2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（）()A 0 ()B ()C ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()a t af x dx ⎰（）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A =()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______.（13）设xyy z x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦. (16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题020xt dx te dtx --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22y x ∂∂. (17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)（本题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()ba f x dx fb a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得 （21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a aA a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,Tn X x x =，()1,0,,0B =，（1）求证()1n A n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】D【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ===，由罗尔定理知至少有1(0,1)ξ∈，2(1,2)ξ∈使12()()0f f ξξ''==，所以()f x '至少有两个零点.又()f x '中含有因子x ，故0x =也是()f x '的零点，D 正确.本题的难度值为. (2)【答案】C【详解】0()()()()()()aaaaaxf x dx xdf x xf x f x dx af a f x dx '==-=-⎰⎰⎰⎰ 其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()a f x dx ⎰为曲边梯形ABOD 的面积，所以0()axf x dx'⎰为曲边三角形的面积．本题的难度值为. (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有x e 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=.故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= 本题的难度值为. (4)【答案】A【详解】0,1x x ==时()f x 无定义，故0,1x x ==是函数的间断点因为000ln 11lim ()lim lim lim csc |1|csc cot x x x x x xf x x x x x++++→→→→=⋅=-- 同理0lim ()0x f x -→= 又1111ln 1lim ()lim lim sin lim sin1sin11x x x x x f x x x x ++++→→→→⎛⎫=⋅== ⎪-⎝⎭ 所以0x =是可去间断点，1x =是跳跃间断点.本题的难度值为. (5)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调.所以{()}n f x 单调且有界.故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为. (6)【答案】A【详解】用极坐标得()222()2011,()vu uf r r Df u v F u v dv rdr v f r dr +===⎰⎰⎰所以()2Fvf u u∂=∂ 本题的难度值为. (7)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． 本题的难度值为. (8)【答案】D【详解】记1221D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则()2121421E D λλλλ--==---，又()2121421E A λλλλ---==----所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.本题的难度值为. 二、填空题 (9)【答案】2【详解】222220001cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()lim lim lim ()[()2]4(1)()x x x x xf x xf x xf x f x x f x xf x e f x →→→-⋅==⋅- 所以(0)2f = 本题的难度值为. (10)【答案】()x x e C --+【详解】微分方程()20x y x e dx xdy -+-=可变形为x dy yxe dx x--= 所以111()dx dx x x x x xy e xe e dx C x xe dx C x e C x ----⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=⋅+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 本题的难度值为. (11)【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y xdx F x xy y x--'-=-=-'+-， 将(0)1y =代入得01x dydx ==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+ 本题的难度值为.(12)【答案】(1,6)-- 【详解】53235y x x =-⇒2131351010(2)333x y x x x-+'=-= 1x =-时，0y ''=；0x =时，y ''不存在在1x =-左右近旁y ''异号，在0x =左右近旁0y ''>，且(1)6y -=- 故曲线的拐点为(1,6)-- 本题的难度值为. (13)【答案】21)2- 【详解】设,y xu v x y==，则v z u = 所以121()ln v v z z u z v y vu u u x u x v x x y-∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅∂∂∂∂∂所以(1,2)21)z x ∂=-∂ 本题的难度值为. (14)【答案】-1【详解】||236A λλ =⨯⨯=3|2|2||A A =本题的难度值为. 三、解答题 (15)【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )lim lim x x x x x x x x x→→--= 方法二：331sin ()6x x x o x =-+331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+(16)【详解】方法一：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+所以2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t t dt t t dxt dx dt t +⋅===+++方法二：由20x dxte dt--=得2x e dx tdt =，积分并由条件0t x =得21x e t =+，即2ln(1)x t =+所以2222ln(1)2(1)ln(1)21x dydy t t dt t t e x dxt dx dt t +⋅===++=+所以22(1)x d ye x dx=+本题的难度值为. (17)【详解】 方法一：由于21x -→=+∞，故21⎰是反常积分.令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈方法二：21⎰12201(arcsin )2x d x =⎰ 令arcsin x t =，有sin x t =，[0,2)t π∈故，原式21164π=+ 本题的难度值为.(18)【详解】曲线1xy =将区域分成两个区域1D 和23D D +，为了便于计算继续对 区域分割，最后为()max ,1Dxy dxdy ⎰⎰(19)【详解】旋转体的体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积02(tS f x π=⎰，由题设条件知上式两端对t求导得2()(f t f t =y '=由分离变量法解得1ln(y t C =+，即t y Ce =将(0)1y =代入知1C =，故t y e =，1()2t t y e e -=+于是所求函数为1()()2x x y f x e e -==+本题的难度值为.(20)【详解】(I)设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即 由定积分性质，有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，即()baf x dx m M b a≤≤-⎰由连续函数介值定理，至少存在一点[,]a b η∈，使得()()b af x dx f b aη=-⎰即()()()ba f x dx fb a η=-⎰(II)由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]η∈，使32()()(32)()x dx ϕϕηϕη=-=⎰又由32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知23η<≤对()x ϕ在[1,2][2,]η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)ϕϕ<，()(2)ϕηϕ<得在12[,]ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有 本题的难度值为.(21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμλμ=++++-+++-令2222022020040x y z F x x F y y F z F x y z F x y z λμλμλμλμ'=++=⎧⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎪'=++-=⎪⎩解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z ==-- 故所求的最大值为72，最小值为6.方法二：问题可转化为求2242242u x y x x y y =++++在224x y x y +++=条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u x y x y x y x y x y λλ==++++++++-令323222442(12)0442(12)040x y F x xy x x F y x y y y F x y x y λλλ'⎧=++++=⎪'=++++=⎨⎪'=+++-=⎩ 解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ==--，代入22z x y =+，得122,8z z == 故所求的最大值为72，最小值为6. 本题的难度值为.(22)【详解】(I)证法一：证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得 故||(1)n A n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得2122n n n D aD a D --=-， 所以211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=- 即12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)n A n a =+，故0a ≠． 由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为 所以11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．本题的难度值为. (23)【详解】(I)证法一：假设123,,ααα线性相关．因为12,αα分别属于不同特征值的特征向量，故12,αα线性无关，则3α可由12,αα线性表出，不妨设31122l l ααα=+，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3α为0，由323A ααα=+可知20α=，而特征向量都是非0向量，矛盾)∴32321122A l l αααααα=+=++，又311221122()A A l l l l ααααα=+=-+ ∴112221122l l l l ααααα-+=++，整理得：11220l αα+=则12,αα线性相关，矛盾.所以，123,,ααα线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=(1)用A 左乘(1)的两边并由11,A αα=-22A αα=得1123233()0k k k k ααα-+++=(2)(1)—(2)得113220k k αα-=(3)因为12,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,αα线性无关，从而130k k ==，代入(1)得220k α=，又由于20α≠，所以20k =，故123,,ααα线性无关.(II)记123(,,)P ααα=，则P 可逆，所以1100011001P AP --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.本题的难度值为.。