t t t t 2 t t 2 t 2 t 2 t t t 1 1 2 t t t 2 t 1
9
10.2 联立方程的识别问题
• 回顾前一节中引入的需求模型，假若我们仅有销售量Q和价格P的时 间序列数据，而没有更多的信息，比如有关消费者收入、前期价格或 者气候等方面的消息，那么这时我们究竟是在估计需求函数还是供给 函数呢？这样就涉及到联立方程的模型识别问题。
计 量 经 济 学
需求函数 : Qtd 0 1Pt 1t 供给函数：Qts 0 1Pt 2t 均衡条件：Qtd (需求) Qts (供给)
P
P0
S
D
Q0
Q
根据经验，预期需求函数的斜率参数1为负，而供给函数的斜率参数1为正
2
不难看出价格P和需求量Q是联合因变量，例如，由 于影响需求的其他变量(如收入、财富或嗜好)的改变， 需求函数的随机误差项也将改变
计 量 经 济 学
ˆ 是 的一个非一致估计量 2、 1 1
ˆ 1 (Ct C )(Yt Y )
2 ( Y Y ) t
设yt Yt Y
t t t t t

(C C ) y C y C y C y y y y
t t 2 t 2 t 2 t
•
计 量 经 济 学
在前面的章节中，我们所讨论的都是单一方程模型，也就是只有 一个因变量Y和一个或若干个自变量X的模型，在这些模型中，我们分 析的重点是因变量和自变量之间单向的关系，自变量是原因，而因变 量是结果。但是在现实经济活动中，经济变量之间的影响是双向的， 一个经济变量影响另外一个(或多个)经济变量，反过来又受到另外一 个(或多个)变量的影响。例如在货币M对利率r的影响分析中，单一方 程隐含地假定利率是由中央银行制定的，并且试图求出货币需求对利 率水平变化地反应，但是如果利率依赖于货币供给，这时就需要建立 两个方程，一个把货币M联系到利率r，另外一个把r联系到货币M,从 而导致对 联立方程模型的考虑。
计 量 经 济 学
P
价格上升
左移
S
P0
价格下降
D
Q0
右移
Q
4
例10.2 凯恩斯收入决定模型
考虑一下简单的凯恩斯收入决定模型
消费函数：Ct 0 1Yt t ,0 1 1
10.1.4
收入恒等式：Yt Ct I t (或St ) 10.1.5 计 量 其中，Yt－收入，Ct－消费支出，I t－投资，St－储蓄 经 参数 为边际消费倾向，表明增加一单位收入带来消费支出的增加。 1 济 学 从消费函数中可以明显看出，C和Y是相互依赖的，并 且当随机误差项发生偏移时，消费函数也随之移动，而消 费的移动反过来又会影响Y，对这个函数使用普通最小二 乘法也是不适用，得出的估计量将会是非一致的。
Yt
令 0
0 1 , 1 , wt t 1 1 1 1 1 1
0 1 1 It t 1 1 1 1 1 1
10.1.6
Yt 0 1I t wt
10.2.2
公式(10.2.2)就是一个诱导型方程，它把内生变量Y表 达为仅由外生变量I和随机误差项组成的函数
计 量 • 10.2.1 符号和定义 经 为了说明怎样解决识别问题，首先引入一些符号和定义。 一般 济 而言，有M个内生和联合因变量的方程模型可以写成如下方程组的形 学 式：
10
Y1t 12Y2t 13Y3t 1mYmt 11 X 1t 12 X 2t 1k X kt 1t Y2t 21Y1t 23Y3t 2mYmt 21 X 2t 12 X 2t 2k X kt 2t
• 诱导型方程：纯粹由前定变量和随机误差项来表达的一个内生变量的方 程。 以前面的凯恩斯收入模型为例，回顾公式(10.1.4)和(10.1.5)
计 量 经 济 学
消费函数：Ct 0 1Yt t ,0 1 1 收入恒等式：Yt Ct I t (或St )
把(10.1.4)带入(10.1.5)式，有 Yt 0 1Yt I t t
所选定的估计量与总体指标的绝对离差小于任意小正数
的概率大于其他估计量。
6
联立方程偏误：普通最小二乘估计量的非一致性
• 从前面所举的两个联立方程例子中可以看出，方程中有一个或多个自 变量与随机误差项相关，使用普通最小二乘法估计模型，所得的参数 估计量将是非一致的，为了说明这一点，以凯恩斯收入决定模型为例， 假设估计消费函数中的参数，要求随机误差项满足线性回归模型的基 本假定
若1t为正，则需求曲线上移，价格Pt上升 若1t为负，则需求曲线下移，价格Pt下降
计 量 经 济 学
因而需求曲线的迁移同时改变了价格P和需求量Q
P
价格上升 上移
S
