2019年高考数学压轴题小题一．选择题（共6小题）1．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞, +∞）的奇函数, 满足f（1﹣x）=f （1+x）, 若f（1）=2, 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．502．（2019•新课标Ⅱ）已知F1, F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点, A是C 的左顶点, 点P在过A且斜率为的直线上, △PF1F2为等腰三角形, ∠F1F2P=120°, 则C的离心率为（）A．B．C．D．3．（2019•上海）设D是函数1的有限实数集, f（x）是定义在D上的函数, 若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合, 则在以下各项中, f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．04．（2019•浙江）已知, , 是平面向量, 是单位向量．若非零向量与的夹角为, 向量满足﹣4•+3=0, 则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣5．（2019•浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形, 侧棱长均相等, E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1, SE与平面ABCD所成的角为θ2, 二面角S﹣AB ﹣C的平面角为θ3, 则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ16．（2019•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．7．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 若双曲线﹣=1（a＞0, b＞0）的右焦点F（c, 0）到一条渐近线的距离为c, 则其离心率的值为．8．（2019•江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0, +∞）内有且只有一个零点, 则f（x）在[﹣1, 1]上的最大值与最小值的和为．9．（2019•天津）已知a＞0, 函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解, 则a的取值范围是．10．（2019•北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）, 双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．11．（2019•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1, x22+y22=1, x1x2+y1y2=, 则+的最大值为．12．（2019•上海）已知常数a＞0, 函数f（x）=的图象经过点P（p, ）, Q （q, ）．若2p+q=36pq, 则a=．13．（2019•浙江）已知λ∈R, 函数f（x）=, 当λ=2时, 不等式f （x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点, 则λ的取值范围是．14．（2019•浙江）已知点P（0, 1）, 椭圆+y2=m（m＞1）上两点A, B满足=2, 则当m=时, 点B横坐标的绝对值最大．15．（2019•浙江）从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字, 从0, 2, 4, 6中任取2个数字, 一共可以组成个没有重复数字的四位数．（用数字作答）三．解答题（共2小题）16．（2019•上海）设常数a∈R, 函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数, 求a的值；（2）若f（）=+1, 求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π, π]上的解．17．（2019•浙江）已知角α的顶点与原点O重合, 始边与x轴的非负半轴重合, 它的终边过点P（﹣, ﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=, 求cosβ的值．2019年高考数学压轴题小题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞, +∞）的奇函数, 满足f（1﹣x）=f （1+x）, 若f（1）=2, 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数, 且f（1﹣x）=f（1+x）,∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1）, f（0）=0,则f（x+2）=﹣f（x）, 则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）,即函数f（x）是周期为4的周期函数,∵f（1）=2,∴f（2）=f（0）=0, f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2,f（4）=f（0）=0,则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0,则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2,故选：C．2．（2019•新课标Ⅱ）已知F1, F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点, A是C 的左顶点, 点P在过A且斜率为的直线上, △PF1F2为等腰三角形, ∠F1F2P=120°, 则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：A（﹣a, 0）, F1（﹣c, 0）, F2（c, 0）,直线AP的方程为：y=（x+a）,由∠F1F2P=120°, |PF2|=|F1F2|=2c, 则P（2c, c）,代入直线AP：c=（2c+a）, 整理得：a=4c,∴题意的离心率e==．故选：D．3．（2019•上海）设D是函数1的有限实数集, f（x）是定义在D上的函数, 若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合, 则在以下各项中, f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组, 每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=, , 0时, 此时得到的圆心角为, , 0, 然而此时x=0或者x=1时, 都有2个y与之对应, 而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y, 因此只有当x=, 此时旋转, 此时满足一个x 只会对应一个y, 因此答案就选：B．故选：B．4．（2019•浙江）已知, , 是平面向量, 是单位向量．若非零向量与的夹角为, 向量满足﹣4•+3=0, 则|﹣|的最小值是（）A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4•+3=0, 得,∴（）⊥（）,如图, 不妨设,则的终点在以（2, 0）为圆心, 以1为半径的圆周上,又非零向量与的夹角为, 则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例, 则|﹣|的最小值是（2, 0）到直线的距离减1．即．故选：A．5．（2019•浙江）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形, 侧棱长均相等, E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1, SE与平面ABCD所成的角为θ2, 二面角S﹣AB ﹣C的平面角为θ3, 则（）A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心．过E作EF∥BC, 交CD于F, 过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N,连接SN,取AB中点M, 连接SM, OM, OE, 则EN=OM,则θ1=∠SEN, θ2=∠SEO, θ3=∠SMO．显然, θ1, θ2, θ3均为锐角．∵tanθ1==, tanθ3=, SN≥SO,∴θ1≥θ3,又sinθ3=, sinθ2=, SE≥SM,∴θ3≥θ2．故选：D．6．（2019•浙江）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x, 得到：函数的图象为奇函数,故排除A和B．当x=时, 函数的值也为0,故排除C．故选：D．二．填空题（共9小题）7．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 若双曲线﹣=1（a＞0, b＞0）的右焦点F（c, 0）到一条渐近线的距离为c, 则其离心率的值为2．【解答】解：双曲线=1（a＞0, b＞0）的右焦点F（c, 0）到一条渐近线y=x的距离为c,可得：=b=,可得, 即c=2a,所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．8．