第五章 连续时间系统的付里叶分析
§5.1 引言
第一章 信号与系统的基本定义和分类 第二章 连续时间系统的时域分析 第三章 离散时间系统的时域分析 第四章 连续时间信号的付里叶分析 第五章 连续时间系统的付里叶分析，注意一
点：它仍然是连续时间，但第四章是 对信号，而第五章是对系统。
例如：已知输入x(t)，系统的单位冲激响应h(t), 求y(t) ？
二、H(jω)的计算
1、从微分方程入手：
例：
d 2 y(t) dy(t)
dt 2
4 dt
3 y(t)
dx(t) 2x(t) dt
方程两边进行付氏变换为：
(jω)2Y(jω)+4(jω)Y(jω)+3Y(jω)=jωX(jω)+2X(jω)
[(jω)2+4(jω)+3]Y(jω)=[jω +2]X(jω)
A
1
1 j
0
1
Z 1
j
j 1
e e uct
E
1
1t
ut
E
1
1
t t
0
u
t
t0
uc t 的波形如右:
uC (t )
x(t )
E
E
t
t
t0
t0
5)结果分析 ①当RC愈大，τ愈大，电路的惰性愈大，波形上 升的愈慢， RC愈小， τ愈小，电路的惰性愈 小，波形上升的快一些。
②从信号通过系统，系统对输入信号进行频率加 权，前沿不徒，高频削弱，而低频（平顶）仍 然保留，即低通滤波器，RC越大，滤波器的通 带愈宽，对高频削弱更厉害.
一个周期性信号x(t) 的指数付里叶级数展开式
xt
cne jn0t
n
1)对x(t)求付氏正变换
cne
jn0t
n
2cn n0
n
它的付里叶变换为一系列冲激的叠加，它的系数
为2π cn
2) 如果已知H(jω)
则:Y j 2cn n0 H jn0
n
3)y(t)= ℱ 1Y j 它的逆变换仍旧是一个周期
r(t)
j
e
jt
e
j90
e
jt
e
j
90
j
e
j3t
e
j143.2
e
jt
e
j143.2
2
2
sin t 90 sin 3t 143.2
拿出一次项来分析：
e j2 • j 1 j 2 1e j2 • tan1 1,1
2
rt j e jt e j90
2
45
3)用相量法
性函数
例：已知 e(t) sin t sin 3t
H j 1 j
1 j 要求：1、画出它的幅频相频曲线
2、求出r(t)，并比较e(t)与r(t)的波形
解: 1) H j 1 j 1 2 tan1 e j2
1 j 1 2 tan1
设 tan1
2 ( j )
建立在系统的线性时不变性质的基础上
二、计算步骤：
1、首先 x(t) X(jω) 2、再求H(jω) 3、X(jω) H(jω) =Y(jω) 4、求Y(jω)的反变换 Y(jω) y(t)
例1: h(t)= t t0 ，x(t)为输入，则 x(t) H(jω) = e jt0 Y(jω)=e jt0 •X(jω) x(t-t 0)
1
1
jCR
则 H ( j ) 1
RC=τ 为时间常数
1 j
3)
Uc' j
X j H j
1
1 j
E
1
j
4)求 uc' t ℱ
1
U
' c
j
=Eℱ
1
1
j
1
j 1
j
ω=0 代入
=Eℱ
1
1
j
1
j
E ut e1t ut
E
1
e
1
t
ut
1
j 1
A Z 1 j 1 j j 1 j
氏变换
R j kE j e jt0 E j H j
H j e H j jt0 e k jt0
它的幅频，相频曲线即为
H( j ) k , j t0
H( j )
( j )
k
1 21
1
0
信号通过系统的不失真条件为：
t0 21
1)幅频特性为一个常数，亦就是对任意频率的信
§ 5.7 理想滤波器
1、理想滤波器
H j ke jt0
H ( j )
( j )
k
0
C 0 C
0t
保证信号在 C 的范围内幅频特性为k,而相频特
性为一斜直线 。
低通
C
高通
