广州市高三数学训练题 (十二) 综合训练( 2 )（时间：120分钟 满分150分）（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，原本卷命题人:谭曙光 修改：李敏） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选（1）设集合A = {x |x 2（A ）{x |x >1} (B ） {x |x >0} （C ）{x |x <-1} （D ） {x |x <-1或x >1}（2）若(x 2－1)+(x 2－2x －3)i 是纯虚数，则实数x 的值是（A ）1 B ） －1 （C ） ±1 （D ） 以上都不对 （3）已知等差数列{a n }的各项均为正，且公差不为0，设P ＝2a a 82+，Q ＝64a a ，则P 与Q 的大小关系为 （A ） P ＞Q （B ） P ＜Q （C ） P ＝Q （D ） 无法确定 （4）已知sin(π+α)＝21-且tan α＜0则cos α的值为 （A ） 21± （B ） 21- （C ） 23- （D ） 23±（5）直线l 1，l 2互相平行的一个充分条件是（A ） l 1，l 2都平行于平面α （B ） l 1，l 2与平面α所成的角相等 （C ） l 1平行于l 2所在平面α （D ） l 1，l 2都垂直于平面α（6）平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，满足(AB －BC )·(AD －CD )＝0，则三角形ABC 是 （A ） 直角三角形 （B ） 等腰三角形 （C ） 等腰直角三角形 （D ） 等边三角形（7）将一张坐标纸折叠一次，使点(10，0)与(－6，8)重合，则与点(－4，2)重合的点是（A ） (4，－2) （B ） (4，－3) （C ） (3，23) （D ） (3，－1) （8）对一组数据Z i （i ＝1，2，3，…，n ），如果将它们改变为Z i －C （i ＝1，2，3，…，n ），其中C ≠0，则下面结论正确的是 （A ） 平均数与方差均不变 （B ） 平均数变了，而方差保持不变 （C ） 平均数不变，方差变了 （D ） 平均数与方差均发生了变化（9）正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为（A ） 2 （B ） 3 （C ）26 （D ） 332 （10）F 1、F 2是双曲线22a x 22by -＝1的左、右两个焦点，P 是双曲线右支上任一点，从右焦点向∠F 1PF 2的平分线作垂线，垂足为M ，点M 的轨迹是曲线C 的一部分，则曲线C 是（A ） 圆 （B ） 椭圆 （C ） 双曲线 （D ） 抛物线（11）已知函数f(x)＝x 9x 3m ⋅-+m+1对x ∈(0，∞+)的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是 （A ） 2－22＜m ＜2+22 （B ） m ＜2 （C ） m ＜2+22 （D ） m ≥2+22（12）a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x +c 1>0和a 2x 2+b 2x +c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的 (A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件. (C)充要条件(D)既非充分又非必要条件.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．（13）平面内一动点P 到直线2x +3y 5-＝0和到点M(1，1)的距离相等，则P 点的轨迹为______________ (写出轨迹名称)．（14）函数y 1-≤x ≤0）的反函数为_______________．（15）若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是___________．（16）一个三位数abc 称为“凹数”，如果该三位数同时满足a ＞b 且b ＜c ，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，（17）（本小题満分12分）设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元．求一周内期望利润是多少？（18）（本小题满分12分）正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长是 ，侧棱长是3，点E 、F 分别在BB 1、DD 1上，且AE ⊥A 1B ，AF ⊥A 1D ．（Ⅰ）求证：A 1C ⊥面AEF ；（Ⅱ）求截面AEF 与底面ABCD 所成的二面角的大小；（Ⅲ）求点B 到面AEF 的距离．A D 1 C 1B 1 A 1D C B FE（19）（本小题満分12分）若数列{n a }的通项21n a n =-，设数列{n b }的通项11n nb a =+，又记n T 是数列{n b } 的前n 项的积．（Ⅰ）求1T ，2T ，3T 的值；（Ⅱ）试比较n T 与1+n a 的大小，并证明你的结论．（20）（本小题満分12分）如图，有甲乙两个村庄，甲村位于一直线河岸的岸边A 处，乙村与甲村在河的同侧，乙村位于离河岸40km 的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距50km ，两村要在此岸边合建一个自来水厂C ，从自来水厂到甲村和乙村的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元. 