浙教版《一元一次不等式》知识要点及典型例题、习题讲解一、知识点要求1、理解不等式的概念和基本性质、一元一次不等式的概念、不等式的解集（不等式的解）2、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集；熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤和根据；掌握一元一次不等式的应用题的解法3、理解一元一次不等式组的概念，及不等式组的解的概念（组成不等式组的各个不等式的解的公共部分）；会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解，进一步得出不等式组解的规律：①同大取大，②同小取小，③比大得小，比小得大取中间，④比大得大，比小得小，不等式组无实数解；掌握一元一次不等式组的应用题。

二、重要的数学思想：1、通过将实际生活问题转化成不等式等数学模型，领会转化的数学思想。

2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。

3、类比思想：把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。

在本章中，类比思想的突出运用有：1、不等式与等式的性质类比。

2、不等式的解与方程的解的类比3、不等式解法与方程的解法类比。

注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。

典型例题一、解不等式的通法与技巧解一元一次不等式的五个基本步骤和根据如下：同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五个步骤后，可结合一元一次不等式的特点，采取一些灵活、简捷的方法与技巧，能使解题事半功倍。

（一）、凑整法例1．解不等式。

分析：根据不等式性质，两边同乘以适当的数，将小数转化为整系数。

解：两边同乘以-4，得x+30<-2-x.∴ x<-16.（二）、化分母为整数例2．解不等式。

分析：根据分数基本性质，将两边分母化成整数。

解：原不等式变形，得 8x-3-(25x-4)>15-10x.∴ -7x>14. 即x<-2.（三）、裂项法例3．解不等式。

分析：本题若采用去分母法，步骤较多，由除法意义，裂项相合并，过程简洁。

解：原不等式变形，得。

移项、合并，得。

（四）、整体处理法例4．解不等式。

解：视“3x-2”为一个整体，变形，得，移项合并，将，∴。

二、单纯解不等式组1、165()7510542352x xx xx⎧-->-⎪⎪⎨--⎪-≥⎪⎩2、⎪⎩⎪⎨⎧->+≥--13214)2(3xxxx3、2(3)4(1)22x xxx x-->⎧⎪⎨-+≤-⎪⎩4、165()7510542352x xx xx⎧-->-⎪⎪⎨--⎪-≥⎪⎩5、若⎪⎩⎪⎨⎧<<><<c x b x a x x c b a 的不等式组则关于,的解集是（ ）A 、a <x <bB 、a <x <cC 、b <x <cD 、无解6、若a 2>a ，则a 的取值范围是____________； 解：（1）∵ a 2>a,∴ a 2－a>0, 即a(a －1)>0, ∴ 或解得a>1或a<0。

三、带有附加条件的不等式（组）的解 例1、求不等式(3x+4)-3≤7的最大整数解。

分析：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解。

解：(3x+4)-3≤7去分母： 3x+4-6≤14 移项： 3x≤14-4+6 合并同类项： 3x≤16 系数化为1： x≤5∴ x≤5的最大整数解为x=5例2、x 取哪些非负整数时，代数式3-的值不小于代数式的值？解：依题意得：3-≥去分母：24-2(x-1)≥3(x+2) 去括号： 24-2x+2≥3x+6 合并同类项： -5x≥-20 系数化为1： x≤4∴ 符合条件的非负整数为x=0，1, 2, 3, 4. 答：当x 取0，1, 2, 3, 4时，代数式3-的值不小于代数式的值。

（很多人会一不小心就把0弄丢了）注意：要明确“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“至多”、“至少”、“非负数”、“正数”、“负数”、“负整数”……这些描述不等关系的语言所对应的不等号各是什么。

求带有附加条件的不等式时需要先求这个不等式的所有的解，即这个不等式的解集，然后再从中筛选出符合要求的解。

四、不等式（组）中待定字母的取值范围 例1、当k 取何值时，方程x-2k=3(x-k)+1的解为负数。

分析：应先解关于x 的字母系数方程，即找到x 的表达式，再解带有附加条件的不等式。

解：解关于x 的方程：x-2k=3(x-k)+1去分母： x-4k=6(x-k)+2 去括号： x-4k=6x-6k+2 移项： x-6x=-6k+2+4k 合并同类项： -5x=2-2k 系数化为1： x==.要使x 为负数，即x=<0，∵ 分母>0，∴ 2k -2<0, ∴ k<1， ∴ 当k<1时，方程x-2k=3(x-k)+1的解是负数。

