平面ABCD 所成角，∴221sin PBO ∠=. ∴217tan PBO ∠=，由题17OB =，∴2PO = 取BC 中点G ，连接OG ，以O 为坐标原点，分别以OA OG ，OP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：则：(002)P ，，，(100)A ，，，(140)B ，，，(140)C -，，，则1212E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，(102)PA =-，，，3212AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，设平面PAE 的法向量为()n x y z =，，，于是00n PA n AE ⋅=⎧⋅=⎪⎨⎪⎩，∴203202x z x y z -=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2x =，则1y =，1z =∴平面PAE 的一个法向量(211)n =，， 同理平面ABE 的一个法向量为(203)m =，，， ∴778cos ||||613n m n m n m ⋅===⨯，.可知二面角P AE B --为钝二面角 所以二面角P AE B --的余弦值为778- 36.【分析】（Ⅰ）取PB 的中点F ，连接AF ，EF ，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF 是平行四边形．得到DE ∥AF ，再由线面平行的判定可得ED ∥面PAB ；（Ⅱ）法一、取BC 的中点M ，连接AM ，由题意证得A 在以BC 为直径的圆上，可得AB ⊥AC ，找出二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角．求解三角形可得二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．法二、由题意证得AB ⊥AC ．又面PAC ⊥平面ABCD ，可得AB ⊥面PAC ．以A 为原点，方向分别为x 轴正方向，y 轴正方向建立空间直角坐标系．求出P 的坐标，再求出平面PDC 的一个法向量，由图可得为面PAC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PB 的中点F ，连接AF ，EF ． ∵EF 是△PBC 的中位线，∴EF ∥BC ，且EF=．又AD=BC ，且AD=，∴AD ∥EF 且AD=EF ，则四边形ADEF 是平行四边形．∴DE ∥AF ，又DE ⊄面ABP ，AF ⊂面ABP ， ∴ED ∥面PAB ；（Ⅱ）解：法一、取BC 的中点M ，连接AM ，则AD ∥MC 且AD=MC ， ∴四边形ADCM 是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，解得．则，，．设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得．为面PAC的一个法向量，且，设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．37.【分析】（1）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB，得到平面EMC∥平面PAB，证得EC∥平面PAB；（2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为，可得结论．【解答】（1）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EM∥平面PAB．在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB．∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB．（2）解：过A作AF⊥AD，交BC于F，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B （，﹣，0），C（，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），设平面PAC 的法向量为=（x ，y ，z ），则，取=（，﹣3，0），设=λ（0≤λ≤1），则=（0，4λ，﹣2λ），=（﹣λ﹣1，2﹣2λ）， ∴|cos ＜，＞|==，∴， ∴N 为PD 的中点，使得直线CN 与平面PAC 所成的角θ的正弦值为．38.（1）证明：取AB 的中点O ，连接EO ，CO2AE EB ==，AEB ∆为等腰直角三角形∴EO AB ⊥，1EO =又∵AB BC =，60ABC ∠=︒，∴ABC ∆是等边三角形. ∴3CO =，2EC =，∴222EC EO CO =+∴EO CO ⊥∵EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面EAB ，∴平面EAB ⊥平面ABCD（2）解：以AB 的中点O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，如图建系则()0,1,0A -，()3,0,0C，)3,2,0D-，()0,0,1E()3,1,0AC =uuu r ，()3,0,1EC =-uu u r，()0,2,0DC =uuu r设平面DCE 的法向量为(),,1n x y =r ，则00EC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uuu r r ，即31020x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩， 解得：330x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴3,0,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r同理求得平面EAC 的一个法向量为3,1,13m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r27cos ,m n m n m n⋅==u r ru r r u r r ，所以二面角A EC D --的余弦值为277. 39.证明：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP =Q ，PD AB ∴⊥．AC BC =Q ，CD AB ∴⊥．PD CD D =Q I ，AB ∴⊥平面PCD ．----3分PC ⊂Q 平面PCD ，PC AB ∴⊥，又∵PC AC ⊥，∴PC ABC ⊥平面- ----6分解：（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．