0.5K s(0.5s 1)
时 ， 则
1 s 1 0.23s 1 4.3 6、校正网络： Gc ( s) 1 0.05 s 1 s 1 19.73
校正后： G ( s) 7、验算
40 (0.23s 1) s( s 2)(0.05 s 1)
5、解：系统的开环传递函数为： Go ( s)
(3)ee
1 k 1
可以列劳斯表如下：
s3 1 s s s
0 2
40 40 K
14 40 K
(560 40 K ) /14 0
故，要使系统稳定需： 560 40K 0 和 40K 0 得系统稳定 K 的取值范围为： 0 K 14 （2）要求闭环系统的极点全部位于 s 1 垂线之左时，可令 s s1 1 ，并代入原特 征方程，得到如下新特征方程：
s(T2 s 1)(T1s 1) K 2 (2 s 2 1s ) (T1s 1)(T2 s 2 s K1K 2 ) T1T2 s 3 (T1 T2 K 2 2 ) s 2 (1 K 2 1 ) s (T1s 1)(T2 s 2 s K1 K 2 )
当K 1和T 1时 1 e 1 0.632 1 ze z 0.368 G( z) 0.632 (2) ( z ) 1 G ( z ) z 0.264 0.632 z C ( z) ( z 1)( z 0.264 ) G( z) C (k ) 0.5(1 (0.264 ) k )
全部性能指标均满足。
截止频率为： c 0 2 10 6.3 rad/s 相角裕度为： 0 180 0 (c 0 ) 17 0 50 0 设超前校正网络的传递函数为： Gc ( s)
1 aTs 1 Ts
2、需要补偿的相位超前角： 0 50 0 17 0 40 0 m 3、计算 a 。
K1 K 2 (T1s 1) K 2 (2 s 2 1s ) s (T2 s 1)(T1s 1) K 2 (1s 2 2 s ) K1 K 2 (T1s 1) K 2 (2 s 1s ) T1T2 s 3 (T1 T2 K 2 2 ) s 2 (1 K 2 1 ) s
a 1 s i n m 4 .6 1 s i n m
4、将待校正系统对数幅频曲线上幅值为－10lg a 处的频率作为校正后的截止频 率 wc ：
w 10 lg a 40 lg c wc 0
K2 2 s 2 1s 6、设 G1 ( s ) K 1 ， G 2 ( s ) ， Gr ( s ) T1s 1 s (T2 s 1)
2，K 3
做出根轨迹如图所示：
Root Locus 4
3
0+
j
2
1
Imaginary Axis
0
-1
-2
-8
-1
-3
-4 -6
-5
-4
-3
-2 Real Axis
-1
0
1
2
（2）由（1）根轨迹可知， 0 K 3 时，系统稳定。
（
2
）
当
P( )
时1
，
系
统
不
稳
定
。
即
7 7 7 k k k 3 1，已知 2＝3/4,所以 3 3 1, 7 k 7 , k 7 3 ＝ 3 1, 7 1 2 1 2 3 4 4 7 4 4 0 k 3 时，系统稳定。 / 4 方法 2：劳斯判据 0 k 3/ 4 时，系统稳定。
4
( s)
5、
1 wm a 19.73, T
w 1 m 4.3 aT a
其中 G0 ( s ) 为单位负反馈系统的前向通道增益， 即等效单位反馈系统的开环传递函
数。有
G0 ( s )
G ( s )G2 ( s ) Gr ( s )G2 ( s ) ( s) 1 1 ( s) 1 Gr ( s )G2 ( s ) K1 K 2 K 2 (2 s 2 1s ) s (T2 s 1) s (T2 s 1)(T1s 1) K 2 (2 s 2 1s ) 1 s (T2 s 1)(T1s 1)
则系统的闭环传递函数为：
( s)
C ( s) G1 ( s)G2 ( s) Gr ( s)G2 ( s) R( s) 1 G1 ( s)G2 ( s)
C ( s) G0 ( s) R( s ) 1 G0 ( s)
现将系统等效为单位负反馈系统，则有 则： wc 6.3 4.6 9.2 wm
G( s)
K 2K s( s 1)(0.5s 1) s( s 1)( s 2)
( s)
G1G4＋G1G2 G3 C ( s) ＝ R( s) 1＋G1G4＋G4 H 2＋G2 G3 H 2＋G1G2 H 1＋G1G2 G3
