1 学好复数三体会复数系是高中阶段对原有的实数系的一次大扩充，为了帮助同学们更好地把握复数的概念、复数的运算及其几何意义，现从以下几方面加以总结.一、一个核心复数问题实数化是解决复数问题的基本原则，即最终都统一到a ＋b i(a ，b ∈R )这一代数形式上来.二、三个热点1.注意扩充后的实数系与其他数系的联系正整数、自然数、整数、有理数、实数、复数之间用集合关系可表示为N ＋N Z Q R C ，且还有R ∪{虚数}＝C ，R ∩{虚数}＝∅，Q ∪{无理数}＝R ，Q ∩{无理数}＝∅.2.注意复数相等的条件复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要方法，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R .若忽略这一条件，则不能成立.3.注意复数的几何应用复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与平面上的点Z (a ，b )形成一一对应关系，从而与向量OZ →一一对应(其中O 为原点)；在解决有关复数问题时，可以利用复数加减的几何意义和向量的几何表示在复平面上结合图形进行解决.三、四个策略1.复数相等策略：主要用于解复数方程，一般都是求其中的实系数(参数)值，在应用时，首先要看参数是否为实数.2.分母实数化策略：在进行复数除法或解答与复数商有关的问题时，一般采用此策略，通过分母实数化，把求商的值或商形式的复数的实部和虚部分离开来，复数分式的分母实数化类似于无理分式的分母有理化.3.点、向量策略：复数与复平面内的点一一对称，复数的实部和虚部分别是点的横、纵坐标，因此，我们可通过复数实部和虚部的符号来判定复数对应的点所在的象限.我们又可以把复数视为向量，利用它们的几何意义和向量知识解答问题，利用这个策略可化数为形，从而使待解问题直观化.4.整体策略：要学会从整体出发去分析问题.如果遇到复数就设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，有时会给问题的解答带来运算上的困难，若能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍.2 化虚为实——复数相等的妙用在汉语中，两个或两个以上才有“复”的内涵，这样我们才有理由称由实数确定的含虚数单位i 的数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为复数.那么复数集C 的理论体系与实数集R 的理论体系之间存在着怎样的联系和差异呢？1.对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，如果b ＝0，则z 就是我们过去熟知的实数.因此，学习复数，后续理论的一个基本点是“b ≠0”.2.解决复数问题的一条主线是化虚为实.其实质就是复数相等的充要条件，即实部与虚部分别相等.利用复数相等的的充要条件可以解决求根、求模及求参数等问题，现精选几个典例，供大家赏析.一、求参数例1 已知x ，y ∈R ，x 2＋2x ＋(2y ＋x )i ＝3x ＋(y ＋1)i ，求复数z ＝x ＋y i.解 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＝3x ，2y ＋x ＝y ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0. 所以z ＝i 或z ＝1.点评 复数相等的充要条件是复数实数化的桥梁，是解复数问题的重要手段.二、求模例2 若复数z 满足z －1＝2i －|z |，求|z |.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由题意得a ＋b i －1＝2i －a 2＋b 2， 即(a －1)＋b i ＝－a 2＋b 2＋2i由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝－a 2＋b 2，b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2， 所以z ＝－32＋2i ，所以|z |＝52. 三、求方程的根例3 已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数根x 0及k 的值.分析 设出方程的实数根，代入方程，利用复数相等的充要条件建立方程组求解.解 设x 0是方程的实数根，代入方程并整理，得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0. 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，k ＝2 2.所以x 0的值为±2，相应的k 的值为∓2 2.易错警示 求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k ＋2i)2－4(2＋k i)≥0，解得k ≥23或k ≤－2 3.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.3 复数有了“形”才完美因为有了复平面，使得复数与复平面内点的坐标、平面向量三者之间有了一一对应关系，复数的有关问题借助平面向量或几何意义能使问题的解决更加快捷和直观.下面用实例来说明.一、复数与点坐标例1 若i 为虚数单位，图中复数平面内的点Z 表示复数z ，则表示复数z (1＋i)的点是____.解析 因为点Z 的坐标为(2，－1)，所以z ＝2－i.所以z (1＋i)＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，即该复数对应的点的坐标为(3，1).