数学建模1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而解：设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i2、靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。

两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。

从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。

环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。

两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。

现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。

列出线性规划模型。

解：设x 1、2标可描述为min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥03、红旗商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如表所示。

为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作五天，休息两天，并要求休息的两天是连续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需127星期日开始上班的人数。

min x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7x 3+x 4+x 5+x 6+x 7≥28 x 4+x 5+x 6+x 7+x 1≥15 x 5+x 6+x 7+x 1+x 2≥24 x 6+x 7+x 1+x 2+x 3≥25 x 7+x 1+x 2+x 3+ x 4≥19 x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≥31 x 2+x 3+x 4+x 5+x 6≥28x 1、x 2、x 3、x 4、x 5、x 6、x 7≥04、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等，每种物品的重量及重要性系数见表所示，能携带的i ⎩⎨⎧=ii i x x x 不携带物品携带物品01 （i ＝1， (7)则0－1规划模型为：max z ＝20x 1＋15x 2＋16x 3＋14x 4＋8x 5＋14x 6＋9x 7 s.t. 5x 1＋5x 2＋2x 3＋5x 4＋10x 5＋2x 6＋3x 7≤25x i ＝0或1，i ＝1，0，…，7标准化问题1、将下列线性规划化为标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±≤≥≤-+=+--≥-++-=不限321321321321321 ,0 ,019|1210|15736 10 ..235)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥''''≤+''-'+'+-≤+''+'-'-=''-'+'+≤+''-'+'+-''+-'--=-0,,,,,, 191210191210157736 10 ..2'235)](max[654332163321533213321433213321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x f 2、化下列线性规划为标准形 ma x z =2x 1+2x 2－4x 3 x 1 + 3x 2－3x 3 ≥30 x 1 + 2x 2－4x 3≤80 x 1、x 2≥0，x 3无限制解：按照上述方法处理，得该线性规划问题的标准形为 ma x z =2x 1+2x 2－4x 31+4x 32x 1 + 3x 2－3x 31 + 3x 32－x 4 = 30 x 1 + 2x 2－4x 31 + 4x 32 + x 5 = 80 x 1、x 2，x 31，x 32，x 4，x 5 ≥0图解法1、用图解法求解下面线性规划。

ma x z =2x 1+2x 2 x 1－x 2 ≥ 1 －x 1 + 2x 2≤ 0 x 1、x 2≥ 0解：图1—3中阴影部分就是该问题的可行域，显然该问题的可行域是无界的。

两条虚线为目标函数等值线，它们对应的目标值分别为2和4，可以看出，目标函数等值线向右移动，问题的目标值会增大。

但由于可行域无界，目标函数可以增大到无穷。

称这种情况为无界解或无最优解。

2、用图解法求解下述LP 问题。

121212max 2328416.. 4120,1,2j z x x x x x s t x x j =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩解：可知，目标函数在B(4, 2)处取得最大值，故原问题的最优解为*(4,2)TX =，目标函数最大值为*2*43*214z =+=。

