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中考数学二轮 旋转 专项培优易错试卷及答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.(1)如图①,当点D落在BC边上时,求点D的坐标;(2)如图②,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.①求证△ADB≌△AOB;②求点H的坐标.(3)记K为矩形AOBC对角线的交点,S为△KDE的面积,求S的取值范围(直接写出结果即可).【答案】(1)D(1,3);(2)①详见解析;②H(175,3);(3)30334-≤S≤30334+.【解析】【分析】(1)如图①,在Rt△ACD中求出CD即可解决问题;(2)①根据HL证明即可;②,设AH=BH=m,则HC=BC-BH=5-m,在Rt△AHC中,根据AH2=HC2+AC2,构建方程求出m即可解决问题;(3)如图③中,当点D在线段BK上时,△DEK的面积最小,当点D在BA的延长线上时,△D′E′K的面积最大,求出面积的最小值以及最大值即可解决问题;【详解】(1)如图①中,∵A(5,0),B(0,3),∴OA=5,OB=3,∵四边形AOBC是矩形,∴AC=OB=3,OA=BC=5,∠OBC=∠C=90°,∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到,∴AD=AO=5,在Rt△ADC中,CD=22AD AC-=4,∴BD=BC-CD=1,∴D(1,3).(2)①如图②中,由四边形ADEF是矩形,得到∠ADE=90°,∵点D在线段BE上,∴∠ADB=90°,由(1)可知,AD=AO,又AB=AB,∠AOB=90°,∴Rt△ADB≌Rt△AOB(HL).②如图②中,由△ADB≌△AOB,得到∠BAD=∠BAO,又在矩形AOBC中,OA∥BC,∴∠CBA=∠OAB,∴∠BAD=∠CBA,∴BH=AH,设AH=BH=m,则HC=BC-BH=5-m,在Rt△AHC中,∵AH2=HC2+AC2,∴m2=32+(5-m)2,∴m=175,∴BH=175,∴H(175,3).(3)如图③中,当点D在线段BK上时,△DEK的面积最小,最小值=12•DE•DK=12×3×(34)30334-当点D在BA的延长线上时,△D′E′K的面积最大,最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×(5+342)=303344+.综上所述,303344-≤S≤303344+.【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.2.已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转,角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF,设CE=a,CF=b.(1)如图1,当a=42时,求b的值;(2)当a=4时,在图2中画出相应的图形并求出b的值;(3)如图3,请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式.【答案】(1)422)b=8;(3)ab=32.【解析】试题分析:(1)由正方形ABCD的边长为4,可得AC=2,∠ACB=45°.再CE=a=2∠CAE=∠AEC,从而可得∠CAF的度数,既而可得 b=AC;(2)通过证明△ACF∽△ECA,即可得;(3)通过证明△ACF∽△ECA,即可得.试题解析:(1)∵正方形ABCD的边长为4,∴AC=42,∠ACB=45°.∵CE=a=42,∴∠CAE=∠AEC=452︒=22.5°,∴∠CAF=∠EAF-∠CAE=22.5°,∴∠AFC=∠ACD-∠CAF=22.5°,∴∠CAF=∠AFC,∴b=AC=CF=42;(2)∵∠FAE=45°,∠ACB=45°,∴∠FAC+∠CAE=45°,∠CAE+∠AEC=45°,∴∠FAC =∠AEC.又∵∠ACF=∠ECA=135°,∴△ACF∽△ECA,∴AC CFEC CA=,∴42442=,∴CF=8,即b=8.(3)ab=32.提示:由(2)知可证△ACF∽△ECA,∴∴AC CFEC CA=,∴4242a=,∴ab=32.3.如图所示,(1)正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=90°,连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中,BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系?结合图(1)给予证明;(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD,等腰Rt△AEF变为Rt△AEF,且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化?结合图(2)说明理由;(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD,将Rt△AEF变为△AEF,且∠BAD=∠EAF=a,其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化?结合图(3),如果不变,直接写出结论;如果变化,直接用k表示出线段BE、DF的数量关系,用a表示出直线BE、DF 形成的锐角β.【答案】(1)DF=BE且DF⊥BE,证明见解析;(2)数量关系改变,位置关系不变,即DF=kBE,DF⊥BE;(3)不改变.DF=kBE,β=180°-α【解析】【分析】(1)根据旋转的过程中线段的长度不变,得到AF=AE,又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余,所以∠BAE=∠DAF,所以△FAD≌△EAB,因此BE与DF相等,延长DF交BE于G,根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF=90°,所以DF⊥BE;(2)等同(1)的方法,因为矩形的邻边不相等,但根据题意,可以得到对应边成比例,所以△FAD∽△EAB,所以DF=kBE,同理,根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF=90°,所以DF⊥BE;(3)与(2)的证明方法相同,但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF =180°,所以DF 与BE 的夹角β=180°﹣α.【详解】(1)DF 与BE 互相垂直且相等.证明:延长DF 分别交AB 、BE 于点P 、G在正方形ABCD 和等腰直角△AEF 中AD =AB ,AF =AE ,∠BAD =∠EAF =90°∴∠FAD =∠EAB∴△FAD ≌△EAB∴∠AFD =∠AEB ,DF =BE∵∠AFD+∠AFG =180°,∴∠AEG+∠AFG =180°,∵∠EAF =90°,∴∠EGF =180°﹣90°=90°,∴DF ⊥BE(2)数量关系改变,位置关系不变.DF =kBE ,DF ⊥BE .