定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
函数定义域求法总结
一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
（1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠
二、抽象函数的定义域
1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域
方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
函数值域求法四种
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。
1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1
y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1
≠
显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞
例2. 求函数x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥
故函数的值域是：]3,[-∞
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=
∵]2,1[x -∈
由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，
8y max =
故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
例4. 求函数22
x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程
（1）当1y ≠时，R x ∈ 解得：23
y 21
≤≤
（2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∈23,21
1 故函数的值域为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
23,21
例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1）
∵R x ∈
∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-
但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤
由0≥∆，仅保证关于x 的方程：
0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0
≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤
21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：]2,0[22
222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集
时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例6. 求函数1x x y -+=的值域。
解：令t 1x =-，)0t (≥
则1t x 2+= ∵
43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知
当0t =时，1y min =
当0t →时，+∞→y
故函数的值域为),1[+∞
课堂练习
一、 求函数的定义域
1、求下列函数的定义域：
⑴y =
⑵y =
⑶01
(21)1
11y x x =+-+-
2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ _；函数的定义域为________；
3、若函数(1)f x +的定义域为，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数
1(2)f x
+的定义域为 。
4、知函数的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求
实数m 的取值范围。
5、若函数()f x = 3
442++-mx mx x 的定义域为R ,则实数m 的取值范围是 （ ）
A 、(－∞,+∞)
B 、(0,43]
C 、(43,+∞)
D 、[0, 43) 6、若函数2()1f x mx mx =++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）
(A)04m << (B) 04m ≤≤(C) 4m ≥ (D) 04m <≤
7.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．
8.若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
9.已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．
10.已知函数
的定义域为，则的定义域为________。
11. 函数定义域是，则的定义域是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.
13.若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．
14.已知函数
的定义域是，求的定义
域。
15.若函数f (x +1)的定义域为[－2
1，2]，求f (x 2)的定义域． 二、 求函数的值域
1.函数()()2
11f x x R x =∈+的值域是_________
2.2222x x y x -+-=+的值域是________
3.12y x x =+-的值域是__________
4.二次函数(]247,0,3y x x x =-+-∈的值域为 。
5.函数265y x x =---的值域是 15函数241y x x =+-的值域是
6.函数224y x x =--+的值域是（ ）
A [2,2]-
B [1,2]
C [0,2]
D [2,2]-
7.若函数y =x 2-3x -4的定义域为［0,m ］，值域为［-4
25,-4］，则m 的取值范围是( ) A.(0,]4 B.［23,4］ C.［23,3］ D.［2
3,+∞) 8.221
x x y x x -=-+ 9.如何求函数23(1)1x y x x +=>-+的值域21(1)3
x y x x +=>-+呢 课后小结：
（1） 求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式
有意义时自变量满足的条件。
（2） 函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视。
（3） 定义域的求法:见上面讲义。
（4） 求函数值域时要先观察函数的结构特征，然后选好所适合的方法来解题，尤其要
注意根据定义域来求值域，不要忽略定义域的范围。
家庭作业
1. 设函数
的定义域为，则 （1）函数
的定义域为________。
（2）函数
的定义域为__________。
2、已知函数
的定义域为，则的定义域为__________ 3、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。
4、4.设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求y=f()3
1()31-++x f x 定义域。
5
.55、若函数a ax ax y 12+
-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 6.求下列函数的值域。