北京市西城区2017-2018学年下学期期末考试高二 数学试卷（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 在复平面内，复数z=i31-对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 在（x+2）4的展开式中，x 2的系数为 A. 24B. 12C. 6D. 43. 已知函数f （x ）=ln2x ，则f'（x ）= A.x41B.x21C.x2D.x1 4. 将一枚均匀硬币随机掷4次，恰好出现2次正面向上的概率为 A.41B.83C.21D.85 5. 函数f （x ）=-21x 2+lnx 的极值点是A. x=-1B. x=-21C. x=1D. x=216. 5名大学生被分配到4个地区支教，每个地区至少分配1人，其中甲、乙两名同学因专业相同，不能分配在同一地区，则不同的分配方法的种数为A. 120B. 144C. 216D. 2407. 设a ，b ，c 是正整数，且a ∈[70，80），b ∈[80，90），c ∈[90，100]。

当数据a ，b ，c 的方差最小时，a+b+c 的值为A. 252或253B. 253或254C. 254或255D. 267或2688. 已知函数f （x ）=e x +ax-2，其中a ∈R 。

若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞），且x 1<x 2，都有x 2·f （x 1）-x 1·f （x 2）<a （x 1-x 2）成立，则a 的取值范围是A. [1，+∞）B. [2，+∞）C. （-∞，1]D. （-∞，2]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

9. 函数f （x ）=cosx ，则f'（6π）=____________。

10. 定积分⎰-112dx x 的值为___________。

11. 设（2x+1）3=a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0，则a 0+a 1+a 2+a 3=__________。

12. 由数字1，2组成的三位数的个数是__________。

（用数字作答）13. 在平面几何里，有勾股定理：“在△ABC 中，若AB ⊥AC ，则AB 2+AC 2=BC 2”。

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ABD 、ACD 两两相互垂直，则___________。

” 14. 研究函数f （x ）=xxln 的性质，完成下面两个问题： ①将f （2），f （3），f （5）按从小到大排列为__________； ②函数g （x ）=x x1（x>0）的最大值为______________。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. （本小题满分13分）在数列{a n }中，a 1=1，a n =n. a n-1，n=2，3，4，…。

（I ）计算a 2，a 3，a 4，a 5的值；（Ⅱ）根据计算结果，猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明。

16. （本小题满分13分） 已知函数f （x ）=x 3+3x 2-9x 。

（I ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[-4，c]上的最小值为-5，求c 的取值范围。

17. （本小题满分13分）甲参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表。

假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立。

（I（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X ，求X 的分布列和数学期望。

18. （本小题满分13分）口袋中装有2个白球和n （n ≥2，n N*）个红球。

每次从袋中摸出2个球（每次摸球后把这2个球放回口袋中），若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖。

（I ）用含n 的代数式表示1次摸球中奖的概率； （Ⅱ）若n=3，求3次摸球中恰有1次中奖的概率；（III ）记3次摸球中恰有1次中奖的概率为f （p ）。

当f （p ）取得最大值时，求n 的值。

19. （本小题满分14分）已知函数f （x ）=x 2e x -b ，其中b ∈R 。

（I ）证明：对于任意x 1，x 2∈（-∞，0]，都有f （x 1）-f （x 2）≤2e4； （Ⅱ）讨论函数f （x ）的零点个数（结论不要求证明）。

20. （本小题满分14分）设L 为曲线C ：y=e x 在点（0，1）处的切线。

（I ）证明：除切点（0，1）之外，曲线C 在直线L 的上方；（Ⅱ）设h （x ）=e x -ax+ln （x+1），其中a ∈R 。

若h （x ）≥1对x ∈[0，+∞）恒成立，求a 的取值范围。

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

1. A 2. A 3. D 4. B 5. C 6. C 7. B 8. D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. -21 10. 3211. 27 12. 8 13. 2BCD 2ACD 2ABD 2ABC S S S S ∆∆∆∆=++14. f （5）<f （2）<f （3）；e e1注：14题第一空3分，第二空2分； 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