延长DF 交EB 于点H ,∵AD =kAB ,AF =kAE ∴AD k AB =,AF k AE = ∴AD AF AB AE= ∵∠BAD =∠EAF =a∴∠FAD =∠EAB∴△FAD ∽△EAB ∴DF AF k BE AE== ∴DF =kBE ∵△FAD ∽△EAB ,∴∠AFD =∠AEB ,∵∠AFD+∠AFH =180°,∴∠AEH+∠AFH =180°,∵∠EAF =90°,∴∠EHF =180°﹣90°=90°,∴DF ⊥BE(3)不改变.DF =kBE ,β=180°﹣a .延长DF 交EB 的延长线于点H ,∵AD =kAB ,AF =kAE ∴AD k AB =,AF k AE = ∴AD AF AB AE= ∵∠BAD =∠EAF =a∴∠FAD =∠EAB∴△FAD ∽△EAB ∴DF AF k BE AE== ∴DF =kBE 由△FAD ∽△EAB 得∠AFD =∠AEB∵∠AFD+∠AFH =180°∴∠AEB+∠AFH =180°∵四边形AEHF 的内角和为360°,∴∠EAF+∠EHF =180°∵∠EAF =α,∠EHF =β∴a+β=180°∴β=180°﹣a【点睛】本题(1)中主要利用三角形全等的判定和性质以及正方形的性质进行证明;(2)(3)利用相似三角形的判定和性质证明,要解决本题,证明三角形全等和三角相似是解题的关键,也是难点所在.4.如图,矩形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上,顶点C 在y 轴正半轴上,点B 的坐标为(4,m )(5≤m≤7),反比例函数y =16x(x >0)的图象交边AB 于点D . (1)用m 的代数式表示BD 的长;(2)设点P在该函数图象上,且它的横坐标为m,连结PB,PD①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S,求当m为何值时,S取到最大值;②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E,当点E恰好落在x轴上时,求m的值.【答案】(1)BD=m﹣4(2)①m=7时,S取到最大值②m=5【解析】【分析】(1)先确定出点D横坐标为4,代入反比例函数解析式中求出点D横坐标,即可得出结论;(2)①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S=﹣12(m﹣8)2+24,即可得出结论;②利用一线三直角判断出DG=PF,进而求出点P的坐标,即可得出结论.【详解】解:(1)∵四边形OABC是矩形,∴AB⊥x轴上,∵点B(4,m),∴点D的横坐标为4,∵点D在反比例函数y=16x上,∴D(4,4),∴BD=m﹣4;(2)①如图1,∵矩形OABC的顶点B的坐标为(4,m),∴S矩形OABC=4m,由(1)知,D(4,4),∴S△PBD=12(m﹣4)(m﹣4)=12(m﹣4)2,∴S=S矩形OABC﹣S△PBD=4m﹣12(m﹣4)2=﹣12(m﹣8)2+24,∴抛物线的对称轴为m=8,∵a<0,5≤m≤7,∴m=7时,S取到最大值;②如图2,过点P作PF⊥x轴于F,过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G,∴∠DGP=∠PFE=90°,∴∠DPG+∠PDG=90°,由旋转知,PD=PE,∠DPE=90°,∴∠DPG+∠EPF=90°,∴∠PDG=∠EPF,∴△PDG≌△EPF(AAS),∴DG=PF,∵DG=AF=m﹣4,∴P(m,m﹣4),∵点P在反比例函数y=16,x∴m(m﹣4)=16,∴m=2+25或m=2﹣25(舍).【点睛】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,矩形的性质,三角形的面积公式,全等三角形的判定,构造出全等三角形是解本题的关键.5.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3).(1)当点N落在边BC上时,求t的值.(2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值.(3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式.(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值.【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4)t=1或【解析】试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ;(3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN.(4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值.试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形,∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合.∴DQ=3∴2t=3.∴t=;(2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,∴PD=DQ,当0<t<时,此时,PD=t,DQ=2t∴t=2t∴t=0(不合题意,舍去),当≤t<3时,此时,PD=t,DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t,解得t=2;综上所述,当点N到点A、B的距离相等时,t=2;(3)由题意知:此时,PD=t,DQ=2t当点M在BC边上时,∴MN=BQ∵PQ=MN=3t,BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①,当0≤t≤时,S△PNQ=PQ2=t2;∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2,如图②,当≤t≤时,设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,∵MN=PQ=3t,NE=BQ=3﹣2t,∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3,∵△EMF是等边三角形,∴S△EMF=ME2=(5t﹣3)2.;(4)MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,此时<t<,t=1或.考点:几何变换综合题6.如图是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.同时转动两个转盘,当转盘停止后,计算指针所指区域内的数字之和.如果指针恰好指在分割线上,那么重转一次,直到指针指向一个数字为止.