全等三角形全章复习与巩固（提高）学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式； 3．会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质， 会利用角的平分线的性质进行证明 . 知识网络】【要点梳理】要点一、全等三角形的判定与性质一般三角形 直角三角形判定 边角边（ SAS ） 角边角（ ASA ） 角角边（ AAS ） 边边边（ SSS ）两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（ HL ） 性质 对应边相等，对应角相等 （其他对应元素也相等， 如对应边上的高相等）备注 判定三角形全等必须有一 组对应边相等要点二、全等三角形的证明思路已知两角 找夹边 ASA找任一边 AAS要点三、角平分线的性质1. 角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等找夹角 SAS已知两边 找直角 HL找另一边 SSS边为角的对边 已知一边一角 边为角的邻边找任一角 AAS 找夹角的另一边 SAS 找夹边的另一角 ASA 找边的对角 AAS2.2. 角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 .3.三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等 .4.与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 .要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点 . 运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题 .可以适当总结证明方法 .1．证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等 .(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等 .(3)等式性质 .2．证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明 .(2)证明两个角所在的两个三角形全等 .(3)利用角平分线的判定进行证明 .(4)同角(等角)的余角(补角)相等 .(5)对顶角相等 .3．证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明 .4．辅助线的添加 :(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长 (或补短 )法作旋转变换的全等三角形 .5.证明三角形全等的思维方法 :( 1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件 .( 2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件 .( 3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质 .【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1) ．倍长中线法1、已知，如图，△ ABC 中，D是 BC中点， DE⊥DF,试判断 BE＋CF与 EF的大小关系，并证明你的结论 .【思路点拨】因为 D 是 BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使 DG ＝DF,证明△EDG≌△ EDF，△FDC≌△ GDB，这样就把 BE、CF与 EF线段转化到了△ BEG中，利用两边之和大于第三边可证 .【答案与解析】 BE＋ CF>EF；证明：延长 FD 到 G，使 DG＝DF,连接 BG、 EG∵D是 BC 中点∴BD＝ CD 又∵DE⊥DF 在△ EDG和△ EDF中ED EDEDG EDFDG DF∴△ EDG≌△ EDF( SAS) ∴EG＝ EF在△FDC与△GDB中CD BD12DF DG∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝ BG∵BG＋ BE> EG∴BE＋ CF> EF总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法(或倍长过中点的线段)举一反三：变式】已知：如图所示， CE、CB 分别是△ ABC与△ ADC的中线，且∠ ACB＝∠ ABC．求证： CD＝2CE．【答案】证明：延长 CE至 F 使 EF＝CE，连接 BF．∵ EC 为中线，∴ AE ＝ BE．AE BE, 在△ AEC与△ BEF中，AEC BEF ,CE EF,∴ △ AEC≌△ BEF（SAS）．∴ AC ＝ BF，∠ A＝∠ FBE．（全等三角形对应边、角相等）又∵∠ ACB＝∠ ABC，∠ DBC＝∠ ACB＋∠ A，∠ FBC＝∠ ABC＋∠A．∴ AC ＝ AB，∠ DBC＝∠ FBC．∴ AB ＝ BF．又∵ BC 为△ ADC的中线，∴ AB ＝ BD．即 BF＝ BD．BF BD,在△ FCB与△ DCB中，FBC DBC,BC BC,∴ △ FCB≌△ DCB（SAS）．∴ CF ＝ CD．即 CD＝ 2CE．（2）．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在△ ABC中，∠ C＝2∠B，∠1＝∠ 2．求证： AB＝ AC＋ CD．【答案与解析】证明：在 AB上截取 AE＝ AC．AE AC（已作），在△ AED与△ ACD中， 1 2（已知），AD AD （公用边），∴ △ AED ≌△ ACD （SAS ）．∴ ED ＝ CD ．∴ ∠AED ＝∠ C （全等三角形对应边、角相等 ） ．又∵ ∠ C ＝2∠B ∴∠ AED ＝2∠ B ．由图可知：∠ AED ＝∠ B ＋∠ EDB ，∴ 2 ∠ B ＝∠ B ＋∠ EDB ．∴ ∠B ＝∠ EDB ．∴ BE ＝ ED ．即 BE ＝ CD ．∴ AB ＝ AE ＋BE ＝AC ＋CD （等量代换 ） ．【总结升华】 本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现 AB> AC ．故用截长补短法．在 AB 上截取 AE ＝AC ．这样 AB 就变成了 AE ＋BE ，而 AE ＝AC ．只需证 BE ＝ CD 即可．从 而把 AB ＝AC ＋ CD 转化为证两线段相等的问题．举一反三：【变式】如图， AD 是 ABC 的角平分线， H ，G 分别在 AC ，AB 上，且 HD ＝ BD.