七升八暑假衔接学习讲义公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]一、图形的全等1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形.观察右面两组图形，它们是不是全等图形为什么2. 由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A，D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合，它们是对应边；A∠重合，它们是对应角.∠与D△ABC与△DEF全等，我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.全等三角形的对应边，对应角。
全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线；全等三角形的周长，面积。
几何语言：（）∠A= , ∠C= ，∠B= .（）练习：1．如图6，△ABC≌△AEC，∠B=75°, ∠ACB=55°,求出△AEC各内角的度数。
解：A2．如图7，△ABD ≌△EBC ，AB=3 cm ，AC=8 cm ，求DE解： 3.判断：○1全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等.（ ）○2全等三角形的周长相等.（ ） ○3周长相等的两个三角形是全等三角形.（ ） ○4全等三角形的面积相等.（ ）○5面积相等的两个三角形是全等三角形.（ ） 4.填空：如图所示，已知△AOB ≌△COD ，∠C =∠A ,AB =CD ,则另外两组对应边为________________，另外两组对应角为________________。
5.如图3，已知CD ⊥AB 于D ， BE ⊥AC 于E,△ABE ≌△ACD ，∠C=20°,AB=10，AD=4，G 为AB 延长线上的一点，求∠ABE 的度数和简记为"边角边"，符号表示："SAS" 例1. 下列哪组三角形能完全重合（全等）例2.如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，已知AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′，BC ＝B ′C ′．这两个三角形全等吗例3. 在△ABC 和△A ′B ′C ′中（自己画图）(1)⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=C B BC B B B A AB (2) ⎪⎩⎪⎨⎧='∠=∠''=______A A B A ABA BC(图ADB GACDBOA D CB FEAD ∴C B A ABC '''∆≅∆( SAS ) ∴C B A ABC '''∆≅∆( )(3) ⎪⎩⎪⎨⎧''=∠=∠''=C B BC C A AC ____∴C B A ABC '''∆≅∆( ) 练习1：1．根据题目条件，判断下面的三角形是否全等 （1） AC ＝DF ， ∠C ＝∠F ， BC ＝EF ； （2） BC ＝BD ， ∠ABC ＝∠ABD ． 2． 如图2，△AOB 和△COD 全等吗为什么 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 平分∠BAC ，求证：△ABD ≌△ACD ．4. 如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，证明：△ABC ≌△CDA.5.如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，证明：△ABD ≌ACE.6. 如图，已知AB=AC ，AE=AD ，那么图中哪两个三角形全等并进行证明.7.已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(如图)．现有条件能证明△ADC ≌△CBA 吗如果能请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明 练习21.已知：如图，AC=AD ，∠CAB=∠DAB ，求证：△ACB ≌△ADB 2.已知：AD ∥BC ，AD=CB 求证：△ADC ≌△CBA3.已知：AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF求证：△AFD ≌△CEB4.已知：EA=EC ，ED=EB ，A DC B FEA DCBE12求证：△AED ≌△CEB5.已知：AC=DB ，AE=DF ，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，求证：△EAB ≌△FDC6.已知：AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2求证：∠B=∠C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角边角"，符号表示："ASA"例1. 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去 例2.如图，AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，试说明：△ADF ≌△CBE .例3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于与BE 交于F ，若BF ＝AC ，试说明：△ADC ≌△BDF .例4.在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E .试说明：(1)△BDA ≌△AEC ； (2)DE ＝BD ＋CE . 练习：1. 如图，已知AO =DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=___________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“SAS ”，说明△AOB ≌△D OCABoAB CDEF2. 已知：点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 相交于点O ，AB=AC ，∠B=∠C 。
求证： △ABE ≌△ACD3.如图，∠1=∠2，∠3=∠4,求证：AC=AD4. 如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是多少四、三角形的判定定理：角角边定理定理：两个三角形的两组对应角相等且其中一角的对边也相等，那么这两个三角形全等，简记为"角角边"，符号表示："AAS"例1.如图：已知D 、E 分别在AB 、AC 上，AB =AC ，∠BDC =∠CEB ，求证：BE =CD ．例2.如图，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，AE =CF ，∠B =∠D ，AD ∥BC .试证明AD =CB .例3.如图，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，AE EC =，CF AB ∥．求证：AD CF =．例4. 如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C, 求证:△ABD ≌△AED. 练习1：1.如图，AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E 。
求证：Ａ DFCBEAD=AE2．如图，AC和BD交于点E，AB∥CD，BE=DE，求证：AB=CD3．已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF。
判断AD是△ABC的中线还是角平分线请说明理由4．如图，AB=AC，AD=AE，求证：OB=OC5．如图，AE⊥AB，AD⊥AC，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE。
6.已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE求证；AB=AC，AD=AE；练习2：1、如图，△ABC≌△BAD，点A点B，点C和点D是对应点。
如果AB=6厘米，BD=5厘米，AD=4厘米，那么BC的长是（）A．4 厘米 B．5厘米 C．6 厘米 D．无法确定第1题第2题2、如图，△ABN≌△ACM，AB=AC，BN=CM，∠B=50°，∠ANC=120°，则∠MAC的度数等于（）A．120°°°°.3．如图示，AC，BD相交于点O，△AOB≌△COD，∠A=∠C，则其它对应角分别为______________________，对应边分别为_____________________.4.如图示,点B在AE上,∠CBE=∠DBE,要使ΔABC≌ΔABD, 还需添加一个条件是__________.（填上你认为适当的一个条件即可）5.如图：在△ABC中，点D，E在BC上，且AD=AE，BD=CE，∠ADE=∠AED，求证：AB=AC.AD CA B ADBCO第3题EDCBA第4题6.如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。
求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。
五、三角形的判定定理：边边边公理定理：三边对应相等的两个三角形全等。
简称为“边边边”简写为“SSS”例1. 如图，在△ABC和△DCB中，AC和BD相交于点O，AB=DC，AC=BD，求证：OB=OC例2. 如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF 例3. 如图，AB=CD，BE=DF, AF=CE,求证：BE∥DF练习1：1.如图，已知AB=AD，如果要判定△ABC≌△ADC，根据(S、S、S)全等的判定方法，还需要添加的条件是＿＿＿＿＿＿＿。
第1题第2题2. 已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：∠A=∠C。
3. 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．4.△ABC中， AB=AC，求证：∠B=∠C （自己画图）练习2：1．在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( )A．BC=B’C’ B．∠A=∠A’ C．AC=A’C’ D．∠C=∠C’2．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（）A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对3．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（）A．A B＝3，BC＝4，AC＝8； B. AB＝4，BC＝3，∠A＝30°；C.∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4；D.∠C ＝90°，AB ＝64．三角形ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A ＋∠B 还大12°，则这个三角形是＿＿三角形．5．以三条线段3、4、x －5为这组成三角形，则x 的取值为＿＿＿＿．6．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿．7．△ABC 中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠A 的平分线交BC 于点D ，若CD ＝8cm ，则点D 到AB 的距离为＿＿＿＿cm ．8． 已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点, DF 交AC 于点E, DE=FE, FC ∥AB, 求证：AD=CF ．9. 如图，ABC ∆为等边三角形，点,M N 分别在,BC AC 上，且BM CN =，AM 与BN 交于Q 点。