高中数学选学2-1圆锥曲线与方程高频率考题练习附答案一、单选题（共15题；共30分）1.已知抛物线的焦点为F，准线为l.若与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A. √2 B. √3 C. 2 D. √5【答案】 D【解析】【解答】抛物线的准线l：x=−1∵抛物线的准线为F，∴|OF|=1∵抛物线的准线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且|AB|=4|OF|=4，∴A(−1，2)，B(−1，−2)，将A点坐标代入双曲线渐近线方程得ba=2，∴b2=4a2，∴4a2=c2−a2，即5a2=c2，∴e=ca=√5.故答案为：D.【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标，|AB|=4|OF|得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合a,b,c的关系式得出出a,c的关系，即可求得离心率。

2.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P，Q两点.若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（）A. √2B. √3C. 2D. √5【答案】A【解析】【解答】根据题意可以设出以O为圆心圆的方程为x2+y2=a2,以OF为直径的圆的方程为：（x−c 2）2+y2=(c2)2，联立两个圆的{（x−c2）2+y2=(c2)2x2+y2=a2,两圆方程相减可得x=a2c,设PQ与x轴交于M点，|OM|=a2c |OP|=a,在直角三角形OMP中，MP2=OP2−OM2=a2−(a2c)2,又|PQ|=|OF|，∴|PM|=|MP|=c2即a2−a4c2=c24,整理化简可得c4=4a2(c2−a2),等式两边同时除以a4,, c4a4=4(c2a2−1), ∵e=ca∴e4−4e2+4=0,e2=2,e=√2.故答案为：A【分析】首先设出以OF为直径的圆的方程，联立两个圆的方程可求出两圆交点的横坐标，再结合直角三角形中的勾股定理，即可求出a与c的关系式然后再由整体思想求出关于e的方程解出即可。

3.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p +y2p=1的一个焦点，则p=（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】 D【解析】【解答】∵抛物线的焦点F(p,2,0),椭圆的焦点在x轴上则有a2=3p,b2=p,c2=2p, ∴c=√2p，抛物线的焦点是椭圆的焦点∴p2=√2p,解出p=8.故答案为：D【分析】首先求抛物线的焦点坐标和椭圆的焦点坐标，令两个代数式相等求出结果即可。

4.已知双曲线与椭圆x225+y29=1的焦点重合，它们的离心率之和为145，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±√33x B. y=±53x C. y=±35x D. y= ±√3x【答案】D【解析】【解答】解：椭圆x225+y29=1，焦点为（4，0），（﹣4，0），离心率e= 45，∴双曲线离心率为145﹣45=2，设双曲线中c=4，可得a=2，可得b=2 √3，故双曲线的渐近线方程为：y= ±√3x．故选：D．【分析】求出椭圆的焦点坐标和离心率，进而求得双曲线离心率，根据离心率和焦点坐标建立方程组，求得a和b，则双曲线的渐近线方程即可．5.如图，已知点B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交椭圆于点M，点P在y轴上，且PM//x轴，BP→·BM→=9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（）A. 0<t<3B. 0<t≤3C. 0<t<32D. 0<t≤32【答案】C【解析】【解答】由题意可得B（0，-b)∴直线MB的方程为y=x-b联立方程, 可得∴M，∵PM∥x轴∴P∴. =，. =∵· =9，由向量的数量积的定义可知，| || |cos45°=9 即|. |=3∵P（0，t)，B（0，-b)∴∴即∵t=3-b＜b∴b＞，t＜由a＞b得∴b＜3∴t＞0综上所述0＜t＜故选C【点评】本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，向量的基本运算的应用及一定的逻辑推理与运算的能力．6.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】A【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组{y2=4xy=x−1，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|= √1+1k2•|y1﹣y2|= √2× √32=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，故选：A【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．7.已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. √5 【答案】 D【解析】【解答】抛物线 y 2=4x 的准线 l ： x =−1 ∵ 抛物线 y 2=4x 的准线为F ， ∴ |OF|=1∵抛物线 y 2=4x 的准线与双曲线 x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且|AB|=4|OF| =4 ，∴ A(−1，2) ， B(−1，−2) ，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程得 ba =2 ， ∴b 2=4a 2 ， ∴ 4a 2=c 2−a 2 ， 即 5a 2=c 2 ， ∴ e =ca =√5 . 故答案为：D.【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A 、B 的坐标， |AB|=4|OF| 得出弦长|AB|的值，将A 点坐标代入双曲线渐近线方程结合 a,b,c 的关系式得出出 a,c 的关系，即可求得离心率。