(1)请你通过画树状图或列表的方法分析,并求指针所指区域内的数字和小于10的概率;(2)小亮和小颖小亮和小颖利用它们做游戏,游戏规则是:指针所指区域内的数字和小于10,小颖获胜;指针所指区域内的数字之和等于10,为平局;指针所指区域内的数字之和大于10,小亮获胜.你认为该游戏规则是否公平?请说明理由;若游戏规则不公平,请你设计出一种公平的游戏规则.【答案】(1)13;(2)不公平.【解析】试题分析:(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果,然后根据概率公式求出该事件的概率.(2)判断游戏的公平性,首先要计算出游戏双方赢的概率,概率相等则公平,否则不公平.试题解析:(1)共有12种等可能的结果,小于10的情况有4种,所以指针所指区域内的数字和小于10的概率为13.(2)不公平,因为小颖获胜的概率为;小亮获胜的概率为512.小亮获胜的可能性大,所以不公平.可以修改为若这两个数的和为奇数,则小亮赢;积为偶数,则小颖赢.考点:1.游戏公平性;2.列表法与树状图法.7.(1)发现如图,点A 为线段BC 外一动点,且BC a =,AB b =.填空:当点A 位于____________时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为_________.(用含a ,b 的式子表示)(2)应用点A 为线段BC 外一动点,且3BC =,1AB =.如图所示,分别以AB ,AC 为边,作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ,连接CD ,BE .①找出图中与BE 相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE 长的最大值.(3)拓展如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为()2,0,点B 的坐标为()5,0,点P 为线段AB 外一动点,且2PA =,PM PB =,90BPM ∠=︒,求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】(1)CB 的延长线上,a+b ;(2)①DC=BE,理由见解析;②BE 的最大值是4;(3)AM 的最大值是2,点P 的坐标为(22)【解析】【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时,线段AC 的长取得最大值,即可得到结论; (2)①根据等边三角形的性质得到AD=AB ,AC=AE ,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD ≌△EAB ,根据全等三角形的性质得到CD=BE ;②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM ,将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ,连接AN ,得到△APN 是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM ,根据当N 在线段BA 的延长线时,线段BN 取得最大值,即可得到最大值为2+3;如图2,过P 作PE ⊥x 轴于E ,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解:(1)∵点A 为线段BC 外一动点,且BC=a ,AB=b ,∴当点A 位于CB 的延长线上时,线段AC 的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b , 故答案为CB 的延长线上,a+b ;(2)①CD=BE ,理由:∵△ABD 与△ACE 是等边三角形,∴AD=AB ,AC=AE ,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ,即∠CAD=∠EAB ,在△CAD 与△EAB 中,AD AB CAD EAB AC AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== , ∴△CAD ≌△EAB ,∴CD=BE ;②∵线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值,由(1)知,当线段CD 的长取得最大值时,点D 在CB 的延长线上,∴最大值为BD+BC=AB+BC=4;(3)∵将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ,连接AN ,则△APN 是等腰直角三角形,∴PN=PA=2,BN=AM ,∵A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(5,0),∴OA=2,OB=5,∴AB=3,∴线段AM 长的最大值=线段BN 长的最大值,∴当N 在线段BA 的延长线时,线段BN 取得最大值,最大值=AB+AN ,∵22,∴最大值为2+3;如图2,过P 作PE ⊥x 轴于E ,∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=2,∴OE=BO-AB-AE=5-3-2=2-2,∴P(2-2,2).【点睛】考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.8.如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,22,10.△ADP沿点A旋转至△ABP′,连接PP′,并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小.【答案】(1)证明见解析;(2)∠BPQ=45°.【解析】【分析】(1)根据旋转的性质可知,△APD≌△AP′B,所以AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,因为∠PAD+∠PAB=90°,所以∠P′AB+∠PAB=90°,即∠PAP′=90°,故△APP′是等腰直角三角形;(2)根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形,再根据平角定义求出结果.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,∴AP=AP′,∠PAP′=∠DAB=90°,∴△APP′是等腰直角三角形;(2)∵△APP′是等腰直角三角形,∴22,∠APP′=45°,∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,∴,在△PP′B中,,,,∵)2+(2=)2,∴PP′2+PB2=P′B2,∴△PP′B为直角三角形,∠P′PB=90°,∴∠BPQ=180°﹣∠APP′﹣∠P′PB=180°﹣45°﹣90°=45°.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理的综合运用,有一定难度,关键是明确旋转的不变性.。

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