答案 H点评 本题主要考查复数的几何意义，体现了数形结合的思想.复数的几何表示：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内的点Z (a ，b )是一一对应的，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应.这种以点的坐标形式给出复数的题目打破了原来的出题方式，给人耳目一新的感觉.二、复数与平面向量例2 设复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝4，|z 1＋z 2|＝43，求|z 1－z 2|.分析 设复数z 1和z 2在复平面内表示向量OA →与OB →，则复数z 1＋z 2表示向量OA →与OB →的和，画出复数所对应的向量，用余弦定理可求解.解 复数z 1和z 2在复平面内表示向量OA →与OB →，画出如图所示的平行四边形，依题意，有|OA →|＝4，|OB →|＝4，|OC →|＝4 3.cos ∠OBC ＝42＋42－(43)22×4×4＝－12. 因为∠AOB ＋∠OBC ＝180°，所以cos ∠AOB ＝12. 所以AB 2＝42＋42－2×4×4cos ∠AOB ＝16，得AB ＝4，即|z 1－z 2|＝4.点评 解决此类问题是要根据已知条件画出图形，通过图形得到数量关系，由复数与向量的一一对应关系，把复数问题转化为向量问题.三、复数方程的几何意义例3 已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，求y x的最大值与最小值. 分析 利用复数的几何意义可知，|z －2|＝3的轨迹为一个圆，y x就是圆上的点与原点连线的斜率.解 复数z 在复平面上对应的点Z (x ，y )在以C (2，0)为圆心、3为半径的圆上，而y x的几何意义是点Z (x ，y )与原点连线的斜率，当连线与圆C 相切时，连线的斜率分别取到最大值3，最小值－ 3.点评 |z －(a ＋b i)|＝r 的几何意义为复平面上以点C (a ，b )为圆心，r 为半径的圆，清楚常见的轨迹方程的复数形式，就不用再转化为普通方程了.4 复数四则巧运算对于复数的运算问题，若能总结其变化规律，掌握解答复数题的方法和技巧，定能快速、简捷地解题.现举例说明.1.灵活运用一些结论利用结论：i 2＝－1，i 4＝1，(1±i)2＝±2i ，⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3＝1，可以使一些复数问题得到简捷、快速的解决.例1 计算：(2＋2i 3－i )7－(2－2i 1＋3i )7. 分析 本题考查复数的运算法则，运用1＋i ＝i(1－i)，1＋3i ＝i(3－i)对式子进行化简.解 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i (1－i )3－i 7－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(1－i )i (3－i )7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i (1－i )3－i 7＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i (1－i )3－i 7 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2i 3－i 7＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i )(3＋i )27＝23(1＋i)(－i)7⎝⎛⎭⎫－12＋32i 7 ＝2(－8i)·(1＋i)·i·－1＋3i 2＝－8－83＋(－8＋83)i. 点评 先化为同类项，再凑成⎝⎛⎭⎫－12＋32i n 形式.注意⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3＝1的应用.2.挖掘隐含条件所谓隐含条件，就是隐藏在题目之中但又没有明确说明的条件.挖掘出这些隐含条件，往往能使解题变得事半功倍.例2 计算：2＋6i 6－2i. 分析 本题直接运用复数除法运算，比较烦琐，注意到分子、分母中实部和虚部的关系，可将分子、分母同乘以i 来处理.解 2＋6i 6－2i ＝(2＋6i )i (6－2i )i ＝(2＋6i )i 6i ＋2＝i. 3.差异分析通过分析条件和结论之间的差异，促使两者向统一的方向发展，往往能使问题简捷获解. 例3 已知z 7＝1(z ∈C ，且z ≠1)，求1＋z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6的值.分析 整体思考1＋z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6，乘以z 即可解决问题.解 因为z ·(1＋z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6＋z 7＝1＋z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6， 所以z ·(1＋z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)－(1＋z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝0，所以(z －1)(1＋z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝0.又z ≠1，所以1＋z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6＝0.。