现要进行工程费用测算.（Ⅰ）求出水管总费用关于水厂C 到D 的距离的函数关系式； （Ⅱ）问自来水厂C 建在何处，才能使水管总费用最省？DCAB（21）（本小题満分12分）在以O 为原点的直角坐标系中，点A （3，－1）为Rt OAB ∆的直角顶点. 已知|AB |=2|OA |，且点B 的纵坐标大于零. （Ⅰ）求向量的坐标；（Ⅱ）是否存在实数a ，使二次函数12-=ax y 的图像上总有关于直线OB 对称的两个不同的点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围.（22）（本小题満分14分）已知32()(0)f x x bx cx d =+++-∞在， 上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程()0f x =有三个根，它们分别为2αβ， ，． （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求证(1)2f ≥；（Ⅲ）求||αβ-的取值范围．（十二）综合训练( 2 )参考答案（1） 特值排除 取 x = 2，显然排除C 、D; 再取 x = 1/2 ，显然排除B ．故应选A ．（2）由条件⎪⎩⎪⎨⎧≠--=-03x 2x 01x 22解得x ＝1，选A ．（3）因为{a n }是各项均为正的等差数列，则a 2+a 8＝a 4+a 6，又公差不为0，由基本不等式可得P ＞Q ，选A ．（4）由sin(π+α)＝21-且tan α＜0知α为第二象限的角，所以cos α＝23-，选C ．（5）若l 1，l 2都垂直于同一个平面则l 1，l 2互相平行，但反之不一定成立，选D ． （6）由(AB －)·(AD －)＝0得 (AB －)·(AD +)＝0即(AB －)·＝0，(－)·(+)＝0，即22-＝0，||＝|BC |，故为等腰三角形，选B ． （7）由条件，以(10，0)和(－6，8)为端点的线段的垂直平分线方程为y ＝2x ，则与点(－4，2)重合的点即为求点(－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点，求得为(4，－2)，选A ．（8）x ＝n 1(x 1+x 2+…+x n )，S 2＝n1[(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x n －x )2]，令x i 换成x i －c ，则x ＝n 1[(x 1－c)+(x 2－c)+…+(x n －c)]＝ x －c ，当x i 换成x i －c 的方差为2S '＝n1{[(x 1－c)－(x －c)]2+[(x 2－c)－(x －c)]2+…+[(x n －c)－(x －c)2]}＝ n1[(x 1－x )2+(x 2－x )2+…+(x n －x )2]＝S 2，选B ．（9）设正方体边长为a ，则正四面体棱长为2a ，S 正方体＝6a 2，S 正四边体＝4×21×(2a)2×sin o 60，故选B ．（10）设垂线交PF 1于Q ，而|QF 1|＝|PF 1|－|PQ|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a ，在△F 1F 2Q 中，|MO|＝21|QF 1|，故C 为以原点为圆心a 为半径的圆，选A ． （11）法1：令t ＝x 3，则问题转化为函数f(t)＝t 2－mt+m+1对t ∈(1，∞+)的图象恒在x轴的上方，即△＝(－m)2－4(m+1)＜0或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++-<≥∆0m 1m 112m 0解得m ＜2+22． 法2：问题转化为m ＜1t 1t 2-+ ，t ∈(1，∞+)，即m 比函数y ＝1t 1t 2-+ ，t ∈(1，∞+)的最小值还小，又y ＝1t 1t 2-+＝t －1+1t 2-+2≥21t 2)1t (--+2＝2+22，所以m ＜2+22，选C ．（12）反例否定:一方面，当212121c c b b a a ==时，取1111a b c ===，2221a b c ===-， 易知M 为实数集，N 为空集，这说明M 与N 不能相等；另一面，当M=N 时，若M 与N 均为空集，就可取1111,2,a b c ==-=-2221a b c ===-，这时不能得出212121c c b b a a ==．故应选D ． （13）因为点M(1，1)在直线2x+3y 5-＝0上，故P 点的轨迹为直线．（14）由y ＝2x 2-得x 2＝2－y 2，又1-≤x ≤0，所以x ＝2y 2--，又因为y ＝2x 2-（1-≤x ≤0）的值域为[1，2]，得y ＝2x 2-（1-≤x ≤0）的反函数为y ＝2x 2--（1≤x ≤2）．（15）设甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，丙命中为事件C ，P(A B ⋅C ⋅ )+ P(A B⋅C ⋅)+P(A B ⋅C ⋅)＝54×52×103+51×53×103+51×52×107＝25047 （16）三位“凹数”可分两类：一类是aba ，共有210C ＝45，另一类是abc ，a ≠c ，共有2310C ＝240，故共有45+240＝285个（17）解：以X 表示一周5天内机器发生故障的天数，则X －B (5，0.2)，于是X 有概率分布P (X =k )=C k 50.2k 0.85－k ,k =0,1,2,3,4,5.