（1） 求证：∠ B 与∠ AHD 互补；（2） 若∠ B ＋2∠DGA ＝180°，请探究线段 AG 与线段 AH 、HD 之间满足的等量关系，并加 以证明 .【答案】证明：（ 1）在 AB 上取一点 M, 使得 AM ＝AH, 连接 DM.∵ ∠CAD ＝∠ BAD, AD ＝ AD,∴ △AHD ≌△ AMD.∴ HD ＝MD, ∠AHD ＝∠ AMD.∵ HD ＝ DB,∴ DB ＝ MD.∴ ∠DMB ＝∠ B.∵ ∠AMD ＋∠ DMB ＝ 180 ,∴ ∠AHD ＋∠ B ＝ 180 .即 ∠B 与∠AHD 互补 .（2）由（ 1）∠AHD ＝∠AMD, HD ＝MD, ∠AHD ＋∠B ＝180 . ∵ ∠ B ＋ 2∠ DGA ＝ 180 ,∴ ∠ AHD ＝ 2∠ DGA.∴ ∠ AMD ＝ 2∠ DGM.∵ ∠AMD ＝∠ DGM ＋∠GDM.∴ 2 ∠DGM ＝∠ DGM ＋∠ GDM.∴ ∠DGM ＝∠ GDM.∴ MD ＝ MG.∴ HD ＝ MG.∵ AG ＝ AM ＋ MG,∴ AG ＝ AH ＋ HD.C3）.利用截长 （或补短 ）法作构造全等三角形3、如图所示，已知△ ABC 中 AB> AC ，AD 是∠ BAC 的平分线， M 是 AD 上任意一点，求证： MB －MC< AB －AC ．【思路点拨】 因为 AB>AC ，所以可在 AB 上截取线段 AE ＝AC ，这时 BE ＝ AB －AC ，如果连接 EM ，在△ BME 中，显然有 MB －ME< BE ．这表明只要证明 ME ＝MC ，则结论成立．【答案与解析】证明：因为 AB> AC ，则在 AB 上截取 AE ＝ AC ，连接 ME ． 在△ MBE 中， MB －ME<BE （三角形两边之差小于第三边） 在△ AMC 和△ AME 中，AC AE （所作 ），CAM EAM （角平分线的定义 ），AM AM （公共边 ），∴ △AMC ≌△ AME （ SAS ）．∴ MC ＝ ME （全等三角形的对应边相等） ．又∵ BE ＝ AB －AE ， ∴ BE ＝AB － AC ，∴ MB －MC< AB －AC ．总结升华】 充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键 举一反三：变式】如图， AD 是△ ABC 的角平分线， AB>AC,求证： AB － AC>BD －DC【答案】证明：在 AB 上截取 AE ＝ AC,连结 DE ∵AD 是△ABC的角平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD 在△AED 与△ACD 中 AE AC BAD CADAD AD∴△AED ≌△ ADC （ SAS ）D∴DE＝ DC 在△BED中， BE>BD－ DC 即 AB－ AE> BD－ DC ∴AB－ AC> BD－DC （4） . 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、如图所示，已知 E为正方形 ABCD的边 CD的中点，点 F在 BC上，且∠ DAE ＝∠ FAE．【思路点拨】四边形 ABCD为正方形，则∠ D＝90°．而∠ DAE＝∠ FAE说明 AE为∠ FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 E到 AD的距离已有，只需作 E 到 AF 的距离 EM即可，由角平分线性质可知 ME＝ DE．AE＝AE．Rt△AME与 Rt△ ADE全等有 AD ＝AM．而题中要证 AF＝ AD＋ CF．根据图知 AF ＝ AM＋MF．故只需证 MF＝FC 即可．从而把证 AF＝ AD＋CF转化为证两条线段相等的问题．【答案与解析】证明：作 ME⊥ AF于 M，连接 EF．∵ 四边形 ABCD为正方形，∴ ∠ C＝∠ D＝∠ EMA＝90°．又∵ ∠ DAE＝∠ FAE，∴ AE 为∠ FAD 的平分线，∴ ME ＝ DE．AE AE（公用边），在 Rt△ AME与 Rt △ ADE中，DE ME（已证），∴ Rt △ AME≌ Rt △ADE（HL）．∴ AD ＝ AM（全等三角形对应边相等）．又∵ E 为 CD中点，∴ DE ＝EC．∴ ME ＝ EC．ME CE（已证），在 Rt△ EMF与 Rt △ ECF中，EF EF （公用边），∴ Rt △ EMF≌ Rt △ECF（HL）．∴ MF ＝ FC（全等三角形对应边相等）．由图可知： AF＝ AM＋MF，∴ AF ＝AD＋ FC（等量代换）．【总结升华】与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 .、如图所示，在△ ABC 中， AC=BC ，∠ ACB=90°， D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD 的延AE 1BD ，求证： BD 是∠ ABC 的平分线． 2答案与解析】证明：延长 AE 和 BC ，交于点 F ， ∵AC ⊥BC ，BE ⊥AE ，∠ADE=∠BDC （对顶角相等） ， ∴∠ EAD+∠ ADE=∠CBD+∠BDC ．即∠ EAD=∠ CBD ． 在 Rt △ ACF 和 Rt △ BCD 中．所以 Rt △ ACF ≌ Rt △BCD （ ASA ）．则 AF=BD （全等三角形对应边相等） ．∵ AE= BD ，∴ AE= AF ，即 AE=EF ．在 Rt △BEA 和 Rt △BEF 中，则 Rt △BEA ≌ Rt △BEF （SAS ）．所以∠ ABE=∠ FBE （全等三角形对应角相等） ， 即 BD 是∠ ABC 的平分线．总结升华】 如果由题目已知无法直接得到三角形全等， 不妨试着添加辅助线构造出三角形 全等的条件，使问题得以解决．平时练习中多积累一些辅助线的添加方法 类型二、全等三角形动态型问题6、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线 l 经过顶点 C ，过 A ，B 两点分别作 l 的垂 线 AE ， BF ，垂足分别为 E ， F.（1）如图 1当直线 l 不与底边 AB 相交时，求证： EF ＝AE ＋BF.（ 2）将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使 l 与底边 AB 相交于点 D ，请你探究直线 l 在如下位 置时， EF 、AE 、BF 之间的关系，① AD>BD ；② AD ＝ BD ；③ AD< BD.长线于 E ，【答案与解析】证明：（1）∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠ AEC＝∠ CFB＝ 90°，∠ 1＋∠ 2＝ 90 ∵∠ ACB＝90°，∴∠ 2＋∠ 3＝90°∴∠ 1＝∠ 3。