nm2
nm
X -Y za 2Sw
1 n

1 m

1

2

X -Y
za 2Sw
1 1 nm
★未知总体方差,但

2 1
≠

2 2
，均值差推断
需要的定理
x 1 1455 1502 1370 1610 1430 1473.4
5
某工业企业有职工10000人，其中工人8000 人，干部2000人，为了了解职工家庭生活状况， 在工人和干部两个组均以5%的比例抽选职工进行 调查，结果如下表：
按家庭 人均月收入（元）
职工人数（人）
工人
干部
P（
X
S2 n
﹥ta/2(n-1)）﹦a
X ta (n 1) S , X ta (n 1) S

2
n
2
n
方差和标准差
样本方差 s 2 的计算公式如下：
①
s2

1 n 1
n
( xi
i 1
x)2
②
s2


1 f 1
n i 1
( xi

x)2
f
样本标准差(Standard Deviation)s的定义是：
第4章 抽样与参数估计
一、样本平均数的抽样分布
身份
X
母亲
1
父亲
1
女儿
3
儿子
5
（1）总体分布 （2）样本分布
样本
样本 母亲，父亲 母亲，女儿 母亲，儿子 父亲，女儿 父亲，儿子 女儿，儿子
样本均值 1 2 3 2 3 4
样本均值的均值是： 1+2+3+2+3+4 6
样本均值的概率分布分布是：
X
概率分布
需要的定理 若随机变量 X ～ N(, 2 ) 则有如下定理成立：
Z X n
～
N (0，1)
Z X ～ N(0，1) n Nn
N 1
因为 X 服从标准正态分布，所以：
2 n
P（
X 2 n
﹥za）﹦a
P（
X 2 n
﹥za/2）﹦a
单侧置信区间
2 2
n1 n2
1 2
x1 - x2
za 2

2 1


2 2
n1 n2
★未知总体方差,但

2 1
=

2 2
，均值差推断
需要的定理
若随机变量 X
～N
(
1
,

2 1
)
Y
～
N
(
2
,

2 2
)
则：
t
( X Y ) (1 2 )
~ t(m n 2)
(n 1)S12 (m 1)S22 1 1
(1)当一个总体的变量的取值都相同时,该随机 变量就服从均匀分布。
(2)对于有限总体而言,相同个体重复的比率,就 是个体出现的概率。因此有限总体的不同个体的 比率分布(频率分布),就是有限总体的概率分布。
例如,一个总体包括：红色球4枚、蓝色球5枚、
黄色球7枚,共16枚。红色球出现的比率是 4 ,蓝
x za

n
x za

n
双侧置信区间：
x za 2

n
x za 2

n
均值的标准误差(抽样平均误差)
即任何一个分布函数的标准差,
X
n
是原来分布函数标准差的 n 分之一,或者说 X
分布的方差,就是 X 分布方差的 n 分之一。
均值的标准误差又称为抽样平均误差或均值 标准误、标准误。
200以下 200——300 300——400 400——600
600以上
20
5
60
13
200
60
80
17
40
5
合计
400
100
一个总体方差未知时均值的置信区间 需要的定理
若随机变量 X ～ N(, 2 ) 则有如下定理成立：
T X ～ t(n 1)
Sn
P（
X S2

n
﹥ta(n-1)）﹦a
① s
1 n 1
n i 1
( xi

x)2
②
s

1 f 1
n i 1
( xi

x)2
f
均值的标准
即任何一个分布函数的标准差,
是原来分布函数标准差的 n 分之一,或者说 X
分布的方差,就是 X 分布方差的 n 分之一。
均值的标准误差又称为抽样平均误差或均值
16
色球是 5,黄色球是 7。这也是表示颜色的随机
16
16
变量X的概率分布。
大致判断出总体分布的类型后，用样本参数
推断总体分布的相应参数。
均值 方差
1.点估计
不同样本算得的 的估计值不同，因此 还
希望根据所给的样本确定一个随机区间, 使其 包含参数真值的概率达到指定的要求。
重复抽样
2.区间估计 不重复抽样
样本均值（Sample Mean）
样本均值 x 又称样本平均数仅适用于刻度
级的数据。
①未分组数列
1n x n i1 xi
简单平均数
②分组数列
x

xf f
加权平均数
x ：组中值
f ：频次或次数
例题 设某厂生产的灯泡寿命X～N（，1002），
现随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502， 1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命 的估计值为多少？
标准误、标准误。
一个总体方差的区间估计
需要的定理 若随机变量 X ～ N(, 2 ) 则有如下定理成立：

2

(n
1)S 2
2
～ 2 (n 1)
P（ (n 1)S2 ﹥2(n-1)）﹦a
2

(n 1)S 2
,

2 a
2
(n
1)
(n 1)S 2

2 1a
2
1
1/6
2
2/6
3
2/6
4
1/6
(1)如果原来的总体呈正态分布，则无论样本
容量为多大，样本均值的抽样分布都呈正态
分布。
(2)如果原来的总体不呈正态分布，且样本容
量不小于30，则样本均值的抽样分布近似于
正态分布。
例如,表示“生产线上生产出来的零件的直径” 的随机变量X,通常服从正态分布。
总体分布的特例 均匀分布 比率(频率)分布
(n
1)

两个总体均值的置信区间
★已知总体方差, 均值差的推算；
需要的定理
X
～
N
(1
,

2 1
)
Y
～
N
(2
,

2 2
)
则：
若随机变量
Z (x1 x2 ) (1 2 ) ~ N (0,1)

2 1


2 2
n1 n2
x1 - x2 za 2

2 1


区间估计的种类
重复抽样 方差已知
均值
方差未知
一个总体
不重复抽样 方差已知
方差未知
区间 估计
方差 方差已知
均值差 方差未知且相等
两个总体
方差未知且任意
方差比
重复抽样区间估计的理论基础
一个总体方差已知时均值的置信区间
若 X 服从标准正态分布，那么：
a
za
P（ X ﹥za）﹦a
za
za
2
2
P（ X ﹥za/2）﹦a