以Y 表示一周内所获利润，则Y =g (X )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-===3 22 0150 10X X X X 若若若若Y 的概率分布为：P (Y =10)=P (X =0)=0.85=0.328，P (Y =5)=P (X =1)=C 150.2·0.84=0.410 P (Y =0)=P (X =2)=C 25·0.22·0.83=0.205P (Y =－2)=P (X ≥3)=1－P (X =0)－P (X =1)－P (X =2)=0.057故一周内的期望利润为：EY =10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(万元)（18）解：（Ⅰ）证明：∵CB ⊥面A 1B ，∴A 1C 在平面A 1B 上的射影为A 1B ，又∵A 1B ⊥AE ，∴A 1C ⊥AE ， 同理A 1C ⊥AF ，又AE ∩AF ＝A ，∴A 1C ⊥面AEF ；法2：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴建立直角坐标系，则B(3，0，0)，A(0，0，3)， 设E(3，0，y E )∵B A 1⊥AE ，而B A 1＝(－3，0，3)，AE ＝(3，0，y E )，∴B A 1AE ⋅＝0， 即3-×3+0×0+3×y E ＝0，得y E ＝1，∴E(3，0，1)，而C(3，3，0)， ∴C A 1＝(3，3，－3)，∴C A 1AE ⋅＝3×3+3×0+(－3)×1＝0，∴C A 1⊥AE ⋅， 同理C A 1⊥AF ⋅，又AE ∩AF ＝A ，∴A 1C ⊥面AEF ．（Ⅱ）A 1B ⊥AE ，AA 1⊥AB ，∴∠BA 1A ＝∠EAB ．∴Rt △A 1AB ∽Rt △ABE ，∴AA AB AB EB 1=又∵AB ＝3，A 1A ＝3，∴EB ＝1，AE ＝13+＝2， 同理DF ＝1，AF ＝2，∵EF ∥BD ，∴EF ∥面ABCD ，∴过A 作直线l ∥EF ，则l 为 面AEF 与面ABCD 的交线，过B 作BM ⊥l 于M ，连EM ，∵EB ∥面ABCD ，∴BM 是EM 在面ABCD 内的射影， ∴EM ⊥l ， ∴∠EMB 是所求的二面角的平面角，AD 1 C 1B 1A 1 DCBF EBM ＝26，tan ∠EMB ＝261EMB ＝arctan 36法2：设截面AEF 与底面ABCD 所成的二面角为α，因为△ABD 为AEF 在底面ABCD 上的射影三角形，则cos α＝AEFABDS S ∆∆，而S △ABD ＝23，S △AEF ＝215，所以cos α＝515，α＝arccos 515； 截面AEF 与底面ABCD 所成的二面角为θ，则cos θ＝|cos α|＝||AA ||C A ||1111＝|19333⨯++-|＝515，α＝arccos 515． 法3：C A 1面AEF 的法向量，1AA 是面ABCD 的法向量，C A 1与1AA 的夹角为α， （Ⅲ）设点B 到面AEF 的距离为h ，由V B －EFA ＝V F －AEB ＝V D －AEB ， 得31h·S △AEF ＝31DA·S △AEB ， h ＝AEFAEB S S DA ∆∆⋅，由EF ＝6，得S △AEF ＝215，DA ＝3，S △AEB ＝233121=⋅⋅，∴h ＝215233⋅＝515．（19）（1）21n a n =-，∴11111112211T b a ==+=+=⨯-， 21221182(1)2(1)2213T b b a =⋅=⋅+=+=⨯- 31233818116(1)(1)332315T b b b a =⋅⋅=⋅+=⋅+=⨯-（2）由（1）中可猜想得T n ＞1+n a ； 只须证明对于n ∈N ，111(11)(1)(1)(1)3521n ++++>-设n =1时，左=1+1=2，右=3，∈2＞3，故原不等式成立； 假设n =k （k ≥1）时，原不等式成立，即12)1211()511)(311)(11(+>-++++k k ， 当n =k +1时，不等式左边为11111(11)(1)(1)(1)[1])35212(1)121k k k +++++>+-+-+ 1)(22)2121k k k +=+++ 不等式的右边为32+k ， 只须得出)22(1212+++k k k ＞32+k ，事实上2)22(1212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++k k k －()232+k =12)384(48422+++-++k k k k k =121+k ＞0， 故)22(1212+++k k k ＞32+k 成立，从而]1)1(211)[1211()511)(311)(11(-++-++++k k ＞32+k ．即n =k +1时不等式也成立，∈对于n ∈N ，则有12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 成立．． （20）解：（∈）设C 到D 的距离为x km ,BD =40 AC=50-x∴又设总的水管费用为y 元，依题意有：3(50)5y a x =-+(050)x <<即15035y a ax =-+ (050)x <<为所求函数关系式（∈）15035y a ax =-+(050)x <<∴ '3y a =- 令'0,30y x ==得 在（0，50）上，y 只有一个极值点。