一元二次方程
(一)、一元二次方程的概念
1理解并掌握一元二次方程的意义
未知数个数为1，未知数的最高次数为2,整式方程，可化为一般形式；
2•正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数
(1)明确只有当二次项系数a 0时，整式方程ax2 bx c 0才是一元二次方程。

(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).
3•—元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解
(二)、一元二次方程的解法
1•明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；
2•根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；
3•值得注意的几个问题：
(1)开平方法：对于形如x2 n或(ax b)2 n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解
形如x2 n的方程的解法：当n 0时，x 、. n ；当n 0时，x1 x2 0 ；当n 0时，方程无实数根。

(2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x m)2 n的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化1 ”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1 ；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x m)2 n的形式；
④求
解:
若n0时，方程的解为x m . n，若n 0 时, 方程无实数解。

(3)公式法：
一兀二次方程ax bx c 0(a 0)的根x -b b24ac
2a
当b24ac0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；
当b24ac0时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为X1 X2
b 2a
当b24ac0时，方程无实数根•
公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a,b,c的值；③代入b2 4ac中计算其值，判断方程是
否有实数根；④若b2 4ac 0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

(4)因式分解法：
因式分解法的一般步骤：
若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

(三)、根的判别式
1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参 数取值范围。

（ 1） =b 2 4ac
从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

例：求证：方程 （a 2 1）x 2 2ax （a 2 4） 0 无实数根。

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分 类讨论，如果二次系数为 0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为
0，一元二次方程可能会有两个实
数根或无实数根。

（四） 、一元二次方程的应用
1. 数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2. 几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何 知识检验。

3. 增长率问题（下降率） ：在此类问题中，一般有变化前的基数（ a ），增长率（ x ），变化的次数（ n ），变化后的 基数（ b ） ,这四者之间的关系可以用公式 a （1 x ）n b 表示。

4. 其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去） 。

（五） 新题型与代几综合题
（1）有 100 米长的篱笆材料， 想围成一矩形仓库， 要求面积不小于 600平方米， 在场地的北面有一堵 50米的旧墙， 有人用这个篱笆围成一个长 40米、宽 10米的仓库，但面积只有 400 平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与 宽才能符合要求呢？
（ 2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄） ：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位 学子算得
准，多少年华属周瑜？
2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程
ax 2 bx c 0 （ a 0 ）
a ①当
0 0时 方程有实数根；②当
a0
0时
方程无实数根；
2 2 r ---
⑶已知：a,b,c 分别是 ABC 的三边长，当m 0时，关于x 的一元二次方程c(x m) b(x m) Z max 0 有两个相等的实数根，
求证：
ABC 是直角三角形。

(4)已知：a,b,c 分别是 ABC 的三边长，求证：方程 b 2x 2 (b 2 c 2
数？ ( m 1)
当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。

(六) 相关练习
(一) 一元二次方程的概念 1.一元二次方程的项与各项系数 把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项:
(1) 5x 2 2 3x
2 2
(2) (5a 1)
4(a 3)
2 •应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值
(1) m 为何值时，关于 x 的方程(m <2)x m (m 3)x 4m 是一元二次方程。

(2)若分式
x 2
7x 8 —x —厂
0，则 x _____
a 2)x c 2 0没有实数根。

(5)当m 是什么整数时，关于
x 的一元二次方程 mx 2 4x 4
0 与 x 2 4mx 4m 2 4m 5 0的根都是整
(6)已知关于x 的方程x 2
2x
m 2 1 x 2
2x 2m
0，其中m 为实数，(1)当m 为何值时，方程没有实数根?
(2)
答案：(1)m 2( 2)x
3•由方程的根的定义求字母或代数式值
2 ⑴关于X的一元二次方程(a 1)x
2
X a 1 0有一个根为0，则a _________
⑵已知关于x的一元二次方程ax2 bx c0(a 0)有一个根为1，一个根为1,则a b c
(二)一元二次方程的解法
1.开平方法解下列方程：
(1) 169(x 3)2289 ⑵(1 、3)m20
2.配方法解方程：
(1) x2 2x 5 0
3.公式法解下列方程：(1) 3x2 6x 2
2
⑵2y 4y 3
(2) p2 3 2.3p
4.因式分解法解下列方程：
(1) y2 4y 45 0
2
(2) (x 5) 2(x 5) 1(3) . 7x2,21x 0
5.解法的灵活运用(用适当方法解下列方程)
(1)6x(x 2) (x 2)( x 3)
2 2
⑵ 81(2x 5) 144(x 3)
(三)一元二次方程的根的判别式
1不解方程判别方程根的情况：
(1) 4x2 x 3 7x (2) 3(x22) 4x ⑶4x2 5 4 ： 5x
2
2. k为何值时，关于x的二次方程kx 6x 9 0
(1)有两个不等的实数根(2)有两个相等的实数根(3)无实数根
3.k为何值时，方程(k 1)x2(2k 3)x (k 3) 0有实数根.
(四)一元二次方程的应用 1 •已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积
2•某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？3
3 •某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存,
商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?
k
y - , （1） k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个
x
A 、
B , AOB 是锐角还是钝角？ （ k 9且k 0 ；钝角）
1元，商场每天可多售 出2件，若商场平均每天
4.一次函数y x 6和反比例函数
交点？ （ 2）设（1）中的两个公共点为。