矩形、菱形、正方形及其性质、判定第1题. （贵州省贵阳市，10分）如图，在ABCD 中，E F ，分别为边AB CD ，的中点，连接DE BF BD ，，． （1）求证：ADE CBF △≌△．（5分）（2）若AD BD ⊥，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）答案：（1）在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ． ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点∴AE =CF 在AED △和CFB △中，AD CBA C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AED CFB ∴△≌△． （2）若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是菱形．证明：AD BD ⊥ ，ABD ∴△是Rt △，且AB 是斜边（或90ADB ∠= ）E 是AB 的中点， 12D E A B B E ∴==． 由题意可知EB DF ∥且EB DF =， ∴四边形BFDE 是平行四边形， ∴四边形BFDE 是菱形．第2题. (湖北省黄冈市,7分)已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF DE ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =． 答案：证明：四边形ABCD 是正方形，AD CD = ，A DCF ∠=∠=90ADC ∠= ， DF DE ⊥ ，90EDF ∴∠= ．ADC EDF ∴∠=∠．即1323∠+∠=∠+∠．12∴∠=∠．在ADE △与CDF △中12AD CD A DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，， A D E C D F ∴△≌△．DE DF ∴=．AB CDEF AEBCFD 1 23第3题. （湖北省咸宁市，8分）如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 并证明你的结论．答案：解（1）证明： ∵CE 平分BAC ∠， ∴12∠=∠，又∵MN ∥BC ， ∴13∠=∠， ∴32∠=∠，∴EO CO =．同理，FO CO =． ∴ EO FO =． （2）当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．∵EO FO =，点O 是AC 的中点． ∴四边形AECF 是平行四边形．又∵12∠=∠，45∠=∠． ∴124180902∠+∠=⨯︒=︒，即90ECF ∠=︒．∴四边形AECF 是矩形．第4题. （江苏省南京市，6分）如图，在ABCD 中，E ，F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ． 求证：（1）△ABF ≌△DCE ； （2）四边形ABCD 是矩形． 答案：证明：（1）∵BE ＝CF ， BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ， ∴ BF ＝CE ．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ．在△ABF 和△DCE 中， ∵AB ＝DC ， BF ＝CE ，AF ＝DE ， ∴△ABF ≌△DCE ．（2）证明：∵△ABF ≌△DCE ， ∴∠B ＝∠C ． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ． ∴∠B ＋∠C ＝180°． ∴∠B ＝∠C ＝90°． ∴四边形ABCD 是矩形．第5题. （湖南省湘潭市，6分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE =AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F .（1）猜想：AD 与CF 的大小关系； （2）请证明上面的结论.A BC E F M N O (第19题图）ABCEF M N O (第19题图）12345AB DCE F BACDEF答案：解：（1）AD CF =.（2） 四边形ABCD 是矩形，,AED FDC DE AB CD ∴∠=∠∴==又,90,CF DE CFD A ⊥∴∠=∠=︒ADE FCD ∴≅∆ AD CF ∴=第6题. （江西省南昌市，4分）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD上的点B '处，点A 落在点A '处； （1）求证：B E BF '=；（2）设AE a AB b BF c ===，，，试猜想a b c ，，之间的一种关系，并给予证明． 答案：（1）证：由题意得B F BF '=，B FE BFE '∠=∠， 在矩形ABCD 中，AD BC ∥， B EF BFE '∴∠=∠， B FE B EF ''∴∠=∠． B F B E ''∴=． B E BF '∴=．（2）答：a b c ，，三者关系不唯一，有两种可能情况： （ⅰ）a b c ，，三者存在的关系是222a b c +=．证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=．在ABE △中，90A ∠=，222AE AB BE ∴+=．AE a = ，AB b =，222a b c ∴+=．（ⅱ）a b c ，，三者存在的关系是a b c +>． 证：连结BE ，则BE B E '=．由（1）知B E BF c '==，BE c ∴=． 在ABE △中，AE AB BE +>， a b c ∴+>．