8.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为−14，则椭圆的离心率为（ ）A. 12 B. √22C. √32D. 34【答案】 C【解析】【分析】【方法一】由于内层椭圆和外层椭圆的离心率相等，不妨设外层椭圆的方程为，设切线的方程为，则，消去得，由，化简得，同理可得，，因此，所以，因此，故椭圆的离心率为.故选C.【方法二】椭圆在其上一点处的切点方程为，设，，由于内外两个椭圆的离心率相同，则可设外层椭圆的方程为，则，内层椭圆在点C处的切线方程为，而AC的方程为，其斜率为，同理直线BD的方程为，其斜率为，∴①，直线AC过点，则有，直线BD过点，则有，∴，∴，∴，设，，不妨设点C为第一象限内的点，则点D为第二象限内的点，则为锐角，为钝角，则，∴，则为锐角，∴，∴，∴，由①式得，，∴，∴，∴，∴，故选C.9.已知双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0 , b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A. x24−y212=1 B. x212−y24=1 C. x23−y29=1 D. x29−y23=1 【答案】C【解析】【解答】解：ca=2⇒c=2a ∴b=√3a∴双曲线渐近线方程为y=±√3x又A(c,b2a ),B(c,−b2a)即A(2a,3a),B(2a,−3a)则d1=|2√3a−3a|2=(2√3−3)a2d2=2√3a+3a2⇒d1+d2=2√3a=6⇒a=√3则b=3∴双曲线方程为x23−y29=1故答案为：C【分析】先由离心率，将双曲线方程用一个参数a表示，再利用通径两端点到渐近线距离之和为6，求出a，即可得到双曲线方程.10.双曲线x23−y2=1的焦点坐标是（）A. (− √2，0)，( √2，0)B. (−2，0)，(2，0)C. (0，−√2)，(0，√2)D. (0，−2)，(0，2)【答案】B【解析】【解答】解：因为双曲线方程为x23−y2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c2=a2+b2=3+1=4,c=2，所以焦点坐标为(±2,0)，故答案为：B.【分析】求得双曲线的a，b，由c=√a2+b2，求得c=2，即可得到所求焦点坐标．11.以双曲线−3x2+y2=12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的标准方程是( )A. x216+y212=1 B. x216−y24=1 C. x212−y216=1 D. x24+y216=1【答案】 D【解析】【解答】即，所以双曲线的顶点为（0，），焦点为（0，），即椭圆中a=4，c=,所以，b=2，标准方程为，选D.【分析】简单题，确定椭圆的标准方程，主要利用a,b,c,e的关系。

12.如图所示，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足∠AFB=120°，且|BF|=3|AF|，则双曲线C的离心率是（）A. 2√77B. 52C. √72D. √7【答案】C【解析】【解答】解：如图所示点A它关于原点O的对称点为B，即可得出|BF|=|AF,|,|AF|=|BF′|∵点A、B都是双曲线上的点结合双曲线的定义可得出{|BF|−|BF′|=2a①|AF′|−|AF|=2a②)，①＋②即可得出2|BF |−2|AF |=4a ,∵ |BF|=3|AF| ∴4|AF |=4a,|AF |=a . 在平行四边形AFBF ′中， ∠AFB=120° ∴∠FBF ′=60º在△BFF ′中，由余弦定理可得|FF ′|2=|BF |2+|BF ′|2−2|BF ||BF ′cos60º|, 整理可得4c 2=7a 2,∴e 2=74,e =√72.故答案为：C【分析】根据题意结合双曲线的性质可得到平行四边形AFBF ′ ， 进而得出边之间的相等关系，在由双曲线上点的定义找出|AF |=a ， 再在△BFF ′中结合余弦定理，即可求出a 与c 的关系，利用整体思想即可求出双曲线的离心率即可。