---8分22PB AB ==Q 2t ∴=，(002)P ，，． ----9分 取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =Q ，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E Q ，，，(011)EC =--u u u r ，，，(211)EB =--u u r，，， ---10分3cos 326EC EB BEC EC EB∴∠===uu u r uu r g uu u r uu rg g ． ∴二面角B AP C --的余弦值为3． -------- -12分 40.【分析】（Ⅰ）证明BD ⊥AC ，BD ⊥PO ，推出BD ⊥面PAC ，然后证明BD ⊥PC ． （Ⅱ）说明OE 是BE 在面PAC 上的射影，∠OEB 是BE 与面PAC 所成的角．利用Rt △BOE ，在Rt △PEO 中，证明PO ⊥AO ．推出PO ⊥面ABCD ．方法一：说明∠OHB 是二面角A ﹣EC ﹣B 的平面角．通过求解三角形求解二面角A ﹣EC ﹣B 的余弦值． 方法二：以建立空间直角坐标系，求出平面BEC 的法向量，平面AEC 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可． 【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD ⊥AC ．（1分）又PB=PD ，且O 是BD 中点，所以BD ⊥PO ．（2分） PO∩AC=O ，所以BD ⊥面PAC ．（3分） 又PC ⊂面PAC ，所以BD ⊥PC ．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，OE 是BE 在面PAC 上的射影， 所以∠OEB 是BE 与面PAC 所成的角． 在Rt △BOE 中，，BO=1，所以．在Rt △PEO 中，，，所以．所以，又，所以PO 2+AO 2=PA 2，所以PO ⊥AO ．（6分）又PO ⊥BD ，BD∩AO=O ，所以PO ⊥面ABCD ．（7分） 方法一：过O 做OH ⊥EC 于H ，由（Ⅰ）知BD ⊥面PAC ，所以BD ⊥EC ，所以EC ⊥面BOH ，BH⊥EC，所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．（9分）在△PAC中，，所以PA2+PC2=AC2，即AP⊥PC．所以．（10分），得，（11分），，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）方法二：如图，以建立空间直角坐标系，，B（0，1，0），，，，，．（9分）设面BEC的法向量为，则，即，得方程的一组解为，即．（10分）又面AEC的一个法向量为，（11分）所以，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．（12分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．41.（1）取AD 的中点为O ，连接CO PO ,，PAD ∆Θ为等边三角形，AD PO ⊥∴.底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，AD CO ⊥∴，⊥∴=⋂AD CO PO ,0Θ平面POC ，⊂PC 平面PC AD POC ⊥,.又BC AD //，所以PC AD ⊥.（2）由面⊥PAD 面AD PO ABCD ⊥,知，⊥∴PO 平面ABCD ，OC OD OP ,,两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为ο30，即ο30=∠CPO ， 由2=AD ，知3=PO ，得1=CO .分别以→→→OP OD OC ,,的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O -，则),3,0,0(P),0,1,0(D )0,1,1(),0,0,1(-B C ，),0,1,0(=→BC )0,1,1(),3,0,1(-=-=→→CD PC ，设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =ρ.⎩⎨⎧=-=∴030z x y ，则)1,0,3(=n ρ， 设平面PDC 的法向量为),,(z y x m =ρ， ⎩⎨⎧=-=-∴030z x y x ，则)1,3,3(=m ρ， 772724||||,cos ==⋅>=<n m n m n m ρρρρρρ, ∴由图可知二面角C SB A --的余弦值772-.42.（1）证明：由已知四边形ABCD 为矩形，得AB BC ⊥， ∵PB AB ⊥，PB BC B =I ，∴AB ⊥平面PBC . 又//CD AB ，∴CD ⊥平面PBC .∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PBC ⊥平面PCD .（2）解：以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设1PB AB ==，(0)BC a a =>，则(0,0,0)B ，(0,0,)C a ，(1,0,0)P ，(0,1,)D a ，所以(1,0,)PC a =-u u u r ，(0,1,)BD a =u u u r ，则||cos60||||PC BD PC BD •=ou u u r u u u ru u u r u u u r ，即22112a a =+， 解得1a =（1a =-舍去）.设111(,,)n x y z =r 是平面PBD 的法向量，则00n BP n BD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r u u u rr u u u r，即11100x y z =⎧⎨+=⎩， 可取(0,1,1)n =-r .设222(,,)m x y z =u r 是平面PCD 的法向量，则00m PD m CD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u r u u u ru r u u u r即222200x y z y -++=⎧⎨=⎩， 可取(1,0,1)m =u r ，所以1cos ,2||||n m n m n m •<>==-r u rr u r r ur ， 由图可知二面角B PD C --为锐角，所以二面角B PD C --的大小为60o. 43.（1）证明：如图，取BC 中点M ，连接PM 、DM 、DB ，则BCD ∆和PBC ∆分别是等边三角形、等腰直角三角形.故PM BC ⊥，DM BC ⊥，且1PM =，3DM =，所以222DM PM PD +=， 故PM DM ⊥， 所以PM ⊥平面ABCD .又PM ⊂平面PBC ，从而平面PBC ⊥平面ABCD . （2）如图，建立空间直角坐标系M xyz -.