三、函数思想方法的应用【要点】1．函数的思想，是指运用运动变化的观点，分析和研究数量关系，通过建立或构造函数关系式，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．2．方程的思想，是指根据数学问题中变量间的特殊关系，有意识地构造方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．3．函数和方程是密切相关的，可以互相转化。

比如研究函数y=f(x)与y=g(x)的图象的交点问题，就是研究方程f(x)=g(x)的实数解的问题；解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点．4．函数应用题的解题步骤简述如下：（1）审题：阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论；（2）建模：将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型,； （3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）作答：对结果进行验证或评估，作出解释或回答。

解应用题可归结为“过三关”：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。

【例题】1．方程x 2=2x 的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知155=-a cb ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ）A ．ac b 42>B ．ac b 42≥C ．ac b 42<D ．ac b 42≤3．已知关于x 的方程 2x －(2 m －8)x +2m －16 = 0的两个实根 1x 、2x 满足 1x ＜23＜2x ，则实数m 的取值范围_______________．4．关于x 的方程|x 2－4x +3|－a =0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是______． 5．若不等式x 4x 2--≥34x+11-a 的解集为{x|-4≤x≤-2}，求实数a 的值．6．已知直线y=3-x 和坐标轴交于A 、B 两点，若抛物线y=-x 2+mx-1和线段AB 有两个不同的交点，求实数m 的范围．7．设不等式2x －1>m （x 2－1）对满足|m|≤2的一切实数m 的取值都成立．求x 的取值范围．8．设f （x ）＝lg 3421ax x ++，如果当x ∈（-∞,1]时f （x ）有意义，求实数a 的取值范围．9．若方程lg （－x 2＋3x －m ）＝lg （3－x ）在x ∈（0,3）内有唯一解，求实数m 的取值范围．10．已知函数f (x )=log m33+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由．11．（xx 年全国高考题）甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v （千米／时）的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？12．某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海中的行进速度2米/秒（1）分析救生员的选择是否正确；（2）在AD 上找一落点C ，使救生员从A 到B 的时间最短，并求出最短时间。

