二次函数图像及性质【二次函数的定义】一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数，其中x 为自变量，y 为因变量，a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．【二次函数的图象】 1．二次函数图象与系数的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小；a 越小，抛物线开口越大．温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数，则形状相同、开口相反．（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2bx a=-）当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时，对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3.点的坐标设法⑴ 一次函数y ax b =+（0a ≠）图像上的任意点可设为()11x ax b +，.其中10x =时，该点为直线与y 轴交点.⑵ 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图像上的任意一点可设为()2111x ax bx c ++，.10x =时，该点为抛物线与y 轴交点，当12bx a=-时，该点为抛物线顶点． ⑶ 点()11x y ，关于()22x x ，的对称点为()212122x x y y --，． 4.二次函数的图象信息⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴判断2ba-的大小．⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性． ⑸ 根据抛物线所经过的已知坐标的点，可得到关于a b c ，，的等式．⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位【二次函数的图象及性质】1． 二次函数2y ax =0a ≠（）的性质：⑴抛物线2y ax =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x =（y 轴）． ⑵函数2y ax =的图像与a 的符号关系．①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点；2．二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质3． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质⑴开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下 ⑵对称轴：2bx a =-（或x h =）⑶顶点坐标：24(,)24b ac b a a--（或(,)h k ）⑷最值：0a >时有最小值44ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值44ac b a-（或k ）（如图2）； ⑸单调性(单调性的概念无需掌握)：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2bx a<- ，y 随x 的增大而增大；②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2bx a<-，y 随x 的增大而减小； ⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=） 成立的x 值．例题精讲一、二次函数的概念【例1】 （1）已知函数2y ax bx c =++⑴当a ，b ，c 是怎样的数时，它是一次函数？ ⑵当a ，b ，c 是怎样的数时，它是正比例函数？ ⑶当a ，b ，c 是怎样的数时，它是二次函数？（2）如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m是二次函数，那么m 的值为 。

二、二次函数的图象及性质1、画出函数2288y x x =-+-的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．2、画出函数23(2)1y x =+-的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例2】 已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限【例3】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，在第 象限.【例4】 函数1y ax =+与()210y ax bx a =++≠的图象可能是( )【例5】 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可．能．是（ ）【例6】 在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）A OxyB OxyC OxyDOxy【例7】 下左图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数by ax c=-的图象不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例8】 已知，如图所示为二次函数2y ax bx c =++的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【例9】 已知二次函数2y ax bx c =++的与x 的部分对应值如下表：x … 1- 0 1 3 … y … 3- 1 3 1 …A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y 轴交于负半轴C. 当4x =时，0y >D. 方程20ax bx c ++=的正根在3与4之间【例10】 若二次函数222y ax bx a =++-（a ，b 为常数）的图象如右图，则a 的值为（ ）A. 2-B. 2-C. 1D. 2DC B A xyO xyO xyO O yxO yx O yxyxO【例11】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【例12】 二次函数2y ax bx c =++的图象如下左图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c-+的符号【例13】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤【例14】 已知二次函数2()0y ax bxc a =++≠的图象如图所示，则下列结论0ac >①； ②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大； ④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例15】 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b +>；③0a b c -+<；④0a c +>，其中正确结论的个数为（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【例16】 如下右图所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点()12-，，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1b <-；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【例17】 二次函数23(2)my m x -=-在其图象对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____．【例18】 二次函数252(1)m m y m x --=-在其图象对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小，则m 的值为_____． 【例19】 已知点()15A x ，，()25B x ，是函数223y x x =-+上两点，则当12x x x =+时，函数值y = .【例20】 已知22934y x x =++，当x 取不同的值1x ，2x 时函数值相等，则当12x x x =+时的值（ ）A.与1x =的函数相等．B.与0x =的函数相等．C.与4x =的函数相等． D.与4x =-的函数相等． 【例21】 若二次函数22m y mx -=有最大值，则m =________．【例22】 若二次函数21my mx +=有最小值，则m =________．【例23】 二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是 （ ）A ．（-1，-2）B ．（1，-2）C ．（-1，2）D ．（1，2）【例24】 抛物线()()213y x x =+-的顶点坐标是（ ）．A ．()1,3--B ．()1,3C ．()1,8-D ．()1,8-【例25】 已知1a <-，点(1a -，1)y ，(a ，2)y ，(1a +，3)y 都在函数2y x =的图象上，则（ ）A. 123y y y <<B. 132y y y <<C. 321y y y <<D. 213y y y <<【例26】 已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()()()123257A B C ，，，，，．若点()12M y -，，()21N y -，，()38K y ，也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ）．A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<【例27】 若1134A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，254B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，314C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<【例28】 已知二次函数()2110y a x b =-++和()2250y b x a =--+分别有最大值、最小值，则这两个二次函数的图像有 个交点． 【例29】 已知抛物线()20y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点()()1212y y -，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y ____2y （填“>”，“<”或“=”）【例30】 已知二次函数()()2223y m x mx m =-+--的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________． 【例31】 设抛物线为21y x kx k =-+-，根据下列各条件，求k 的值．⑴ 抛物线的顶点在x 轴上； ⑵ 抛物线的顶点在y 轴上； ⑶ 抛物线经过点(1,2)--； ⑷ 抛物线经过原点；⑸ 当1x =-时，y 有最小值； ⑹ y 的最小值为1-．【例32】 已知点()5A a b +-，与点()13B a b -，关于原点对称，求函数2y x ax b =++的顶点坐标．【例33】 设23y x ax a =++-， 当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；【例34】 设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别是12,x x ，且直线与x 轴的交点的横坐标为3x ，求证：123111x x x +=．。