阻带 通带 带通
阻带 通带
2、理想滤波器的冲激响应h(t)
∵ h(t)
H(jω)
∴h(t)就是H(jω) 的付里叶反变换 。
我们从三个不同的角度引出H(jω)的三种定义
方法
1. H(jω)是系统对复指数信号 e jt 响应的复
函数。
假如 x(t)= e jt
则 y(t)=x(t)*h(t)=
h( )e j t d
要注意H(jω)本身是复数
所以，有模有角，因此它将对输出产生幅度
和相位的变化
2、H(jω)是h(t)的付里叶变换式
H jn0 求出在不同谐波情况下，正弦稳态
响应。
2)从以上计算看出，虽然 H j 是一个全通函
数，但是由于相频特性曲线不是直线，输出 波形与输入波形相比仍有很大的失真。
§5.4 无失真传输
1、信号的幅度失真和相位失真
例：xt A1 sin1t 1 A2 sin2t 2
A1和A2，第一种情况 ，第二种情况
第一种方法：y(t)与x(t)的微分方程
如:
d 2 y(t) dy(t)
dt 2
a dt
y(t)
x(t)
第二种方法：
x(t ) h(t ) y(t )
y(t ) x( )h(t )d
如下图：
x(t)h(t)=y(t)
x(t)
h(t)
y(t)
X(jω)
H(jω)
Y(jω)= X(jω) H(jω)
例：
X ( j ) R L C
1 1 1 j C X ( j ) R j L
X ( j ) 1
1
1 j C
R j L
X ( j ) e j ( j )
X ( j )
( j )
0
0
规律： H( j ) 是频率的偶函数。
( j ) 是频率的奇函数。
90
90
四、H(jω)的性质
1、 H(j ω) 具有共轭对称性: H( -j ω)= H*(j ω)
2
4 j
3
3)
Y(jω)=
X(jω)
H(jω)=
A1
1 j 2
1
A2
j
A3
j
3
其中:
A1
j
12
•Y
j
j 1
1 2
A2
d
dj
j j
2 3
j 1
1 4
A3
j
3Y (
j )
j 3
1 4
1
1
1
∴
Y(jω)=
2
j 12
4
j 1
4
j 3
4)
y(t)
1 2
te
t
1 e t
4
1
e
3t
u(t
§ 5.3 付里叶变换分析法
一、引言： 卷积定理：y(t)=x(t) h(t) X(jω) H(jω)= Y(jω) 特点：1、把积分运算化为代数运算
2、对信号通过系统的问题给予了频率域 的分析。要注意是频域，而不是复频域
3、求的是零状态响应，不包括零输入响应 4、卷积运算式，付里叶变换法运算都是
h(t)
H(jω) H(jω)代表了系统
本身固有的性质。
3、H(jω)是系统的零状态响应Y(jω)和激励
信号付里叶变换X(jω)之比。
Y (s) X (s)H (s) H (s) Y ( j ) X ( j )
上述第一个定义方法提供了一种H(jω)的实验 测量方法。
第二个定义方法反映了系统本身频率域 和时间域相互关系。 第三个定义方法是本章用付代变换法分 析系统的关键式。
-
uL
L
di dt
U( j )Biblioteka j LIRR时域 频域
L j L 时域 频域
iC (t)
+
uC (t )
-
例： R
iC
(t
)
C
duC dt
C
IC( j ) Cj UC ( j )
C 1
j C 时域 频域
R
e(t )
C
v2(t) E( j )
1
j C
V2( j )
1
则： H ( j ) V2( j ) j C 1 E( j ) R 1 1 j CR j C
H ( j )
1
0
∴它的幅频特性是一个全通形。
2)用付里叶变换分析法进行r(t)的计算
① et sin t sin 3t
E j j 1 1
j 3 3
② H j e2 j
③ R j E j • H j
e j2 • j 1 1 3 3