例2、若|3x-6|+(2x-y-m)2=0，求m 为何值时y 为正数。

分析：目前我们学习过的两个非负数问题，一个是绝对值为非负数，另一个是完全平方数是非负数。

由非负数的概念可知，两个非负数的和等于0，则这两个非负数只能为零。

由这个性质此题可转化为方程组来解。

由此求出y 的表达式再解关于m 的不等式。

解：∵ |3x -6|+(2x-y-m)2=0, ∴∴解方程组得要使y 为正数，即4-m>0, ∴ m<4. ∴ 当m<4时，y 为正数。

例3、若关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ，则p 的取值范围是_________.例4、如果不等式组⎩⎨⎧>-<+nx x x 737的解集是x ＞7，则n 的取值范围是（ ）A 、n ≥7B 、n ≤7C 、n=7D 、n ＜7例5、如果关于x 的不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<107，求关于x 的不等式ax>b 的解集。

分析：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<107，观察到不等号的方向已作了改变，故可知(2a －b)<0，且51027b a a b -=-，解此方程可求出a ，b 的关系。

解：由不等式(2a －b)x ＋a －5b>0的解集为x<107，可知：2a －b<0，且51027b a a b -=-，得b=35a 。

结合2a －b<0，b=35a ，可知b<0，a<0。

则ax>b 的解集为x<35。

例6、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-1x 230a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是_____________。

解析：由原不等式组可得⎩⎨⎧<≥2x ax ，因为它有解，所以解集是2x a <≤，此解集中的5个整数解依次为1、0、1-、2-、3-，故它的解集在数轴上表示出来如图1所示，于是可知a 的取值范围为3a 4-≤<-。

图1（同类模仿）已知关于x 的不等式组0521x a x -⎧⎨->⎩≥，只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ____(32a -<-≤)（同类模仿）已知不等式4x －a ≤0，只有四个正整数解1，2，3，4，那么正数a 的取值范围是什么？根据题意画出直观图示如下：因为不等式只有四个正整数解1，2，3，4，设若4a在4的左侧，则不等式的正整数解只能是1，2，3，不包含4；若4a 在5的右侧或与5重合，则不等式的正整数解应当是1，2，3，4，5，与题设不符。

所以4a可在4和5之间移动，能与4重合，但不能与5重合。

因此有4≤4a<5，故16≤a<20。

五、不等式与不等式组的应用题用一元一次不等式组解决实际问题的步骤： ⑴审题，找出不等关系； ⑵设未知数； ⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集； ⑸找出符合题意的值； ⑹作答。

例1、某校为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决定举办“读书节”活动，在这次读书活动中，小明受到老师的鼓舞，每天所看的书比原计划多5 页，因而他在2天内读书超过28页，后来他真正体会到读书的乐趣，积极性大增，每天比原计划多读了10页，但照此速度4天他所读的页数还没有达到84页。

问小明原计划每天读多少页书？ 分析：1.审题、设未知数：2.找不等关系：3.列不等式组：4.解不等式组：5.根据实际情况，写出答案.6.一定要答例2、市新华书店听说了该校的读书节活动，决定给一年级的小朋友免费赠送若干套《十万个为什么》。

如果每班分10套，那么余5套；如果前面的班级每个班分13套，那么最后一个班级虽然分有《十万个为什么》，但不足4套．问：一年级有多少个班级？《十万个为什么》共有多少套？分析： 不等关系为：关于用不等式（组）解决的应用题常见类型（一）分配问题：通常把量少的那个设为未知数，那么量大的那个可以用该未知数表示 1、一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。

如果有x 间宿舍，那么可以列出关于x 的不等式组： （一元一次不等式组） 可能有多少间宿舍、多少名学生？解：依题意得，⎩⎨⎧+<-+>194)1(61946x x x x 或1≤4x+19-6(x-1)<6哪一种更容易理解？2、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，且最后一笼不足3只。

问有笼多少个？有鸡多少只？（二）、速度、时间问题1、爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s ，人跑开的速度是5m/s ，为了使点火的战士在施工时能跑到不小于100m 的安全地区，导火索至少需要多长？ （一元一次不等式） 解：很多人会“设导火索至少需要x 米长”，注意这种设法是错误的。

应“设导火索需要x 米长”。

然后列出不等式，求出解，根据解，再决定取值是至少还是至多，还是大于等，以下类推。

2、王凯家到学校2.1千米，现在需要在18分钟内走完这段路。

已知王凯步行速度为90米/ 分，跑步速度为210米/分，问王凯至少需要跑几分钟？（一元一次不等式）3、抗洪抢险，向险段运送物资，共有120公里原路程，需要1小时送到，前半小时已经走了50公里后，后半小时速度多大才能保证及时送到？（一元一次不等式）（三）、工程问题1、用每分钟抽1.1吨水的A 型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B 型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。