第7题. （内蒙古自治区赤峰市，10分）如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD 是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．答案：答：四边形ABCD 是菱形．证明：由AD BC ∥，AB CD ∥得四边形ABCD 是平行四边形过A C ，两点分别作AE BC ⊥于E ，CF AB ⊥于F ．ABCD FA 'B 'EA B C D90CFB AEB ∴∠=∠= ．AE CF = （纸带的宽度相等）ABE CBF ∠=∠， Rt Rt ABE CBF ∴△≌△ AB BC ∴=∴四边形ABCD 是菱形第8题. （青海省，8分）如图，在ABC △中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，且AF DC =，连接CF ． （1）求证：D 是BC 的中点；（2）如果AB AC =，试猜测四边形ADCF 的形状，并证明你的结论． 答案：（1）证明：AF BC ∥，AFE DBE ∴∠=∠．E 是AD 的中点， AE DE ∴=．又AEF DEB ∠=∠ ， AEF DEB ∴△≌△． AF DB ∴=． AF DC = ，DB DC ∴=．即D 是BC 的中点． （2）解：四边形ADCF 是矩形，证明：AF DC ∥，AF DC =， ∴四边形ADCF 是平行四边形．AB AC = ，D 是BC 的中点， AD BC ∴⊥． 即90ADC ∠= ．∴四边形ADCF 是矩形．第9题. （山东省聊城市，8分）如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交于E F ，． （1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．答案：（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，OB OD ∴= A E C F ∥E F ∴∠=∠，OBE ODF ∠=∠． BOE DOF ∴△≌△（2）当EF AC ⊥时，四边形AECF 是菱形．证明： 四边形ABCD 是矩形， OA OC ∴=又由（1）BOE DOF △≌△得， OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形又EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形BA DCF EαBA FCEDF DOC B E AF DOCB EA第10题. （山东省青岛市，8分）已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE ＝CG ，连接BG 并延长交DE 于F ． （1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE ′ ，判断四边形E ′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由． 答案：证明：（1） ∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠BCD=90°．∵∠BCD +∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°． 又∵CG=CE ，∴△BCG ≌△DCE ． （2）∵△DCE 绕D 顺时针旋转90︒得到△DAE ′，∴CE=AE ′．∵CE=CG ， ∴CG=AE ′．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BE ′∥DG ，AB=CD ． ∴AB －AE ′ =CD －CG ，即BE ′ =DG ．∴四边形DE ′ BG 是平行四边形． 第11题. （四川省宜宾市，8分）已知：如图，菱形ABCD 中，E F ，分别是CB CD，上的点，且BE DF =．（1）求证：AE AF =．（2）若60B ∠=，点E F ，分别为BC 和CD 的中点．求证：AEF △为等边三角形．答案：证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =AD ，B D ∠=∠，又∵BE =D F ∴ABE △≌ADF △ ∴AE =AF (2)连接AC∵AB =BC ，60B ∠=︒ ∴ABC ∆是等边三角形， E 是BC 的中点∴AE ⊥BC ， ∴906030BAE ︒∠=︒-=︒，同理 30DAF ∠=︒∵120BAD ∠=︒ ∴60EAF BAD BAE DAF ∠=∠-∠-∠=︒ 又∵AE =AF∴AEF △是等边三角形．ADBEFCGE ′EF ABDC第12题. （新疆乌鲁木齐市，12分）如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点（E 与A D ，不重合），G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点． （1）证明四边形EGFH 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EF BC ⊥，且12EF BC =，证明平行四边形EGFH 是正方形． 答案：证明：（1）在BEC △中， G F ，分别是BE BC ，的中点GF EC ∴∥且12GF EC =又H 是EC 的中点，12EH EC =， GF EH ∴∥且GF EH = ∴四边形EGFH 是平行四边形（2）证明：G H ，分别是BE EC ，的中点GH BC ∴∥且12GH BC =又EF BC ⊥ ，且12EF BC =，EF GH ∴⊥，且EF GH =∴平行四边形EGFH 是正方形．BGA EFH DC。