（1）绘制根轨迹如下。 1) 根轨迹的分支和起点、终点。由开环传递函数可知 n 3, m 0, n m 3 ，故根 轨迹有三条分支，其起点分别为 p1 0, p2 1, p3 2 ，其终点为无穷远处。
安徽大学 2008-2009 学年第一学期 《自动控制理论》期末试题（A 卷）参考答案 1、解：法一
2、解： （1）由图知，系统的的开环传递函数为 G(s) 40K /[s(s 10)(s 4)] ，可以
3 2 得到系统的特征方程： D( s) s 14s 40s 40K 0
z 1 z z )[ ] z z 1 z e T 7、 1 e T ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ K [ ] z e T G( z) K (
当T 1时D( z ) 1 G ( z ) 0 D( z ) ( z 0.368 ) K (1 0.368 ) z 0.368 K * 0.632 0
或者先求出系统的误差传递函数， 然后利用输入为单位加速度信号时， 系统的稳态 误差为 0 ，也可以求出系统的参数。 校正后系统的误差传递函数为：
e ( s ) 1 ( s )

1 Gr ( s )G2 ( s ) 1 G1 ( s)G2 ( s)
(1) z 0.632 K 0.368 1.368 0.632 K 0.632 0 K 2.16
校正后：
180 0 90 0 arctg0.23wc arctg0.5wc arctg0.05 wc 52.2 0 50 0
1 0.05 ，故 K=40 0.5K
1、确定开环增益： r (t ) t 时，稳态误差为 ess 绘制待校正系统的对数幅频如图所示：
a
非最小相位系统。 系统起点处的相位 ( ) (0 ) 180o 90o v 270o ， 幅值为 A( ) A(0 ) 终点处的相位
近似求得 d 0.42 和 d 1.58 ，分离点应位于 [1, 0] 之间， d 1.58 可舍去， 得 d 0.42 。 5) 根轨迹与虚轴的交点。 令 s j ，代入上式可得： ( j )3 3( j )2 2( j ) 2 K 0 得： 3 2 0 2 3 2 K 0 因 0 ，故可解得：
L4 G4 H 2 , L5 G1G4 无两不相关回路，则
故 要 使 闭 环 系 统 的 极 点 全 部 位 于 s 1 垂 线 之 左 ， 需 ： 192 40K 0 和 40K 27 0 ，得 K 的取值范围为： 0.675 K 4.8
3、解：开环传递函数为:
当 R( s )
1 s3
且校正后系统为Ⅲ型系统时，则稳态误差为 0.
1 T1T2 s 3 (T1 T2 K 2 1 ) s 2 (1 K 2 2 ) s ess lim sR ( s )e ( s ) s 3 s (T1s 1)(T2 s 2 s K1 K 2 ) T1T2 s (T1 T2 K 2 2 ) (1 K 2 1 ) / s (T1s 1)(T2 s 2 s K1 K 2 )
14 6 8 2 j P( ) jQ( ) 1 2 (1 2 )
当虚部为 0 时， x 2 3/ 4, P(x ) 8 。 从开环幅相的起点处逆时针补画 90o ，构成乃氏曲线，如下图所示。
1 乃氏曲线包围（-1，j0）点的圈数， R 2( N N ) 2(1 ) 1 , 2 而 P 1 ，故系统是稳定的。
D( s) s 3 3s 2 2s 2K 0
( ) () 180o 90o v 90o [(n1 m1 ) (n2 m2 )] 180o 90o 180o 90o
终点处的幅值 A( ) A() 0 开环频率特性 G ( j )
2) 实轴上的根轨迹。分布区为 (, 2],[1,0] 。 3) 根轨迹的渐近线。
1 2 1 ， a , 30 3 4) 根轨迹的分离点。根轨迹的分离点坐标满足： 1 1 1 0 d d 1 d 2
4 k ( s 1) 3 4、解： （1） G ( s) ，可知 v 1, n1 0, n2 1, m1 1, m2 0 。 s(1 s)
D( s1 ) ( s1 1)3 14( s1 1) 2 40( s1 1) 40 K 0
整理得：
s13 11s12 15s1 40 K 27 0
(s)
C (s) R( s)
G1 (G4 G2 G3 ) GG H 1 [G1 H 2 1 2 1 ](G4 G2 G3 ) G 4 G 2 G3