能求某时刻的瞬时速度
h
14
备用:已知曲线y 2x2 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求
过点P的切线的倾斜角和切线方程.
解 : K P l x 0 i x y m ,而 y f ( 1 x ) f ( 1 ) 2 ( 1 x ) 2 2 2 ,
y
2(1x)222
4x2(x)2
练习: 某质点沿直线运动,运动规律是 s=5t2+6，求t=1时刻的瞬时速度.
求瞬时速度一般可以分为三步：
（1）求⊿s；
(2)求s 并整理； t
(3)求lim s；
t0 th13小结： （1）能从极限的角度理解曲线在点P处切线 的定义；
能求曲线在点P处切线的斜率及方程；
（2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
h
11
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v2.05g2.05m/s.
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: __ v2.00g5 2.0m 5/s.
(3)当t 0,2t 2,
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k 切 t 线 a ln x i0 m x y lx i0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限
（2）若割线在P点有极限位置，则在此点有切线,
且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
（（33））曲曲线线的的切切线线,与并曲不线一是定否与只曲有线一只个有交一点个吗交？点,可
以有多个,甚至可以无穷多个h .
5
例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2) 处的切线的斜率、切线方程.
O s(2)
s(2+t) s
__
从 而 平 均 速v 的 度极 限 为 ：
__ s
vlim vlim2g2m 0/s. t 0 t 0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
h
12
PM//x轴,QM//y轴，
y
y=f(x)
β为PQ的倾斜角.
Q
则:MPx,MQy,
y tan.
x
Pβ Δx
表明：y 就是割线的斜 . 率O x
h
Δy
M x
3
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
h
4
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时, 若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
lim lim
lim
x x0
x0
x
x0x[ 2(1x)222]
4x
4
lim
1.
x0 2(1x)222 2122
KP ta n1,45,即过 P点切线的倾
等于 45.
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:求曲线
y
1 x3
上一点P(1,-1)处的切线方程.
答案:y=3x-4.
3yx| x 02224.
-2 -1 O -1
-2
x 12
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-h8/3=4(x-2),即12x-3y-16=09 .
二、瞬时速度：
一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物
体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为
st s(t tt)s(t) 平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确 地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
h
15
8
练习:如图,已知曲线 y1x3上一P(点 2,8), 求:
3
3
(1)点P处的切线的斜率;
解(： 1)y(2)1点x3P, 处y的 切lim 线方y 程li.m13(xx)3
1 3
x3
4
y y
1
x3
3
3
x0 x x0
x
3
1 3x2x3x(x)2 (x)3 lim
P
2
3x0
x
1
1 l i m[3x2 3xx(x)2] x2.
yQ
y = x 2+1
y
P
M
x
1j
x
h
-1 O 1
6
求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步
（1）求⊿y；
(2)求y 并整理； x
(3)求lim y； x0 x
求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，
然后利用点斜式求切线方程.
h
7
例2：求曲 y线1 在点 P(1， 1)处 x
的切线的斜率。
h
物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+Δt这 段时间内，当Δt→0时的平均速度的极限；
s s(t t)s(t)
v(t)lim lim
t t 0
t 0h
t
10
例3: 物体作自由落体运动,运动方程为：s
1 2
gt
2
g=10m/s2 ，位移单位是m，时间单位是s，.
求：(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
第三章 导数 3.1.1曲线的切线
h
2
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
一.曲线的切线
如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是 曲线C上的任意一点，Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近 一点，PQ为C的割线，
引入:
一、切线问题：
（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们 的切线是如何定义的？
（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲 线的切线？
（3）曲线的切线与直线是否只有一个交点？
二、最值问题：
求函数y=x3-2x-1，x∈[-1，1]的最大值和最小值。
h
1
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632