11.（2010·安徽高考文科·Ｔ20）设函数 f x sin x cos x x 1， 0 x 2 ， 求函数 f x 的单调区间与极值。
【命题立意】
本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查
考生运算能
力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】
对函数 f (x) 求导，分析导数 f (x) 的符号情况，从而确定 f (x) 的单调区间和极
想。
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为 x ，然后用 x 分别表示梯形的周
长和面积，从而将 S 用 x 表示，利用函数的观点解决.
【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为 x ，
则： S
1
(3 (x 1)
x)2 3 (1
x)
4 3
(3 1
x)2 x2
(0
x
1)
2
2
方法一：利用导数的方法求最小值。
S(x)
4 3
(3 1
x)2 x2
， S(x)
4 (2x 6) (1 x2 ) (3 x)2 (2x)
3
(1 x2 )2
S(x) 0, 0 x 1, x 1 ，
3
当 x (0, 1]时， S(x) 0, 递减；当 x [1 ,1) 时， S(x) 0, 递增；
3
3
故当 x 1 时，S 的最小值是 32 3 。
（4）判断单调区间和极值。 12.（2010·北京高考文科·Ｔ１8）设定函数 f (x) a x3 bx2 cx d，(a (a0) 0) ，
3
且方程 f '(x) 9x 0 的两个根分别为 1，4。
（Ⅰ）当 a=3 且曲线 y f (x) 过原点时，求 f (x) 的解析式；
（Ⅱ）若 f (x) 在 (, ) 无极值点，求 a 的取值范围。
当 x 9 时 y ' 0 ，故当 x 9 时函数有极大值，也是最大值，故选 C.
3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线 y= x2 ,y= x3 围成的封闭图形面积为（）
（A） 1
12
(B) 1
4
(C) 1
3
(D) 7
12
【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1, 其中k N ，若 a1=16，则 a1+a3+a5 的值是________ 【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等
k
故 f (x) 的单调递增区间是 (1, 0) 和 (1 k , ) ，单调递减区间是 (0,1 k ) .
k
k
当 k 1时， f '(x) x2
1 x
故 f (x) 的单调递增区间是 (1, ) .
当k
1时，
f
'( x)
kx(x 1 k k
1 x
)
0 ，得
x1
1 k k
(1, 0)
，
x2
故 f (x) 的单调递增区间是 (1, 0) ，单调递减区间是 (0, ) .
当0
k
1时，由
f
'( x)
kx(x 1 k ) k
1 x
0
，得
x1
0
，
x2Biblioteka 1 kk0
所以，在区间 (1, 0) 和 (1 k , ) 上， f '(x) 0 ；在区间 (0,1 k ) 上， f '(x) 0
k
的范围。
【规范解答】选 D.
5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）
4 2
1 x
dx
等于（）
A、 2 ln 2 B、 2 ln 2 C、 ln 2 D、 ln 2
【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
【思路点拨】记住 1 的原函数.
x
【规范解答】选
D.
4 2
1dx x
=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
3
因为
f
( x)
9x
ax2
2bx
c
9x
0 的两个根分别为
1,4，所以
a 2b c 9 0 16a 8b c 36
0
（*）
2b c 6 0
（Ⅰ）当 a 3时，（*）式为 8b c 12 0 解得 b 3, c 12
又因为曲线 y f (x) 过原点，所以 d 0
导数及其应用高考题精选
1.（2010·海南高考·理科
T3）曲线
y
x
x
2
在点 1,
1 处的切线方程为（）
（A） y 2x 1（B） y 2x 1（C） y 2x 3（D） y 2x 2
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则
进行求解.
【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
由几何概型的计算公式可知
1
0
f
(
x)dx
的近似值为
N1 N
.
答案： N1
N
10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数 f ( x )=In(1+ x )- x + k x2 ，( k ≥
2
0)。
(Ⅰ)当 k =2 时，求曲线 y = f ( x )在点(1， f (1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 f ( x )的单调区间。
内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处
的切线的斜率，然后求得切线方程，再由 y 0，即可求得切线与 x 轴交点的
横坐标。
【规范解答】由 y=x2(x>0)得， y 2x ，
所以函数 y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为： y ak2 2ak (x ak ),
【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.
【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.
【规范解答】由题意可知， x, y 所有取值构成的区域是一个边长为 1 的正方形，
而满足 yi ≤ f (xi ) 的点 (xi , yi ) 落在 y=f(x)、 y 0 以及 x 1 、 x 0 围成的区域内，
3
家获得最大年利润的年产量为（）
(A)13 万件(B)11 万件
(C)9 万件(D)7 万件
【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析
问题解决问题能力和运算求解能力.
【思路点拨】利用导数求函数的最值.
【规范解答】选 C， y ' x2 81,令 y 0 得 x 9 或 x 9 （舍去），当 x 9 时 y ' 0 ；
解
a
0 9(a
1)(a
9)
0
得
a
1,
9
即 a 的取值范围1,9
【方法技巧】（1）当 f '(x) 在 x0 的左侧为正，右侧为负时， x0 为极大值点；当 f '(x)
【规范解答】选
A.因 为
y 2 (x 2)2
，所以，在点
1, 1 处 的 切 线 斜 率
k
y
x1
2 (1 2)2
2 ，所以，切线方程为 y 1 2(x 1) ，即 y
2x 1，故选
A.
2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元） 与年产量 x （单位：万件）的函数关系式为 y 1 x3 81x 234 ，则使该生产厂
查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求
函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本
不等式法。
8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个 点 M
（x,y）,则点 M 取自阴影部分的概率 为；
【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。
【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可
【规范解答】阴影部分的面积为
S阴影
13x2dx 0
x3
1 0
1.所以点
M
取自阴影部分的
概率 为 P
S阴影 S长方形
1 31
1 3
答案： 1
3
9．（2010·海南高考·理科 T13）设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒
1
有 0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分 0 f (x)dx ,先产生两组（每组
N 个）区间[0,1]上的均匀随机数 x1 , x2 …, xN 和 y1 , y2 …, yN ,由此得到 N 个点 (xi , yi ) （i=1,2,…,N）,在数出其中满足 y1 ≤ f (x1) （ （i=1,2,…,N））的点数 N1
1
，那么由随机模拟方法可得积分 0 f (x)dx 的近似值为.
面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线 y= x2 ,y= x3 的交点坐标，再利用定积分求面积.
【规范解答】选 A,由题意得:曲线 y= x2 ,y= x3 的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故
所求封闭图形的面积为
1（0 x2 -x3 )dx=
1 13
1 4
1 x
由于 f (1) ln 2 ， f '(1) 3 ，
2