5 4
4 a
与矩阵B=
1
10
相似，求
a,b 的值，并求一正交矩阵 P 使得P1AP B.
六、 (20 分) 已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) (1 a)x12 (1 a)x22 2x32 2(1 a)x1x2 的秩为 2. (1)求 a 的值; (2) 求一正交变换，将其化为标准型.
1
2. （10 分）计算 n 阶行列式
3
4 5
1
2
。
n 1 n 1 n 3 n 2
n 1 2 n 2 n 1
3. （15 分）求下列线性方程组的全部解,并写出对应齐次方程组的基础解系
x1 x2 3x4 x5 2
x1 4 x1
2
x2 x2
6 x3
2 x3 3x4
考试科目：
共 2 页，第 1 页
6. （15 分）设 AT A ，证明 A 可逆当且仅当存在矩阵 B ，使得 AB B T A 正定。
7.
（15
分）设矩阵
A
1 1
1 1
1 1
，求正交矩阵 T
，使 T
1 AT
为对角形。
1 1 1
8.
（15
分）求矩阵
A
1 2
2 4
1 2
的初等因子与若尔当典范形。
3 6 3
9.
（20
分）记V
=
a c
b d
a,b C,
a
d
=
0
，对任一
AV
，定义V
上的线性变
换T
为：对任意
X
V
，TX
=AX
XA 。假设
A=
1 0
01 。试求：T 的所有特征
值以及与这些特征值相对应的特征向量。
10. （20 分）设 A 、 B 是 n n 矩阵，且 A2 = B2 = E （ E 是 n 阶单位矩阵），且 A B = 0 ，证明： A B 不是可逆矩阵。
考试科目名称及代码：810 高等代数（B 卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
1. （10 分）证明：如果 x2 x 1| f1(x3) xf2 (x3) ，则 (x 1) | f1(x) ， (x 1) | f2 (x) 。
1 2 3 n 1 n
2 3 4 n
考试科目：
共 2 页，第 2 页
2019 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论
四、（20 分）设线性方程组
3x1 2x2 x3 x4 1
x2
x2 2x3 2x4 1 ( 3)x3 2x4
x1 x2 x3 x4 0
讨论参量 , 取何值时，上述方程则有唯一解？无解？有无穷多解？有解时写出所
有解.
2 2 2
b
五、（20 分）
已知矩阵
A
2 2
二、（10 分）设 f (x), g(x) F[x],其中F[x]表示数域F上一元多项式集合. 证明：
(1) 如果f (x) | g(x)h(x), ( f (x), g(x)) 1,那么 f (x) | h(x);
(2) 如果f (x) | h(x), g(x) | h(x), ( f (x), g(x)) 1,那么 f (x)g(x) | h(x). 三、（15 分）设 是 n 阶方阵 A 的一个特征值， 证明： (1) 2是矩阵A2的一个特征值; (2) (2 )是矩阵2E A的一个特征值； (3) 若A可逆，则 A 是A的伴随矩阵A*的一个特征值.
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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招生专业与代码：070101 基础数学、070102 计算数学、070103 概率论与数理统计、070104 应用数学、070105 运筹学与控制论
考试科目名称及Байду номын сангаас码：810 高等代数（A 卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、（10 分）设 n 为给定正整数， a 为给定常数，计算对角线上元素均为 a 、其它位 a 1 11 1 1 a 11 1
置元素均为 1 的 n 阶矩阵 A 的行列式| A | 1 1 a 1 1 . 1 1 1a 1 1 1 11 a
十、（10 分） 设 n 级方阵 A, B,C, D 两两可交换，且满足 AC BD E .记 ABx 0 的
解空间为W , Bx 0 的解空间为W1 , Ax 0 的解空间为W2 . 证明W W1 W2 . 十一、（10 分） 证明 n 阶实对称矩阵 A 是正定的充分必要条件是：存在 n 阶可逆实 对称矩阵 C 使得 A C2 .
x4 4 x5
1 8
。
2x1 4x2 2x3 4x4 7x5 9
4. （15 分）设 A, B 为 n 阶方阵，证明：
rankA B rankA B rankA rankB。
5. （15 分）设向量组1,2,,m 线性无关，向量组1,2,,m , 线性相关。证 明： 可以由向量组1,2,,m 线性表示。
七、(15 分) 设数域F上的3 4矩阵A为
定义线性变换
1 0 1 1
A=
3 1
1 1
4 0
7 3
，
Q(a) Aa， a F 4 .
分别求 Im Q和KerQ的一个基和维数.
八、(10 分)设 3 维线性空间 V 的线性变换 在基1，2，3 下的矩阵为
L
1 2 2
2 2
1 2
2 1
证明：由 1 2 , 1 3 生成的子空间W L（- 1 2，- 1 3）是 的不变子空 间. 九、（10 分） 设i (i,1，i,2,，，i,n )T (i 1, 2,..., r ; r n) 是 n 维实向量，且向
量组1，2，，r 线性无关. 已知 = 1，2，，n T 是线性方程组
1,1x1 1,2 x2 ... 1,n xn 0
2,1
x1
2,2 x2 ... 2,n xn ......
0
r,1x1 r,2 x2 ... r,n xn 0
的非零解向量.试判断向量组1，2，，r， 的线性相关性.