假设检验
单个正态总体参数的检验
检验法
条件
原假设0H 备择假设1H
检验统计量
拒绝域
u 检验 2
σ已知
0μμ≤
0μμ> 0
x u n
μσ-=
1{}u u α-≥
0μμ≥ 0μμ< {}u u α≤ 0μμ= 0μμ≠ 1/2{||}u u α-≥ t 检验 2
σ未知
0μμ≤
0μμ> 0
x t s n
μ-=
1{(1)}t t n α-≥-
0μμ≥ 0μμ< {(1)}t t n α≤- 0μμ= 0μμ≠ 1/2{||(1)}t t n α-≥- 2
χ检验
μ未
知
220σσ≤
220σσ> 2
22
(1)n s
χσ
-=
221{(1)}n αχχ-≥-
220σσ≥
220σσ<
22
{(1)}n αχχ≤-
220σσ= 220σσ≠
2
22
{(1)}
n αχχ≤-
2
221{(1)}n αχχ-≥-U
5 两个正态总体参数的假设检验
设1
x 、2
x 、…、m
x 是来自2
1
1
(,)N μσ的样本，1y 、2
y 、…、
n
y 是来自22
2
(,)N μσ的样本，记2
)1()1(2
22-+-+-=
n m s n s m s
y
x w
.
两个正态总体参数的检验
检验
法
条件
原假设
0H
备择假设
1H
检验统计量 拒绝域
u 检验
21σ、22
σ
已知
12μμ≤
12μμ> 221
2
()
x y u m
n
σ
σ
-=
+
1{}u u α-≥
12μμ≥ 12μμ< {}u u α≤ 12μμ=
12μμ≠ 1/2{||}u u α-≥ t 检验
22
12σσ=12μμ≤
12μμ>
()
11w x y t s m n
-=
+
1{(2)}t t m n α-≥+-
未知
12μμ≥ 12μμ< {(2)}t t m n α≤+- 12μμ=
12μμ≠
1/2{||(2)}t t m n α-≥+- F
检
验 1
μ、
2
μ未知
22
12
σσ≤ 22
12σσ> 22x
y
s F s =
1{(1,1)}F F m n α-≥--
22
12σσ≥ 22
12
σσ< {(1,1)}F F m n α≤--
2212
σσ
=
2212
σσ
≠
2
{(1,1)}
F F m n α≤--
2
1{(1,1)}F F m n α-≥--U
正态总体参数假设检验例子
例1从甲地发送一个讯号到乙地。
设乙地接受到的讯号值服从正态分布
2(,0.2)N μ，其中μ为甲地发送的真实讯号值。
现甲地重复发送同一讯号5次，
8.05 8.15 8.2 8.1 8.25
0.05α=。
分析：（1）单正态总体；
（2）总体方差已知22=0.2σ； （3）参数μ的双边检验问题。
解：依题意建立假设：
0:8H μ=vs 1:8H μ≠
检验水平0.05α=时，拒绝域为：
1/20.975{||}={||}{|| 1.96}u u u u u α-≥≥=≥
用观测值可计算得
8.15x =、0
058)0.2 1.6771x u n
σ=
=-= 从而0||=1.6771<1.96u 值未落入拒绝域内，故不能拒绝原假设，即接受原假设，可认为猜测成立。
例2某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布，其均值设定为240厘米。
239.7 239.6 239 240 239.2
分析：（1）单正态总体； （2）总体方差未知；
（3）参数μ的双边检验问题。
解：依题意建立假设：
0:240H μ=vs 1:240H μ≠
检验水平0.05α=时，拒绝域为：
1/20.975{||(1)}{||(4)}{|| 2.776)}t t n t t t α-≥-=≥=≥
由样本计算得到：
239.5x =、0.4s = 故005(239.5240)
2.7951x t s
n
-=
=
=-
由于0||=t 2.7951 2.776>，故拒绝原假设，即认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求。
例3某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，为此，从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其镍合金 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34 铜合金 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61 断镍合金的硬度是否有明显提高。
分析：（1）双正态总体；
（2）总体方差未知，但是2212σσ=；
（3）参数12,μμ比较的单边检验问题。
解：用X 表示镍合金的硬度，Y 表示铜合金的硬度，
依题意有21~(,)X N μσ、22~(,)Y N μσ，建立假设：
012:H μμ≤vs 112
:H μμ>
检验统计量11w x y
t s m n
=
⋅+
检验水平0.05α=时，拒绝域为：
10.95{(2)}={(892)}={ 1.7531}t t m n t t t α-≥+-≥+-≥
经计算得：
73.39x =、68.2756y =、82
1
()205.7958i i x x =-=∑、9
21
()91.1552i i y y =-=∑
从而1
(205.795891.1552) 4.4494892
w s =
+=+-
0 2.365611
4.449498
t =
=⋅+
由于00.952.3656(15)=1.7531t t =>
故拒绝原假设，可判断镍合金硬度有显著提高。
例4某类钢板每块的重量X 服从正态分布，其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过20.016()kg 。
现从某天生产的钢板中随机抽取25块，得其样本方差220.025()s kg =，问该天生产的钢板重量的方差是否满足要求。
分析：（1）单正态总体； （2）总体均值未知；
（3）参数2σ的单边检验问题。
解：依题意建立假设：
20:0.016H σ≤vs 21:0.016H σ>，
检验水平0.05α=时，拒绝域为：
222210.95{(1)}={(24)}={36.415}n t αχχχχ-≥-≥≥
计算可得：
2
20
20
(1)240.025
37.536.4150.016
n s χσ-⨯=
=
=>
由此，在显著性水平0.05下，我们拒绝原假设，认为该天生产的钢板重量不符合要求。
例5甲、乙两台机床加工某种零件，零件的直径服从正态分布，总体方差反映了加工精度，为比较两台机床的加工精度有无差别，现从各自加工的零件X (机床甲) 16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8
Y (机床乙) 15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0 分析：（1）双正态总体；
（2）总体均值12,μμ均未知； （3）参数21σ，2
2σ比较的双边检验问题。
解：依题意建立假设：
22012:H σσ=vs 22
112:H σσ≠，
检验水平0.05α=时，拒绝域为：
12
2
{(1,1)}{(1,1)}F F m n F F m n αα-≥--≤--U
0.9750.025{(71,81)}{(71,81)}
F F F F =≥--≤--U
{ 5.12}{0.175}F F =≥≤U
经计算得20.2729x s =、20.2164y s =
于是2020.2729
1.2610.2164
x y s F s ===
样本未落入拒绝域，即在0.05水平下可以认为两台机床的加工精度一致。