15. （本小题满分13分）解：（I ）根据已知，a 2=2，a 3=6，a 4=24，a 5=120。

……4分 （II ）猜想{a n }的通项公式为a n =n!。

……6分证明：①当n=1时，由已知a 1=1；由猜想a 1=1!=1，猜想成立。

……8分 ②假设当n=k （k ∈N*）时猜想成立，即a k =k!。

……9分 则n=k+1时，a k+1=（k+1）a k =（k+1）·k!=（k+1）!， 所以当n=k+1时，猜想也成立。

……12分 由①和②可知，a n =n!对于任意n ∈N*都成立。

……13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）f （x ）=x 3+3x 2-9x 的定义域是R ，且f '（x ）=3x 2+6x-9。

……2分 令f '（x ）=0，得x 1=-3，x 2=1。

……4分 f （x ）与f '（x ）在（-∞，+∞）上的情况如下：所以f……7分（II ）由f （-4）=20及（I ）中结论可知：当c ≥1时，函数f （x ）在区间[-4，c]上的最小值为f （1）=-5； ……9分 当-4<c<1时，函数f （x ）在区间[-4，c]上的最小值大于-5。

……11分因此，c 的取值范围是[1，+∞）。

……13分 17. （本小题满分13分）解：（I ）记“甲至少有一个科目考试成绩合格”为事件M ， ……1分 则P （M ）=（1-32）×（1-21）×（1-43）=241， ……3分所以P （M ）=1-P （M ）=2423。

……5分 （II ）依题意X=0，1，2，3。

……6分 P （X=0）=（1-32）×（1-21）×（1-43）=241；P （X=1）=32×（1-21）×（1-43）+（1-32）×21×（1-43）+（1-32）×（1-21）×43=41； P （X=3）=32×21×43=41； P （X=2）=1-P （X=0）-P （X=1）-P （X=3）=2411。

……10分 所以，随机变量X 的分布列为：EX=0×241+1×41+2×2411+3×41=1223。

……13分 18. （本小题满分13分）解：（I ）设“1次摸球中奖”为事件A ， ……1分则P （A ）=2n 3n 2n n C C C 2222n 2n22+++-=++。

……4分 （II ）由（I ）得，若n=3，则1次摸球中奖的概率为p=52， ……5分 所以3次摸球中，恰有1次中奖的概率为P 3（1）=12554)p 1(·pC 213=-。

…7分 （III ）设“1次摸球中奖”的概率为p ， 则3次摸球中，恰有1次中奖的概率为 f （p ）=C 13p ·（1-p ）2=3p 3-6p 2+3p （0<p<1）。

……9分 因为f'（p ）=9p 2-12p+3=3（p-1）（3p-1）， 所以，当p ∈（0，31）时，f （p ）单调递增；当p ∈（31，1）时，f （p ）单调递减， 所以，当p=31时，f （p ）取得最大值。

……11分 令312n 3n 2n n 22=+++-，解得n=2，舍去n=1。

所以，当f （p ）取得最大值时，n 的值为2。

……13分 19. （本小题满分14分）解：（I ）f （x ）的定义域是R ，且f'（x ）=x （x+2）e x 。

……2分 令f'（x ）=0，得x 1=-2，x 2=0。

……3分 f （x ）与f'（x ）在（-∞，0）上的情况如下：所以f ……5分 所以f （x ）在区间（-∞，0]上的最大值为f （-2）=b e 42-。

……6分 因为x ∈（-∞，0）时，f （x ）=x 2e x -b>-b ，且f （0）=-b ，所以f （x ）在区间（-∞，0]上的最小值为f （0）=-b 。

……8分 所以对∀x 1，x 2∈（-∞，0]，都有f （x 1）-f （x 2）≤f max （x ）-f min （x ）=2e4。

……9分 （II ）当b<0时，函数f （x ）的零点个数为0； ……10分 当b=0，或b>2e 4时，函数f （x ）的零点个数为1； ……12分 当b=2e4时，函数f （x ）的零点个数为2； ……13分 当0<b<2e 4时，函数f （x ）的零点个数为3。

……14分 20. （本小题满分14分）解：（I ）设f （x ）=e x ，则f'（x ）=e x ，所以f'（0）=1。

所以L 的方程为y=x+1。

……1分令g （x ）=f （x ）-（x+1），则除切点之外，曲线C 在直线L 的上方等价于g （x ）>0（∀x ∈R ，x ≠0）。

……2分 g （x ）满足g （0）=0，且g'（x ）=f'（x ）-1=e x -1。