若
i2 ,
i 1
则过程平稳。
MA (1)过程的自相关函数
0 E [( y t ) 2 ] E [( t 1 t 1 ) 2 ]
E [ t 2 1 t t 1 1 t 1 ]
2 2 2
(1 1 )
yt L S C I
Ratio to Moving Averages——Multiplicative 第一步 用中心移动平均平滑序列yt
对于月度资料
~ 1 ( 0 .5 y y y y 0 .5 y ) yt t6 t5 t t 5 t 6 12
中心移动平均 3期中心移动平均
2、指数加权移动平均模型
（EWMA—Exponentially Weighted Moving Averages）
~ y (1 ) y (1 ) 2 y yt t t 1 t2
即
~ y (1 ) ~ yt y t 1 t

2 t

(k ) (0)
其中 ( k ) Cov( X t , X t k )
( 0 ) Cov( X t , X t ) t2
协方差函数
自相关函数揭示了X(t)的相邻数据点之间 存在多大程度的相关。
如果对所有的k>0，序列的自相关函数等于0或近 似等于0，则说明序列的当前值与过去时期的观测值 无关，这时该序列没有可预测性。 相反，如果金融序列间是自相关的，就意味着当 前回报依赖历史回报，因此可以通过回报的历史值预 测未来回报。
一、平稳过程
统计特征不随时间变化而变化的过程是平稳过程（Stable Process） 如果过程是严平稳的（ Strictly Stationary），那么对任 意的t和k，时刻t的联合概率密度函数等于时刻t+k的联合概 率密度函数。也就是说，对于具有严平稳性质的随机过程， 其全部概率结构只依赖于时间之差。 严平稳性的条件很严格，我们希望稍微放松限制条件。 于是从实际角度考虑，我们可以用联合分布的矩的平稳性来 定义随机过程的平稳性。
k 1 k 1
k2
自相关函数
1
ห้องสมุดไป่ตู้
(1 1 1 )( 1 1 ) 2 1 1 2 1 1
2
k 1 k 1
六、ARIMA模型
ARIMA (p,d,q)：对原序列yt作d阶差分后应用ARMA (p,q)
( B ) d y t ( B ) t
第一章
常用计量经济模型
第一节
时间序列的外推、平滑和季节调整
一、时间序列的成分
趋势成分（Trend）、循环成分（Cyclical）、
季节成分（Season）、不规则成分（Irregular）
二、简单外推模型
（适用于yt有一个长期增长的模式）
由时间序列过去行为进行预测的简单模型
1、线性趋势模型
yt =c1+ c2 t
E[ 1 y t 1 t 2 1 y t 1 t ] 1 0
2 2 2 2
2
0
2
1 1
2
协方差
1 E[ y t y t 1 ] E[( 1 y t 1 t ) y t 1 ]
E[ 1 y t 1 y t 1 t ] 1 0
α 越小，时间序列的平滑程度越高。
[例2] 美国月度新建住房数（1986年1月至1995年10月）
四、季节调整
（目的是“消除”时间序列中的季节成分引起的随机 波动）
Census Ⅱ
(美国普查局开发的标准方法)
移动平均比值法
(Ratio to Moving Averages)
yt L S C I
E( Pt ) t
2
2
因此Pt 是非平稳过程。
二、自相关函数
用[X(t)]表示一随机过程，滞后期为k的自相关系数定义为
(k )
C ov( X t , X t k )
t t k
tk
如果[X(t)]是一个平稳过程，则有 t 因此
(k )
C ov( X t , X t k )
2 E( t t j ) 0
E( t ) 0
, ,
j0 j0
[例] 白噪声过程的自相关函数
协方差函数
( k ) Cov( t , t k ) E [( t 0 )( t k 0 )] E ( t t k )
2
2 E[ y t y t 2 ] E[( 12 y t 2 1 t 1 t ) y t 2 ] 12 0