P0
价格下降
D
下移
Q0
Q
3
同理，由于影响供给的其他变量(如罢工、气候和进出口限制)的改变，供 给曲线发生迁移，同样也会影响价格P和需求量Q,正是由于价格和需求 量的这种同时相依性，在需求和供给函数中，随机误差项和价格之间 的独立是不可能的，因此直接对供给和需求函数进行回归将破坏经典 线性回归模型的基本假定，无法得出无偏一致的统计量。
计 量 经 济 学
可以证明：1、因变量和随机误差项相关 即Cov(Yt , t ) 0 把(10.1.4)带入(10.1.5)式，有
Yt 0 1Yt I t t
Yt
0 1 1 It t 1 1 1 1 1 1
0 1 It 1 1 1 1
13
把(10.2.2)带回到式(10.1.4)中，得到另一个诱导方程
Ct 2 3 I t wt
计 量 经 济 学
其中， 2
10.2.3
0 , 3 1 , wt t 1 1 1 1 1 1
诱导型(外生变量)系数度量外生变量取值的单位变 化对内生变量的即期影响。对于诱导型或简化式方程， 由于前定变量和随机干扰项都在方程右边而且假定外 生变量和随机干扰项不相关，因而可以用普通最小二 乘法估计出来的诱导型系数来计算结构系数，这种方 法就称为间接最小二乘法，, X k 称为k个外生或者前定变量
1, 2 ,, m称为m个随机干扰项
t 1,2,, t为总观测值个数
11
内生变量：其值由模型内部决定，视为随机变量 前定变量：其值由模型外部决定，视为非随机变量 外生前定变量：当前以及滞后的外生变量 计 量 经 济 学
如X t 1为滞后的外生变量
14
10.2.2 联立方程模型的识别
联立方程的识别就是指能否从所估计出来的诱导型系数求出一个结构 方程的参数估计值，如果能够，那么就说这个联立方程是可以识别的，否 则就说该方程是不可识别的。 • (1)完全不可识别情形 以例10.1中个需求和供给函数为例，由供给均衡条件可得
计 量 经 济 学
Qtd Qts ,即0 1Pt 1t 0 1Pt 2t
10.2.1
Y3t 31Y1t 32Y2t 3mYmt 31 X 3t 32 X 3t 3k X kt 3t
计 量 经 Y Y Y mt m1 1t m 2 2t m ,m 1Ym 1,t m1 X mt m 2 X 3t mk X kt mt 济 学 其中Y1, Y2 ,, Ym称为M个内生或者联合因变量
10.2.4
0 0 , vt 2 t 1t 1 1 1 1
求得均衡价格
Pt
0 0 2t 1t 1 1 1 1
令 0
则Pt 0 vt
10.2.5
同样可以求得均衡销售量 Qt
令1
1 0 0 1 1 2t 11t 1 1 1 1
则Qt 1 wt
10.2.6
15
1 0 0 1 11t , wt 1 2 t 1 1 1 1
计 量 经 济 学
式(10.2.4)和(10.2.5)是两个诱导型(简化型)方程，但 是原来的供求模型中有4个未知的结构参数，要估计出4 个未知参数，必须要有4个独立的方程，因此用两个诱导 型方程是没有办法估计出这4个参数的，这也意味着给定 价格P和销售量Q的数据，如果没有其他信息，没有办法 保证估计出来的是供给函数还是需求函数。一双给定的P 和Q，在供求相等的均衡条件下，仅表示适当的需求和供 给曲线的交点。
10.1.6
则E (Yt )
10.1.7
7
用(10.1.6)-(10.1.7)，得
Yt E (Yt )
E ( t2 ) 2 Cov(Yt , t ) E[(Yt E (Yt ))( t E ( t ))] 1 1 1 1
t 1 1
因为假定E ( t ) 0，所以 t E ( t ) 0
滞后内生前定变量：
如Yt 1为滞后一期的内生变量，但因为在当前 时期里，Yt 1是已知的，因此把它看作是非随机的
出现在方程组中的方程也许描述了一个经济社会的结构或 者描述一个经济人(或消费者或生产者)的行为，因此把这 些方程称为结构或者行为方程，众多的β、γ系数称为结构 系数，从结构性方程中可以解出m个内生变量的系数，并 且导出诱导型方程和相应的诱导型系数。 12
1
10.1 联立方程的性质
• 首先举两个联立方程的例子，然后再说明联立方程估计时会出现的问题。 • 例10.1 需求和供给模型 我们知道一种商品的价格P和它的需求量Q是对该商品需求和供给曲线的 交点来决定的，为了分析方便，假定需求和供给曲线都是线性的，那么加 上随机误差项，可以写出需求和供给方程：