（2019•江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0, +∞）内有且只有一个零点, 则f（x）在[﹣1, 1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0, +∞）内有且只有一个零点,∴f′（x）=2x（3x﹣a）, x∈（0, +∞）,①当a≤0时, f′（x）=2x（3x﹣a）＞0,函数f（x）在（0, +∞）上单调递增, f（0）=1, f（x）在（0, +∞）上没有零点, 舍去；②当a＞0时, f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞,∴f（x）在（0, ）上递减, 在（, +∞）递增,又f（x）只有一个零点,∴f（）=﹣+1=0, 解得a=3,f（x）=2x3﹣3x2+1, f′（x）=6x（x﹣1）, x∈[﹣1, 1],f′（x）＞0的解集为（﹣1, 0）,f（x）在（﹣1, 0）上递增, 在（0, 1）上递减,f（﹣1）=﹣4, f（0）=1, f（1）=0,∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4, f（x）max=f（0）=1,∴f（x）在[﹣1, 1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．9．（2019•天津）已知a＞0, 函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解, 则a的取值范围是（4, 8）．【解答】解：当x≤0时, 由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax,得x2+ax+a=0,得a（x+1）=﹣x2,得a=﹣,设g（x）=﹣, 则g′（x）=﹣=﹣,由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0, 此时递增,由g′（x）＜0得x＜﹣2, 此时递减, 即当x=﹣2时, g（x）取得极小值为g（﹣2）=4,当x＞0时, 由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax,得x2﹣ax+2a=0,得a（x﹣2）=x2, 当x=2时, 方程不成立,当x≠2时, a=设h（x）=, 则h′（x）==,由h′（x）＞0得x＞4, 此时递增,由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4, 此时递减, 即当x=4时, h（x）取得极小值为h（4）=8,要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解,则由图象知4＜a＜8,故答案为：（4, 8）10．（2019•北京）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）, 双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2．【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0）, 双曲线N：﹣=1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,可得椭圆的焦点坐标（c, 0）, 正六边形的一个顶点（, ）, 可得：, 可得, 可得e4﹣8e2+4=0, e∈（0, 1）,解得e=．同时, 双曲线的渐近线的斜率为, 即,可得：, 即,可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：；2．11．（2019•上海）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1, x22+y22=1, x1x2+y1y2=, 则+的最大值为+．【解答】解：设A（x1, y1）, B（x2, y2）,=（x1, y1）, =（x2, y2）,由x12+y12=1, x22+y22=1, x1x2+y1y2=,可得A, B两点在圆x2+y2=1上,且•=1×1×cos∠AOB=,即有∠AOB=60°,即三角形OAB为等边三角形,AB=1,+的几何意义为点A, B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,显然A, B在第三象限, AB所在直线与直线x+y=1平行,可设AB：x+y+t=0, （t＞0）,由圆心O到直线AB的距离d=,可得2=1, 解得t=,即有两平行线的距离为=,即+的最大值为+,故答案为：+．12．（2019•上海）已知常数a＞0, 函数f（x）=的图象经过点P（p, ）, Q （q, ）．若2p+q=36pq, 则a=6．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p, ）, Q（q, ）．则：,整理得：=1,解得：2p+q=a2pq,由于：2p+q=36pq,所以：a2=36,由于a＞0,故：a=6．故答案为：613．（2019•浙江）已知λ∈R, 函数f（x）=, 当λ=2时, 不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点, 则λ的取值范围是（1, 3]∪（4, +∞）．【解答】解：当λ=2时函数f（x）=, 显然x≥2时, 不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时, 不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0, 解得1＜x＜2, 综上, 不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点,函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点, 则1＜λ≤3或λ＞4．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1, 3]∪（4, +∞）．14．（2019•浙江）已知点P（0, 1）, 椭圆+y2=m（m＞1）上两点A, B满足=2, 则当m=5时, 点B横坐标的绝对值最大．【解答】解：设A（x1, y1）, B（x2, y2）,由P（0, 1）, =2,可得﹣x1=2x2, 1﹣y1=2（y2﹣1）,即有x1=﹣2x2, y1+2y2=3,又x12+4y12=4m,即为x22+y12=m, ①x22+4y22=4m, ②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m,可得y1﹣2y2=﹣m,解得y1=, y2=,则m=x22+（）2,即有x22=m﹣（）2==,即有m=5时, x22有最大值4,即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．15．（2019•浙江）从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字, 从0, 2, 4, 6中任取2个数字, 一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．（用数字作答）【解答】解：从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字有种方法,从2, 4, 6, 0中任取2个数字不含0时, 有种方法,可以组成=720个没有重复数字的四位数；含有0时, 0不能在千位位置, 其它任意排列, 共有=540,故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．三．解答题（共2小题）17．（2019•浙江）已知角α的顶点与原点O重合, 始边与x轴的非负半轴重合, 它的终边过点P（﹣, ﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=, 求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合, 始边与x轴非负半轴重合, 终边过点P （﹣, ﹣）．∴x=﹣, y=, r=|OP|=,∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣, y=, r=|OP|=1,得, ,又由sin（α+β）=,得=,则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=,或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．16．（2019•上海）设常数a∈R, 函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数, 求a的值；（2）若f（）=+1, 求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π, π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x,∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x,∵f（x）为偶函数,∴f（﹣x）=f（x）,∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,∴2asin2x=0,∴a=0；（2）∵f（）=+1,∴asin+2cos2（）=a+1=+1,∴a=,∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1,∵f（x）=1﹣,∴2sin（2x+）+1=1﹣,∴sin（2x+）=﹣,∴2x+=﹣+2kπ, 或2x+=π+2kπ, k∈Z,∴x=﹣π+kπ, 或x=π+kπ, k∈Z,∵x∈[﹣π, π],∴x=或x=或x=﹣或x=﹣。