(0,0,1)P ，3,2,0)A ，(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，(3,1,0)AB =--u u u r ，(0,1,1)PB =-u u u r，(0,1,1)PC =--u u u r，设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r ，则300x y y z ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =-，解得3y =3z =(3,3)n =-r，记直线PC 与平面PAB 所成角的平面角为θ，则||2342sin 7||||14n PC n PC θ•===r u u u rr u u u r 即直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为427. 44.（Ⅰ）连结OM 延长交F B 于H ，则H 为F B 的中点，又P 为C B 的中点， ∴PH ∥CF ，又∵CF ⊂平面FC A ，∴PH ∥平面FC A 连结PO ，则PO ∥C A ，C A ⊂平面FC A ，∴PO ∥平面FC APO PH =P I ∴平面POH ∥平面FC A ，PM ⊂平面POH∴//PM 平面FC A（Ⅱ）作AQ ⊥EF 交EF 延长线于Q,作AH ⊥DQ 交DQ 于H ，则AH ⊥面EQDC ∴∠ACH 就是直线AC 与平面CEF 所成角在Rt ∆ADQ 中，AH=7327231=⨯在Rt ∆ACH 中，sin ∠ACH=35105=AC AH 直线AC 与平面CEF 所成角正弦值为3510545.（Ⅰ）证明：如图，∵//AB CD ，CD AD ⊥，22AD CD AB ===，F 为CD 的中点，∴ABFD 为矩形，AB BF ⊥， 又由AB ⊥平面PAD ， ∴AB PD ⊥，又∵//EF PD ，∴AB EF ⊥， ∵BF EF F =I ，∴AB ⊥平面BEF ， 又AE ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面BEF ．（Ⅱ）由条件以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间坐标系，则(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(0,0,)P a ，(2,2,0)C ，(1,1,)2a E ，(1,2,0)BD =-u u u r ，(0,1,)2a BE =u u u r ，平面BCD 的法向量1(0,0,1)n =u r ，设平面EBD 的法向量为2(,,)n x y z =u u r，由22,,n BD n BE ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r 即22,,n BD n BE ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r ，即20,0,2x y azy -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1y =，得2x =，2z a =-，则22(2,1,)n a=-u u r ，所以2222cos 45441a a a θ==+++，因为平面EBD 与平面ABCD 所成锐二面角,43ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以12cos ,22θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2212,2254a ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，由221254a ≥+，得21521555a -≤≤；由222254a ≤+，得255a ≤-或255a ≥， 所以a 的取值范围是25215,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦．46.（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD 中，可设2AD CD AB ===，可求出23BD =，4BC =，在BCD ∆中，222BC BD DC =+，∴BD DC ⊥， ∵点A 在平面BCD 上的投影G 落在BD 上， ∴AG ⊥平面BCD ，∴AG CD ⊥，又BD DC ⊥，AG BD G =I ∴CD ⊥平面ABD ， 而CD ⊂平面ACD ，∴CD ⊥平面ABD .（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD CD ⊥，AG BD ⊥，G 为BD 中点，建立如图所示的空间坐标系，设2AD CD AB ===，结合（Ⅰ）计算可得：(0,0,0)D ，(0,2,0)C，G，A ，(0,0,1)GA =u u u r，(2,1)GC =u u u r，设1111(,,)n x y z =u r 是平面AGC的法向量，则111020z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1n =u r .(0,2,0)DC =u u u r ，设2222(,,)n x y z =u u r是平面ACD的法向量，则22200y z =⎧⎪+=，取2(1n =u u r.设二面角G AC D --的平面角为，则12cos cos ,n n θ=<>==47.（1）设AB 中点为O ，连接PO ，EO ， 因为PA PB =，所以PO AB ⊥， 又E 为AC 的中点， 所以EO BC ∥.因为AB BC ⊥，所以EO AB ⊥，因为PO OE O =I ，所以AB ⊥平面POE ，又PE ⊂平面POE ， 所以PE AB ⊥（2）由（1）知PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PO ⊂平面PAB ， 所以PO ⊥平面ABC ，又EO AB ⊥.以O 为坐标原点，分别以OE uu u r ，OB uu u r ，OP uu u r为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，因为AB BC ⊥，4AC =，2BC =，所以AB =由O 为AB 中点，PO AB ⊥，2PB =，得OA OB ==1PO ==，则，()0,0,0O ，()1,0,0E ，()0,0,1P，()0,A，()B，()C设平面PAC 的一个法向量为(),,n x y z =r，由00n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu r r uu u r，即30230z x z ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩取3y =()3,3,3n =-r ， 因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，OE ⊂平面ABC ，所以EO ⊥平面PAB ，所以平面PAB 的一个法向量为()1,0,0OE =uu u r，∴cos ,OE n OE n OE n⋅=uu u r ruu u r r uu u r r 21721==， 设二面角B PA C --的大小为θ，则21cos =θ 所以247sin 1cos =-=θθ， ∴二面角B PA C --的平面角的正弦值为77. 