【习题】一、选择题（A 、B 、C 三级试题分别为3、2、1，共6小题）： 1. 方程2x＝x 2＋2x ＋1的实数解的个数是_____． A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对2. 方程lgx+x=3的解所在区间为（ C ） A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)3. 函数)1(x 1)6(x 13x 8x 4y 2->+++=的最小值是A ．1B ．2C ．25/12D ．13/64.设x 1、x 2、x 3依次是方程x 2x log 21=+，x )2x (log 2-=+，2x +x=2的根，则有（ ）A ．x 2＜x 3＜x 1B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 2＜x 1＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 15.设9897--=n n a n （n ∈N ），则在数列{a n }的前30项中的最大项、最小项依次是 （ ）A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 306.已知集合P ＝{(x,y)|y ＝29x -}、Q ＝{(x,y)|y ＝x ＋b}，若P∩Q≠∅，则b 的取值范围是 ．A ．|b|<3B ．|b|≤32C ．－3≤b≤32D ．－3<b<32二、填空题（A 、B 、C 三级试题分别为2、1、1，共4小题）： 7. 若不等式m>|x －1|＋|x ＋1|的解集是非空数集，那么实数m 的取值范围是_________． 8. 若方程x 2－3ax ＋2a 2＝0的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a 的取值范围是______． 9.对于满足0≤p≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．10. 若关于x 的方程|x 2－6x ＋8|＝a 恰有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________． 三、解答题（A 、B 、C 三级试题分别为2、2、2，共6小题）：11. 已知函数g (x )=lg[a (a +1)x 2－(3a +1)x +3]的值域是R ，求实数a 的取值范围． 12. 定义域内不等式a x x +>-2恒成立，求实数a 的取值范围．13. 已知点A （0,1）、B （2,3）及抛物线y ＝x 2＋mx ＋2，若抛物线与线段AB 相交于两点，求实数m 的取值范围．14. 当实数a 在什么范围内时，方程1)lg(22lg =+a x x有两个不相等的实数根．15. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx (a ,b 为常数，且a ≠0)满足条件:f (x –1)=f (3–x )且方程f (x )=2x 有等根．（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ，n (m ＜n )，使f (x )定义域和值域分别为［m ,n ］和［4m ,4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由．16. （1）一次函数f(x)=kx+h(k≠0)，若m ＜n 有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0，试证明之；（2）试用上面结论证明下面的命题：若a ，b ，c ∈R 且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca ＞-1三、函数思想方法的应用参考答案【例题】 1．D 2．B 3．17{|}22m m -<< 4．解析：作函数y =|x 2－4x +3|的图象，如下图．xy O 1 23 -112 3由图象知直线y =1与y =|x 2－4x +3|的图象有三个交点，即方程|x 2－4x +3|=1也就是方程|x 2－4x +3|－1=0有三个不相等的实数根，因此a =1．答案：15．解：设⇔--=x 4x y 21x 4x y 221--=（y 1≥0） ∴ 4y )2x (212=++（y 1≥0），它表示以（-2，0）为圆心，2为半径的上半圆．a 11x 34y 2-+=表示和x 34y =平行或重合的直线系．分别作出y 1与y 2的图象，让y 2作平行移动，要y 1≥y 2解集为{x|-4≤x≤-2}，显然当且仅当直线通过点（-2，2）时符合要求，此时a 11)2(342-+-⨯=∴ 319a =6．解：将y=3-x 代入抛物线方程得：x 2-（m+1）x+4=0（x ）（x ）应满足条件：在[0，3]内有两个不同的实根．令f （x ）=x 2-（m+1）x+4． 由如图，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∆<+<≥≥0321m 00)3(f 0)0(f解得：3＜m≤310 7．【解】问题可变成关于m 的一次不等式：（x 2－1）m －（2x －1）<0在[-2,2] 恒成立，设f （m ）＝（x 2－1）m －（2x －1）,则 ⎪⎩⎪⎨⎧<----=-<---=0)12()1(2)2(0)12()1(2)2(22x x f x x f解得x ∈（217-,213+） 【注】 本题的关键是变换角度，以参数m 作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题．本题有别于关于x 的不等式2x －1>m （x 2－1）的解集是[-2,2]时求m 的值、关于x 的不等式2x －1>m （x 2－1）在[-2,2]上恒成立时求m 的范围．8．【分析】当x ∈（-∞,1]时f （x ）＝lg 3421ax x ++有意义的函数问题，转化为1＋2x ＋4x a>0在x ∈（-∞,1]上恒成立的不等式问题．【解】 由题设可知，不等式1＋2x＋4xa>0在x ∈（-∞,1]上恒成立，即：（12）2x ＋（12）x＋a>0在x ∈（-∞,1]上恒成立． 设t ＝（12）x , 则t≥12， 又设g （t ）＝t 2＋t ＋a ，其对称轴为t ＝－12∴ t 2＋t ＋a ＝0在[12,+∞）上无实根， 即 g （12）＝（12）2＋12＋a>0，得a>－34所以a 的取值范围是a>－34． 【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想．一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化．在解决不等式（12）2x ＋（12）x ＋a>0在x ∈（-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t ＝（12）x , t≥12，则有a ＝－t 2－t ∈（－∞,－34]，所以a 的取值范围是a>－34．其中最后得到a 的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”．9．【解】 原方程变形为 ⎩⎨⎧-=-+->-x m x x x 33032 即：⎩⎨⎧-=->-m x x 1)2(032设曲线y 1＝（x －2）2 , x ∈（0,3）和直线y 2＝1－m ，画图可知： ① 当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1;②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3<m≤0, ∴ m ＝1或－3<m≤0此题也可设曲线y 1＝－（x －2）2＋1 , x ∈（0,3）和直线y 2＝m 后画出图像求解． 【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了．此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x 值）． 10．解：（1）⇔>+-033x x x ＜–3或x ＞3． ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3设β≥x 1＞x 2≥α，有0)3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数． （2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 即3,0)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-故当0＜m ＜432-时，满足题意条件的m 存在． 11．解：（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，（建模）有y ＝（a ＋bv 2）Sv（解题）所以全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是： y ＝S （av＋bv ），其中函数的定义域是v ∈（0，c] ． 整理函数有y ＝S （va＋bv ）＝S （v ＋v b a），由函数y ＝x ＋kx（k>0）的单调性而得： 当a b <c 时，则v ＝a b 时，y 取最小值；当a b≥c 时，则v ＝c 时，y 取最小值．综上所述，为使全程成本y 最小，当a b <c 时，行驶速度应为v ＝a b ；当ab≥c 时，行驶速度应为v ＝c ．12．解：（1）由A 直接游向B 的时间2150223001==t （秒）由A 经D 游向B 的时间200230063002=+=t （秒） 而2002150>，因此救生员的选择是正确的。