抽象函数与解题策略上海南洋模范中学 熊晓东2005年11月19日（一）抽象函数的定义、特征和一般解题策略（1）什么是抽象函数？那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。
（2）抽象函数与一般函数的有什么联系？抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。
例如，)x (f )x (f )x x (f 2121+=+对应的是指数函数2121x x x xaaa ⋅=+；)x (f )x (f )x x (f 2121+=对应的是对数函数2a1a 21a x l o g x l o g )x x (l o g +=等等。
当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。
抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。
（3）抽象函数的解题策略一般有哪些？面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。
（二）高考中的抽象函数 （1）抽象函数在高考中的地位函数是高考数学中非常重要的一部分，根据上海卷命题的要求，每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右，2005年高考上海卷中，函数相关的内容将近55分。
而抽象函数是函数中考核要求较高，难度较大的内容。
2000年开始，不论是全国卷还是上海卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。
03年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目，03、04、05年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。
（2）为什么抽象函数在高考中被如此重视一般抽象函数数学题融函数单调性、周期性、奇偶性、定义域、值域、图像以及不等式、方程等知识于一体。
通过赋值整体思考，找出一个具体函数原型等方法去探究该函数的性质，能运用相关性质去解决有关问题。
在高考中加大对学生理性思维能力的考查以及主体创新能力的考查是新时期的一个重要特点。
（3）具体地来看，抽象函数在历届高考中在哪些题型中出现过？在最近五年的高考中，抽象函数可以出现在各种类型的题目中。
例如，可以考抽象函数的填空题、选择题（2002年北京卷第11、12题，2003年上海卷第16题，2004年上海卷第5题，等等），还可以考抽象函数的解答题（2001年全国卷最后一题，2002年北京卷最后一题，2003年上海卷最后一题，2003年北京卷最后一题，2005年上海卷第21题，等等）。
（4）全国卷和上海卷中的抽象函数题型有什么区别吗？有一定程度上的区别。
全国卷中（特别是北京卷）经常会在最后一个大题考抽象函数，是非常典型的抽象函数性质的讨论、计算和证明，对于解题技巧、综合运用各类知识和技能的要求非常高；上海卷中的抽象函数，特别是最近几年，以一种“定义新函数”的题型出现，突出考核学生的学习能力、应用能力和创新能力，不特别强调解题的技巧。
具体的差别，可以通过例题的练习和讲解来得以区分。
总之，关于抽象函数题的难度都是相当高的。
（三）典型例题例题1、设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：)x(f-10=+；x(f10)-=-。
求证：f(x)是奇函数，又是周期函数。
(f+(f)x2020)x证明：已知)xx2010[f(10(f--=-+-=⇒)10(f-x)x10=(f[f+)]10)]10x(-(f=⇒（1）)x)x(f20又)x(f+--20=x(f20)-=)x(f+⇒（2）)x(f20=+(f=-+40⇒+=+x(f20)x)x(f)x)][f2020(即f(x)是以40为周期的周期函数由（1）式)x (f )x 20(f -=+⇒ 由（2）式)x 20(f )x (f +-=⇒)x (f )x (f --=⇒即f(x)是奇函数综上所述，f(x)是奇函数，又是周期函数。
例题2、f(x)是定义在R 上的函数，且)x (f 1)x (f 1)1x (f -+=+，（f(x)≠0，1）。
若f(1)=2，求f(2005)的值． 解：已知)x (f 1)x (f 1)x (f 11)x (f 1)x (f 11)1x (f 1)1x (f 1)2x (f -=-+--++=+-++=+⇒ )x (f )x (f 11)2x (f 1)4x (f =--=+-=+⇒∴f(x)是以4为周期的周函数，则2)1(f )2005(f ==例题3、已知函数f(x)对于x>0有意义，且满足条件f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是非减函数（定义：D x x 21∈<∀，)x (f )x (f 21≤，则成)x (f 是定义域在D 上的非减函数）。
（1）证明f(1)=0；（2）若f(x)+f(x －2)≥2成立，求x 的取值范围。
解：(1)令x=2,y=1，则f(2×1)=f(2)+f(1)⇒ f(1)=0(2)由已知⇒f(x)+f(x －2)=f(x 2－2x) ≥2，又2=1+1=f(2) +f(2)=f(4)⇒f(x 2－2x)≥f(4)又f(x)为非减的函数⇒x 2－2x ≥4即x 2－2x －4≥0⇒x ≥1+5或x ≤1－5已知f(x)对x>0有意义，且x －2>0⇒ x>2),51[x +∞+∈⇒例题4、设函数f(x)的定义域为R ，对于任意实数m 、n ，总有)n (f )m (f )n m (f ⋅=+，且0x > 时1)x (f 0<<。
