2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是A -3+2iB 3+2iC -2 + 3iD 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈ B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D 3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为 A.25π B.43 C.32 D.2π由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.3π C. 103πD.6π 此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=aA.0B.1C.11D.12()()20122012020121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a C C C C a L ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D6.设,,,,,a b c x y z 是正数，且222222++=10,++=40,++=20a b c x y z ax by cz ，则++=++a b cx y zA. 14B. 13C.12D.34由柯西不等式知()()()2222222++++++=400a b c x y z ax by cz ≥，而此时()()222222++++=400a b c x y z 恰好满足取等条件==a b c x y z ，令===,=,=,=a b c k a kx b yk c zk x y z代入到222++=10a b c 中得()2222211++=10,=,>0=42k x y z k k k ∴∴，所以由合比定理得++1=====++2a b c a b c k x y z x y z ，故选C 7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。

现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①()2=f x x ；②()=2x f x ；③()f x ()=ln f x x 。

则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为A.①②B.③④C.①③D.②④令等比数列{}n a 的公比为q ，①()2=f x x ，()()22+12+1+12===n n n n n n f a a a q f a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是等比数列；②()=2x f x ，()()+1+1-+12==22n n nn a a a n a n f a f a 不一定是 常数，不一定是等比数列；③()f x ，()()+1n n f a f a 是等比数列；④()=ln f x x ，举个特例，令()=2,=ln 2=ln 2=ln 2n n n n n a f a n 是等差数列不是等比数列，从而选C8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。

在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. 21-πB.11-2π C. 2π D.1π设大圆的半径为2，则小圆半径为1，扇形面积为21=2=4S ππ⨯扇，而阴影部分的面积为111-2-2-+2-=-224242πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率-22==1-P πππ，故选A 9.函数()2=cos f x x x 在区间[0,4]上的零点个数为A.4B.5C.6D.7当=0x 时，()0=0f ，当20<4,0<16x x ≤≤，而使余弦为零的角的弧度数为+,2k k Z ππ∈，令+162k ππ≤则=0,=1,=2,=3,=4k k k k k 时对应角分别为3579,,,,22222πππππ均满足条件，当=5k 时，11>162π不满足条件，综上零点个数为6个，故选C10.我国古代数学名着《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈人们还用过一些类似的近似公式。

根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是 A. 3169d V ≈32d V ≈ 3300157d V ≈ 32111d V ≈ 由球的体积公式34=3V R π得334V R π3336=24V V d ππD 二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。

请将答案填在答题卡对应题号的位置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题（11-14题）11.设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c.若()()+-++=a b c a b c ab ，则角C=______________。

由 ()()+-++=a b c a b c ab 得()22222+-=+-=-a b c ab a b c ab ⇒，所以222+-1cos ==-22a b c C ab ，=120C ︒12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.=1,=1n s ；=2,=4n s ，当=3n 时，输出=9s13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。

如22，,11,3443,94249等。

显然2位回文数有9个：11,22,33…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999。

则（Ⅰ）4位回文数有______个；（Ⅱ）2n ＋1（n ∈N+）位回文数有______个。

4位回文数有1001,1111,1221,1331，…，1991,2002,2112,2222,2332，…， 2992，,9009,9119，…，9999共90个 2n ＋1（n ∈N+）位回文数有9101010⨯⨯⨯⨯L，共有n 个10，所以为910n g个 14.如图，双曲线()2222-=1>>0x y a b a b的两顶点为12,A A ，虚轴两端点为12,B B ，两焦点为12,F F 。

若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D 。

则（1）双曲线的离心率e=______； （2）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12=S S __________。

（1）由已知()()()22222222222224224+=+-=2--3+=0bc b c b c a b c c a c a c a c a c a ⇒⇒⇒42-3+1=0e e ，解得255+1==22e e ⇒ （2）由已知得1=2S bc ，又直线22B F 的方程为()=--b y x c c ，而直线OA 的方程为=cy x b联立解得 222222=+=+b c x b c bc y b c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以2222222=4++b c bc S b c b c，()()()()()22222222122222222222222+2-2-125+2====22-2-14++b c c a e S bc b c bc S b c c a c e e b c b c（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。

） 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB=4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为_____________。

设圆的半径为r ，由已知=OC r ，又22=-OD DC DC r OD ⊥∴OD 最小时，CD 有最大值，而OD 取最小值时，OD AB ⊥，此时22221=-=-44OD r AB r ，所以CD有最大值216.（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线=4πθ与曲线()2=+1=-1x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数）相较于A ，B 来两点，则线段AB 的中点的直角坐标为_________。

射线=4πθ的直角坐标方程为()=0y x x ≥，曲线()2=+1=-1x t y t ⎧⎪⎨⎪⎩的直角坐标方程为()2=-2y x 联立方程解得=1=4,=1=4x x y y ⎧⎧⎨⎨⎩⎩，所以线段AB 的中点的直角坐标为55,22⎛⎫⎪⎝⎭ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分） 已知向量()()=cos -sin ,sin ,=-cos -sin a x x x b x x xωωωωωωr r，设函数()()=+f x a b x R λ∈r r g 的图像关于直线x=π对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若y=f （x ）的图像经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围。

（1）函数()()=+f x a b x R λ∈r rg 的图像关于直线x=π对称，所以12-=+,=+,6223k k k Z k z ππωππω⨯∈∴∈ 又15,1,=26ωω⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()5=2sin -+36f x x πλ⎛⎫⎪⎝⎭的周期为26=553ππ （2）若y=f （x ）的图像经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则有52sin -+=0346ππλλ⎛⎫⨯∴ ⎪⎝⎭，所以()5=2sin -36f x x π⎛⎫⎪⎝⎭[]35550,,--,,2sin --1,25366636x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为⎡⎣18.（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 前三项的和为-3，前三项的积为8.（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若231,,a a a 成等比数列，求数列{}na 的前n 项的和。