3、 用图解法求解以下线性规划问题： （1）max z= x 1 +3x 2s.t. x 1 +x 2 ≤10 -2x 1 +2x 2 ≤12x 1≤ 7x 1, x 2≥0x 210(2,8)6x1 -6 0 7 10最优解为（x1,x2）=（2,8），max z=26(2) min z= x1-3x2s.t. 2x1-x2≤4x1+x2≥3x2≥5x1≤4x1最优解为（x1，x2）=（0，5），min z=-15（3）max z= x1+2x2s.t. x1-x2≤1x1+2x2≤4x1≤3x1, x2≥0x1多个最优解，两个最优极点为（x1，x2）=（2，1），和(x1，x2)=(0，2)，max z=5（4）min z= x1+3x2s.t. x1+2x2≥42x1+x2≥4x1, x2≥0x112单纯形法1、用单纯形法求解ma x z=50x1+100x2x1 + x2≤3002x1 + x2≤400x2≤250x1、x2≥0j2、用单纯形法求解ma x z=2x1+x2－x1 + x2≤52x1－5x2≤10x1、x2≥0解：用单纯形表实现如表1—10223、用单纯形法（大M法）求解下列线性规划ma x z=3x1－2x2－x3x1－2x2 + x3≤11－4x1 + x2 + 2x3 ≥3－2x1+ x3= 1x1、x2、x3≥0解：化为标准形式ma x z=3x1－2x2－x3x1－2x2 + x3 + x4= 11－4x1+ x2 +2x3 －x5 = 3－2x1+x3= 1x1、x2、x3、x4、x5≥0在第二、三个约束方程中分别加入人工变量x6、x7，构造如下线性规划问题ma x z=3x1－2x2－x3－M x6－M x7x1－2x2 + x3 + x4= 11－4x1+ x2 +2x3 －x5 + x6= 3－2x1+x3+x7 = 1x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7≥0用单纯形进行计算，计算过程见表j4、用单纯形法（大M法）求解下列线性规划ma x z=3x1+2x22x1+ x2 ≤23x1 +4 x2 ≥12x1、x2≥0解:化为标准形式后引入人工变量x5得到ma x z=3x1+2x2－M x52x1+ x2 +x3= 23x1 +4 x2 －x4+x5 =12x1、…、x5≥0用单纯形法计算，过程列于表中。

从表中可以看出，虽然检验数均小于或等于零，但基变量中含有非零的人工变量2、用单纯形法求解下述LP 问题。

121212max 2328416.. 4120,1,2j z x x x x x s t x x j =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥=⎩解：首先将原问题转化为线性规划的标准型，引入松弛变量x 3, x 4,x 5，可得：121231425max 2328416.. 4120,1,2,,5j z x x x x x x x s t x x x j =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥=⎩构造单纯形表，计算如下：原问题的最优解为(4,2,0,0,4)X =，目标函数最大值为*2*43*214z =+=。

3、用单纯形法求解下述LP 问题。

12121212max 34240.. 330,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 解：首先将原问题转化为线性规划的标准型，引入松弛变量3x 、4x ，可得：121231241234max z 34240.. 330,,,0x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ 构造单纯形表，计算如下：X=，目标函数值为由此可得，最优解为*(18, 4, 0, 0)T*3*184*470z=+=。

4、用单纯形法求解下述LP 问题。

12121212max 2.53515.. 5210,0z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 解：引入松弛变量3x 、4x ，化为标准形式：121231241234max 2.53515.. 5210,,,0z x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩由单纯形表，可得两个最优解(2,0,9,0)X =、(2)(20/19,45/19,0,0)T X =，所以两点之间的所有解都是最优解，即最优解集合为：(1)(2)(1)X X αα+-，其中01α≤≤。

5、用单纯形法求解下述线性规划123123123123123max 232883104..48,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+-++≤⎧⎪-+≤⎪⎨--≤⎪⎪≥⎩解：引入松弛变量x 、x 和x ，列单纯形表计算如下：故，原问题的最优解为*3333(1011,27,,267,0,0)T X x x x x =+++，*6z =，其中30x ≥。

7、用单纯形法求解下述LP 问题。

121231241234min z 34240.. 330,,,0x x x x x s t x x x x x x x =--++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩ 解：构造单纯形表计算如下：故，最优解为*(18, 4, 0, 0)T X =，目标函数值为*3*184*470z =--=-。

8、用大M 法求解下述LP 问题123123123123max 2357..2510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =+-++=⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩ 解：先将原问题化为标准型，引入松弛变量4x ，得：12312312341234max 2357..2510,,,0z x x x x x x s t x x x x x x x x =+-++=⎧⎪-+-=⎨⎪≥⎩ 再引入人工变量5x 、6x ，得：12356123512346123456max 2357..2510,,,,,0z x x x Mx Mx x x x x s t x x x x x x x x x x x =+---+++=⎧⎪-+-+=⎨⎪≥⎩构造单纯形表计算如下：由此得，原问题的最优解为*454(, , 0)77T X =，目标函数最优值为102/7。