k 1k 0
自相关函数
0 1
k k 0
1
k
1 k 1
这说明自回归过程具有无限记忆力。 过程当前值与过去所有时期的值相关，且时期越早， 相关性越弱。
2、指数增长趋势模型
y t Ae
两边取对数
rt
log y t log A rt
3、自回归趋势模型
y t c1 c 2 y t 1
对数自回归趋势模型 log y t c1 c 2 log y t 1 4、二次曲线趋势模型
y t c1 c 2 t c 3 t
m阶弱平稳过程（Weakly Stationary）是指随机过程的联合 概率分布的矩直到m阶都是相等的。
若一个过程 {r(t)} 是2阶弱平稳过程，那么它会满足下列条件： （1）随机过程的均值保持不变； （2）随机过程的方差不随时间变化； （3）r(i)和r(j)之间的相关性只取决于时间之差 j- i。 [注]：弱平稳过程不一定是严平稳过程； 而严平稳过程若存在二阶矩，则必是2阶弱平稳过程。
四、移动平均（Moving Averages）模型
q阶移动平均模型MA (q)：
y t t 1 t 1 2 t 2 q t q
一阶移动平均模型MA (1)：
y t t 1 t 1
均值
q
E( y t )
0 1
1
1 1 1
2
k 0, k 1
这说明MA (1)过程仅有一期的记忆力。 MA (q)过程有q期的记忆力。
五、混合自回归-移动平均（ARMA）模型
ARMA (p , q)：
y t 1 y t 1 p y t p t 1 t 1 q t q
若移动平均过程的阶数为q，则对于j>q应有自相关函数ρj≈ 0
AIC、SC准则: 选择使准则值达到最小的模型阶数。
Pt Pt 1 t Pt Pt 1 t
[例] 利率的模型
三、自回归（Auto-Regression）模型
时间序列的当前值依赖于过去时期的观察值。 p阶自回归模型AR(p)：
y t 1 y t 1 2 y t 2 p y t p t
2
2
协方差
1 E[( y t )( y t 1 - )] 1 2
2 E[( y t )( y t 2 - )] E[( t 1 t 1 )( t 2 - 1 t 3 )]
0

k 0
自相关函数
一阶自回归模型AR(1)：
y t 1 y t 1 t

1 1
均值

若 1 1,
则过程平稳。
Pt Pt 1 t
[例] 带漂移项的随机游走过程
过程是非平稳的
平稳AR(1)过程的自相关函数
不妨设常数项为0
2 方差 0 E[( 1 y t 1 t ) ]
Box和Pierce的Q统计量
Q T

K
ˆ (k )2 ~ 2 ( K )
k 1
如果检验通过，则随机过程是白噪声。
自相关函数还可被用于检验一个序列是否平稳。
平稳时间序列的自相关函数随着滞后期k的增加而快速下降为0
(k ) (k )
k
k
平稳序列
非平稳序列
齐次非平稳过程
yt非平稳，但yt – yt-1平稳，称yt为一阶齐次非平稳过程 [例] 随机游走过程是一阶齐次非平稳过程
[例] 白噪声过程
rt t
其中随机变量 t 满足
E( t ) 0
2 E( t t j ) 0
, ,
j0 j0
显然白噪声过程是一个2阶弱平稳过程。
[例] 随机游走模型
Pt Pt 1 t
其中 t 是服从正态分布的白噪声 显然
E( Pt ) 0
第三步 消除不规则变动，得到S的估计
对S×I中同一季节的数据进行平均，从而消除掉I。
例如，对于月度数据，假定 y1是1月份的数据，
y2是1月份的数据，
y3是1月份的数据， y4是1月份的数据，总共4年数据。 则
z1 1 4 1 ( z1 z13 z 25 z 37 )
z2
4 1 4
自相关函数
1 (k ) (0) 0
(k )
, ,
k 0 k 0
样本自相关函数
1 ˆ (k ) 1 T k 1 t k 1
T
(r
t 1
T
t
r )( rt k r )
2
T 1