2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题1、化简++++++344312332112211…=++20162017201720161.2、若22cos sin =+x x ,则=+x x 33cos sin .3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是．4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率=e ．5、函数14342++-=x x y 的最小值是．6、设+++=++22102)1(x a x a a x x n …nn x a 22+，则+++642a a a …=+n a 2．7、将全体真分数排成这样的一个数列}{n a ：,43,42,41,32,31,21…，排序方法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项=2017a ．8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列}{n a ，若2017=n a ，则=n 9、（15分）数列}{n a ，}{n b 满足：111==b a ，n n n b a a 21+=+，)1(1≥+=+n b a b n n n ．证明：（1）、21212<--n n b a ，222>n n b a ；（2）、2211-<-++nn n n b ab a ．10、（15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a -，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是c b a ++的倍数．11、（20分）设P=｛21，22，23，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n能够表示为集合P中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n具有P结构．证明：每个自然数n都具有P结构．12、（20分）如图，⊙1O，⊙2O相交于A，B两点，CD是经过点A的一条线段，其中，点C，D分别在⊙1O、⊙2O上，过线段CD上的任意一点K，作BDKM//，BCKN//，点M，N分别在BC，BD上，又向BCD∆形外方向，作BCME⊥，BDBF⊥，其中E在⊙1O上，F在⊙2O上；证明：KFKE⊥．2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题答案1、答案：.201711-解：由111)1(1)1).(1(1)1(11+-=+-+=+++=+++k kk k k k k k k k kk k k 可得.2、答案：825解4121)cos (sin cos sin 2-=-+=x x x x ,82582342)cos (sin cos sin 3)cos (sin cos sin 333=+=+-+=+x x x x x x x x 3、答案：3解：反向考虑，边长为a 的正方体（体积为a ）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为.313,3333==a a a ，则令4、答案：2221或．解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,12222b B a A b a by a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c ca l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于ca x c F a A 221)0,()0,(=-由21,22===+-a c e c c a a 得；（2）、上，的对称点在右准线关于ca x c F B 221)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得5、答案：5．解：首先，.06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即0)9(8064,0)9(8202222≥--=∆=-+-y y y xy x 据判别式，即,52≥y 因0>y ,则,5≥y 此值在求解）（也可以令时取得θtan 21.51==x x .6、答案：213-n ．解：令0=x ，得10=a ,再令1=x ，得nn a a a a 32210=++++ ,又令1-=x ，得12210=+++-n a a a a ，所以2132642-=++++n na a a a .7、答案：651．解：按分母分段，分母为1+k 的分数有k 个，因208026564,201626463=⨯=⨯，因2017属于第64段，则2017a 应是分母为65的第一数，即651.8、答案：120=n 解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，a -10这a -11个数字的任意一个值，而在a ,b确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(91=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：9=++c b a 的非负整数解()c b a ,,的个数是55211=C ，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.9、证明：（1）、21212<--n n b a ，222>n n b a ；（2）、2211-<-++nn n n b ab a ．证明：)2()(2)2(222222121n n n n n n n n b a b a b a b a --=+-+=-++…①由此递推得n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a )1()2()1()2()(2)2(221211212121121122-=--==--=+-+=-------- …②因此02,022122122222<->---n n n n b a b a 即有,2,2221212><--nn n n b ab a 据①得22212122n n n n b a b a -=-++…③，由条件知，{}{},,n n b a 皆为严格递增的正整数数列，,0,011>>>>++n n n n b b a a 所以nn n n b a b a 212111+<+++…④nn b b 111<+…⑤将③④⑤相乘得2211-<-++nn n n b ab a 10、证：因）（即2233)(2017,)(2017b ab a b a b a ++--；又由,20170<-<b a 注意2017为质数，则b a -与2017互质，因此）（ab b a ++222017…①同理有）（bc c ++22b 2017…②）ac c a ++22(2017…③，根据②③，][20172222）（）（bc c b ac c a ++-++，即）（c b a b a ++-)(2017，从而）（c b a ++2017，因正整数c b a ,,皆小于2017，得20173⨯<++c b a 因此2017=++c b a 或20172⨯.又注意c b a ++与222c b a ++同奇偶，故只要证）（2222017c b a ++，将①改写为）（则知））（ac b ac b c b a a --+++222017],[2017…④，同理有）（bc a -22017，）（ab c -22017…⑤，将①②③④⑤式相加，得）（22232017c b a ++于是）（2222017c b a ++，从而）（222)(c b a c b a ++++.11、证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为：22222222222222222222239,318,437,4316,21524,213,43212,11,5430=+-=+-=+--=+==+-=+---==+--=再考虑区间(]224,3中的数，其中除了16=42之外，其余的数皆可表示为)61(42≤≤-=k k n 形式；并且注意到，在1，2，3，4，5，6中每个数的ｐ结构表示中，凡是表示式中42参与时，42皆以正项形式出现，于是由)61(42≤≤-=k k n 可知，此时42项便抵消（不会出现242⨯的项）；因此，区间(]224,3中的数皆具有P 结构表示，也就是24≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为42，而凡是含有42的表示中，42皆以正项形式出现，下面使用归纳法，假若已证得2m ≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为2m ，而凡是含有2m 表示中，2m 皆以正项形式出现（其中4≥m ），对于区间(]22)1(,+m m 中的数，除了最大数可以直接表示为2)1(+m 之外，其余元素n 皆可表示为：)21()1(2m k k m n ≤≤-+=，由归纳假设，22,4m m m <≥且，并且此k 具有P 结构表示，其中每项皆2m ≤，因此数n 具有P 结构表示，故由归纳法，即知所证的结论成立.12、证明：设⊙1O 、⊙2O 的半径分别为21,r r ，由于ABEC 共圆，ABFD 共圆，得,sin 2,221BAD r BD BAC sim r BC ∠=∠=而,,18021r r BD BC BAD BAC ==∠+∠︒所以于是12BO C BO D ∆∆ ，根据平行关系得CMK KND CBD ∆∆∆ ,所以KMBN r r BD BC ND NK MK MC 且四边形,21===为平行四边形，BN MK =,延长垂线FN 交⊙2O 于1F ,因,21r r BD BC =则⊙1O 上优弧BEC 与⊙2O 上BD 所对的优弧B DF 1的度数相等，又因M ,N 分别是两圆对应弦CB 、BD 上的点，且所以,21r r BD BC MK CM BN CM ===1CME NF B ∆∆ ,1BME NF D ∆∆ ,从而1BEC DF B ∆∆ ,由1BEM NF D FBN ∆∆∆ ,得FNBNBM EM =,注意BM KN =,BN KM =,上式成为FNKMKN EM =,根据CMK KND ∆∆ ,得︒=∠=∠∠=∠90,FND EMC KND CMK 而EMK KNF CMK ∆∴∠=∠,,所以∽FNK ∆,而,,BD FN BC EM ⊥⊥又据条件.,,,//,//KF KE KM FN KN EM BC KN BD KM ⊥⊥⊥由此所以。