微分算子法高阶常微分方程的微分算子法摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。

但是有一个例外：常系数线性微分方程。

我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。

本节主要讨论微分算子法。

1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n yD y=，将方程写成 32230D y D y Dy --=或32(23)0DD D y --=我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x xe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123xxy C C eC e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dxa x y f x ---=++++=L其中系数1(),,()na x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x D a x y-≡+++L()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。

本题中各()ia x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。

2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解写成32(6116)0D D D y -+-=从特征方程 3206116DD D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123xx xy C eC e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0DD D y -++=或 2(1)(413)0D D D y +-+=特征方程 2(1)(413)0D DD +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是xe -，2cos3xex，2sin 3xe x从而通解是22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x-=++4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0DD D D y -+-+=或 22(2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin xx exe x x，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x=+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x xx x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。

6.求解下列方程(1)(4)24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+= 解 (1)12xxy C e C e -=+34(cos 2sin 2)xe C x C x -++(2)12(cos sin )22xx x y e C C =+ 7.求解下列cauchy 问题(1)330;y y y y ''''''-+-=(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+==== 解 (1) (1)xy e x =+(2) xy x e -=+8.求解非齐次方程21(0)y y y x x x'''++=≠解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程20y y y x '''++=的两个线性无关的特解。

现设用观察法得到两个特解12sin cos ,x xy y x x==令12sin cos ()()()x xy x C x C x x x=+考虑方程组1212sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x xx x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩最后解得1()sin C x x =，2()cos C x x = 故原方程的通解为12sin cos 1()x x y x C C x x x=++ 注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。

因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。

这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法9.求解256y y y x '''++= 解 写成 2(2)(3)D D y x ++= 故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为23112()xxy x C e C e --=+今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*()y x 满足 *2(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*()y x*21()(2)(3)y x x D D =++222222222222222222222211()23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111(()())224111(()())33911122()()223391561x D D x x D D x x D DD D x D D x D D x D D xx x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=-L L ３９ ３９ 198108x +通解为*123212()()()1519618108xxy x y x y x C eC ex x --=+=++-+注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算D 同时当作数与运算来处理，上法中1(2)(3)D D ++视为(2)(3)D D ++的逆运算，经分层部分分式后，又将D 作为数，将11D +展开或读作除数，最后，又将2,,D D L 恢复其运算功能。

至此，积分微分方程问题已变为求导问题。

上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。

10.给定一个微分算子 111nn nn nL D a D a D a --=++++L (,1,2,,)ia i n =L 为常数则对任一有n 次导数的函数()g x ，得到唯一的函数()f x (())()nL g x f x =今定义逆运算1(())()nf xg x L= g恰为微分方程(())()nL g x f x =的一个特解。

证明下列事实：(1)给定f 后，g 不唯一 (2)对任一常数,a b 及连续函数(),()h x g x ，有下式成立111(()())(())(())n n nah x bg x a h x b g x L L L +=+(3)设有另一微分算子11mm mL D a D -=++L ma +，则1111(())(())m m nng x g x LL L L =(4)有下式成立1111(())(())()()kn k g x g x L D D ρρλλ=--L证明 (1)设1()g x 是方程()0nL y =的特解，则有1(()())(())()nnL g x g x L g x f x +== 故11(())()()nf xg x g x L=+ (2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出11.给定nL 如上题，证明下列性质：(1)设()0F k ≠，此处11()nn F a λλλ-=++L 1n na a λ-++为多项式(与nL 对应)，则11()kx kxne e LF k = 当k ρ≠时11kxkxe e D k ρρ=--(2)11()()()()kx kx n n e f x e f x L D L D k =+g 特别 11()()()()kx kxmme f x e f x D D ρ=-g(3)当()F λ为偶次多项式，()0F ik ≠，则11sin sin ()()n kx kx L D F ik =，其中1i =-对cos kx 也有类似公式 特别，对一般的()nL D ，当()0F ik ≠时， 11sin ()sin ()()()nn n nkx L D kx L D L ik L ik =-- 证明 (1)因()()kx kxD e k e ρρ-=-，故有1()()kx kxe k e D ρρ=-- 于是11111()()()1()()()1()kx kxn nkxn nkxe e L D D D eD D k e F k ρρρρρ-=--=---=L L L (2)()()kxD eg x ρ-()()()[()()()]()()kx kx kx kx kxke g x e g x e g x e Dg x k g x e D k g x ρρρ'=+-=+-=+-g今令1()(())g x f x D k ρ=+- 则()(())()D k g x f x ρ+-=，代入上式得1()(())()kxkx D e f x e f x D k ρρ-=+-或11(())()()kxkxe f x e f x D k D ρρ=+-- 一般公式可由此逐步推出(3)因22(sin )()sin D kx ik kx =，故22()sin (())sin D kx ik kx ρρ-=- 从而221sin (())sin kx ik kx D ρρ=-- 当()F λ为偶多项式时 221()()()n L D D D k ρ=--L ， 故一般公式由上式逐步推出 注 (1)1nL还有另一性质，我们述而不论：111111001()()()()m m n n n n m m i m i m i mi m i m r x b x D a D a D a b x b D x b D x b ββ----∞==++++++++=++=++∑∑L L L L(2)当()0F ik =时，此时宜用Euler 公式cos sin ikxe kx i kx =+如不懂，可参看我在豆丁上上传的《陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导》(3)以上两题旨在建立我们算子法的理论基础由于我们仍然不能做到完全严格，所以对于只求解题技巧来说，可以不必追求细节。