48.（1）AB PB =Q ，O 为AB 的中点，OB PA ∴⊥. 又Q 平面PAC ⊥平面PAB ，且OB ⊂平面ABP ，BO ∴⊥平面PAC ，而OB ⊂平面BOM ，∴平面BOM ⊥平面PAC .（2）由已知得，PAB ∆为等腰直角三角形，2AB PB ==2,1AP BO ∴==，等边PAC ∆的面积3PAC S ∆， 13B PAC PAC V S BO -∆∴=⨯⨯=13313=，由（1）易知OC ⊥平面APB ，2AC BC ∴==，∴在ABC ∆中，AB 边上的高为142，11472222ABCS ∆∴=⨯⨯=，设点P 到平面ABC 的距离为h ， 则有133P ABC ABC V S h -∆=⨯⨯=， 2217h ∴=，即点P 到平面ABC 的距离为2217.49.证明：（1）因为M ，N 分别为PB ，PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. 因为90BAD ∠=︒，所以DA AB ⊥. 因为PA ⊥底面ABCD ，所以DA PA ⊥. 因为PA AB A =I ，所以DA ⊥平面PAB . 所以PB DA ⊥.因为AM DA A =I ，所以PB ⊥平面ADNM 因为DN ⊂平面ADNM ，所以PB DN ⊥.（2）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P . 由（1）可知，PB ⊥平面ADNM ，所以平面ADMN 的法向量为()2,0,2BP =-uu r.设平面PDN 的法向量为(),,n x y z =r因为()2,1,2PC =-uu u r ，()0,2,2PD =-uu u r，所以00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu u r即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令2z =，则2y =，1x =，所以()1,2,2n =，所以cos ,n BP n BP n BP ⋅==r uu rr uu r r uu r 26223=⨯ 所以二面角P DN A --的余弦值26.50.【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）要证BC ⊥平面ACD ，只需证明BC 垂直平面ACD 内的两条相交直线AC 、OD 即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A ﹣CD ﹣M 的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）在图1中，可得，从而AC 2+BC 2=AB 2，故AC ⊥BC取AC 中点O 连接DO ，则DO ⊥AC ，又面ADC ⊥面ABC ， 面ADC∩面ABC=AC ，DO ⊂面ACD ，从而OD ⊥平面ABC ， ∴OD ⊥BC又AC ⊥BC ，AC∩OD=O ， ∴BC ⊥平面ACD 另解：在图1中，可得，从而AC 2+BC 2=AB 2，故AC ⊥BC∵面ADC ⊥面ABC ，面ADE∩面ABC=AC ，BC ⊂面ABC ，从而BC ⊥平面ACD （Ⅱ）建立空间直角坐标系O ﹣xyz 如图所示， 则，， ，设为面CDM 的法向量，则即，解得令x=﹣1，可得又为面ACD的一个法向量∴∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．51.【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（I）如图所示，取FB′的中点M，连接CM，A′M．可得四边形A′EMB′是平行四边形．A′B′∥EM．同理可得A′D∥CM，可得平面EMC∥平面A′DB′，即可证明CE∥面A′DB′．（II）取DE的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系．∠A′ED=∠B′FC=60°．平面EFCD的一个法向量为=（0，0，1）．可得=．可得直线A′B′与平面FECD所成角的正弦值=||．【解答】（I）证明：如图所示，取FB′的中点M，连接CM，A′M．∵A′E B′M，∴四边形A′EMB′是平行四边形．∴A′B′∥EM．∵A′M CD，∴四边形A′MCD是平行四边形，∴A′D∥CM，又∵CM∩EM=M ，A′B′∩A′D=A′， ∴平面EMC ∥平面A′DB′， 由CE ⊂平面CME ． ∴CE ∥面A′DB′．（II ）解：取DE 的中点O ，建立如图所示的空间直角坐标系．∠A′ED=∠B′FC=60°． 则，A′，=．平面EFCD 的一个法向量为=（0，0，1）．∴===﹣．∴直线A′B′与平面FECD 所成角的正弦值=||=．52.见解析． 解：MCBA PDxyz（1）∵ABCD 是矩形， ∴AD CD ⊥，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系， 由4PD CD ==，2AD =，得(2,0,0)A ，(2,4,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,0)D ，(0,0,4)P ，(1,0,2)M ， 则(2,0,4)AP =-u u u r ，(2,0,0)BC =-u u u r，(1,4,2)MB =-u u u r ，设平面CMB 的一个法向量为1111(,,)n x y z =u r，则1100BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r ，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =， ∴1(0,1,2)n =u r，∴1114cos ,5||||AP n AP n AP n ⋅<>==⋅u u u r u ru u u r u r u u ur u r ， 故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45． （2）由（1）可得(0,4,4)PC =-u u u r，设平面PBC 的一个法向量为2222(,,)n x y z =u u r，则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =， ∴2(0,1,1)n =u u r，∴12cos ,n n <>=u r u u r故二面角M CB P --．。