（1）证明：f(0)=1，且x<0时f(x)>1；（2）证明：f(x)在R 上单调递减；（ 3 ）设}R a ,1)2y ax (f )y ,x ({B )},1(f )y (f )x (f )y ,x ({A 22∈=+-=>⋅=，若φ=B A ，确定a 的范围。
（1）证明：)n (f )m (f )n m (f ⋅=+令0n ,0m =>)0(f )m (f )m (f ⋅=⇒，已知0x >时，1)x (f 0<< 1)0(f =⇒设0x m <=，0x n >-=，)1,0()x (f ∈-1)n (f )m (f )n m (f )0(f =⋅=+=⇒1)m (f >⇒，即当x<0时f(x)>1（2）R x x 21∈<∀，则0)x (f ,1)x x (f 0,0x x 11212><-<>- )x (f )x x x (f )x (f )x (f 111212-+-=-⇒)x (f )x (f )x x (f 1112-⋅-=0]1)x x (f )[x (f 121<--=∴f(x)在R 上单调递减。
（3）)1(f )y (f )x (f 22>⋅)1(f )y x (f 22>+⇒f(x)在R 上单调递减1y x 22<+⇒（单位圆内部分）)0(f 1)2y ax (f ==+-02y ax =+-⇒（一条直线）φ=B A 11a 22≥+⇒3a 2≤⇒]3,3[a -∈⇒例题5、对每一实数对x 、y ，函数f(t)满足1xy )y (f )x (f )y x (f +++=+。
若2)2(f -=-，试求满足t )t (f =的整数t 的个数。
解：令0y x ==，得1)0(f -=令1y x -==，得2)1(f 2)2(f +-=-，又2)2(f -=-2)1(f -=-⇒ 令1y ,1x -==，得1)1(f =令1x =，得2y )y (f )1y (f ++=+2y )y (f )1y (f +=-+⇒（※）即当y 为正整数时)y (f )1y (f >+，由1)1(f =N y ∈∀⇒，0)y (f >N y ∈∀⇒，1y 2y )y (f )1y (f +>++=+即对于一切大于1的正数t 恒有t )t (f >又由（※）式1)4(f ,1)3(f =--=-⇒ 下证明，当整数4t -≤时，恒有0)t (f >：4t -≤∀，则0)2t (>+-由（※）式0)2t ()1t (f )t (f >+-=+-⇒即0)4(f )5(f >--- 同理可得0)1t (f )t (f ,0)2t (f )1t (f ,,0)5(f )6(f >+->+-+>--- 相加01)4(f )t (f >=->⇒，即当整数4t -≤时，恒有t 0)t (f >> 综上所述，满足t )t (f =的整数只有2,1t -=例题6、定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=3log 2且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
(1)求证f(x)为奇函数；(2)若0)293(f )3k (f xxx<--+⋅对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围。
证明：(1)已知f (x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R) ①令x=y=0，代入①式⇒f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令x y -=，代入①式⇒f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则0=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，则f(x)是奇函数。
(2)f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数⇒ f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数． )293(f )293(f )3k (f xxxxx++-=---<⋅⇒2933k xx x ++-<⋅⇒对任意x ∈R 成立分离系数：k ·3x ＜-3x +9x +21323k xx -+<⇒令1221323u xx +≥-+=，即u 的最小值为122-⇒当122k -<时，不等式1323k xx-+<对任意x ∈R 恒成立∴)122,(k --∞∈时，命题成立。
例题7、已知)x (f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足关系式)a (bf )b (af )b a (f +=⋅。
（1）求f （0），f （1）的值；（2）判断)x (f 的奇偶性，并证明你的结论；（3）若)N n (n)2(f u ,2)2(f nn ∈==-，求数列}u {n 的前n 项的和n S 。
解：（1）在)a (bf )b (af )b a (f +=⋅中,令,0b a == 0)0(f 0)0(f 0)00(f )0(f =⋅+⋅=⋅=⇒. 在)a (bf )b (af )b a (f +=⋅中,令,1b a == )1(f 1)1(f 1)11(f )1(f ⋅+⋅=⋅=⇒0)1(f =⇒ （2）已知,0)1(f )1(f ])1[(f )1(f 2=----=-=⇒ 0)1(f =-⇒)x (f )1(xf )x (f )x 1(f )x (f -=-+-=⋅-=-⇒ )x (f ∴为奇函数。