河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的． 1．设集合A ＝{x |x 2-4x +3≤0}，B ＝{x ∈Z |1＜x ＜5}，则A ∩B ＝ A ．{2} B ．{3} C ．{2，3} D ．{1，2，3} 2．若复数z ＝1-i ，则||1zz=-A ．1BC ．D ．43．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为 A ．19 B ．38 C ．55 D ．654．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和在该数列的前2020项中，偶数的个数为 A ．505 B ．673 C ．674 D ．10105．已知非零向量a ，b 满足||||a b =，且|||2|a b a b +=-，则a 与b 的夹角为A ．2π3B ．π2C ．π3D ．π66．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为A ．12011()20-B ．12111()20-C ．12011()21-D ．12111()21-7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G ＝a e bx 来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110 cm ，体重为17.5 kg ，预测当他体重为35 kg 时，身高约为(ln 2≈0.69) A ．155 cm B ．150 cm C ．145 cm D ．135 cm8．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为A B C ．1 D ．5 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．已知π3cos()55α+=，则3sin(2π)5α-=A ．2425-B ．1225-C ．1225D ．242510．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 抛物线C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列说法一定正确的是A ．|AB |的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝-1相切C ．x 1x 2为定值D ．若M (-1，0)，则∠AMF ＝∠BMF11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x ＝1对称，则 A ．f (x +4)＝f (x ) B ．f (x )在区间(-2，0)上单调递增C ．f (x )有最大值D ．π()sin2xf x =是满足条件的一个函数 12．若存在实数t ，对任意的x ∈(0，s ]，不等式(2x -x 2-t )(1-t -x )≤0恒成立，则s 的值可以为 A ．51- B ．51+ C ．35- D ．35+ 三、填空题13．已知F 1，F 2为双曲线2214y x -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|则△PF 1F 2的面积为_________．14．已知实数a ，(2,)b ∈+∞，且满足2211lnba b a->，则a ，b ，ab 的大小关系是_________． 15．数学多选题有A ，B ，C ，D 四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分．已知某道数学多选题正确答案为B ，D ，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为_________． 16．在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥AB ，PA ＝4，AB ＝3，二面角P -AB -C 的大小为30°，在侧面△PAB 内（含边界）有一动点M ，满足M 到PA 的距离与M 到平面ABC 的距离相等，则M 的轨迹的长度为_________．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①对任意n ＞1，满足S n +1+S n -1＝2(S n +1)，②S n +1-2＝S n +a n ③S n ＝na n +1-n (n +1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．问题：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，___________，若数列{a n }是等差数列，求数列{a n }的通项公式；若数列{a n }不一定是等差数列，说明理由． （注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分） 18．振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每制造电子产品的件数 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]工人数1311x41试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x 的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X ～N (70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ-σ＜x ≤μ+σ)≈0.68，P (μ-2σ＜x ≤μ+2σ)≈0.96．19．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，OB ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADBπ3ABC ∠=，AB ＝3BC ＝3．（1）求sin ∠DAC ；（2）若2π3ADC ∠=，求四边形ABCD 的面积． 20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA ＝PC ＝AC ．（1）证明：AC ⊥PB ．（2）若PB 与底面所成的角为45°，求二面角B -PC -A 的余弦值． 21．知椭圆C 的焦点在x 轴上，并且经过点(0，1)3． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）动直线l 与圆O ：x 2+y 2＝1相切于点M ，与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为D ，求△OMD 面积的最大值，并求此时点D 的坐标． 22．已知函数1()ln e x xf x x x -=- （1）求函数y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程 （2）证明：（ⅰ）f (x )＜2；（ⅱ）意n ∈N *，e n -1＜(2n -ln n )n ．参考答案及解析河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试·数学一、选择题1．C 【解析】因为A ＝{x |x 2-4x +3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{2，3，4}，所以A ∩B ＝{2，3}．2．B 【解析】由z ＝1-i ，得1i1i 1i z z -==---，则|1i |21z z =--=- 3．D 【解析】至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，所以不同选派方案种数为24333636C C C C 65+=． 4．B 【解析】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第3k (k ∈N *)项为偶数，所以前2020项中偶数的个数为673．5．C 【解析】设a 与b 的夹角为θ，由|||2|a b a b +=-得212a b a ⋅=，所以1cos 2||||a b a b θ⋅==，所以π3θ=． 6．A 【解析】若合并检测，检测次数取值为1，21，对应的概率分别为(1-p )20，1-(1-p )20，数学期望为1×(1-p )20+21[1-(1-p )20]，由20＝1×(1-p )20+21[1-(1-p )20]，解得1201120p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．7．C 【解析】将x ＝110，G ＝17.5代入G ＝2.004e 0.0197x 得17.5＝2.004e 0.0197×110 ①，将G＝35代入G ＝2.004e 0.0197x ，得35＝2.004e 0.0197x ②．由②÷①得2＝e 0.0197x -0.0197×110，即0.0197(x -110)＝ln 2，解得x ≈145．8．B 【解析】如图，取DD 1的中点为M ′，易知AM ′∥BM ．点P 为AD 的中点，则在正方形AA 1D 1D 中，A 1P ⊥AM ′，即A 1P ⊥BM ．所以，点N 的轨迹为线段A 1P ．易知△ABN 为直角三角形，当NA ⊥A 1P 时，NA 取最小值为255，此时△ABN 面积最小，最小值为255．二、选择题9．AD 【解析】32ππsin 2πsin 2π2sin cos 5555αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为πcos 5α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 35=，所以4sin 55πα⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以324sin 2π525α⎛⎫-=± ⎪⎝⎭．10．BCD 【解析】抛物线C ：y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x ＝-1，过焦点的弦中通径最短，所以|AB |最小值为2p ＝4，故A 不正确；如图，设线段AB 中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，D 1，由抛物线定义可知|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，所以11111||(||||)||22DD AA BB AB =+=，所以以线段AB 为直径的圆与直线x ＝-1相切，故B正确；设AB 所在直线的方程为x ＝ny +1，由21,4,x ny y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得y 2-4ny -4＝0，所以y 1y 2＝-4，21212()116y y x x ==，故C 正确；又y 1+y 2＝4n ，121211AM BM y y k k x x +=+=++12211211((1)(1))()y x y x x x +++=++1221121212122222()0(1)(1)()(()1)(1)y ny y ny ny y y y x x x x +++++==++++，故D 正确．11．AD 【解析】由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (x )＝-f (-x )，图象关于直线x ＝1对称可得f (-x )＝f (2+x )，所以f (2+x )＝-f (x )，f (4+x )＝-f (2+x )＝f (x )，故A 正确；无法判断单调性，故B ，C 错误；π()sin2xf x =是奇函数，且f (2-x )＝f (x )，故D 正确．12．ABC 【解析】不等式(2x -x 2-t )(1-t -x )≤0可化为[(1-t )-(x -1)2][(1-t )-x ]≤0，问题转化为：存在实数t ，使得在区间(0，s ]上，函数y ＝(x -1)2与函数y ＝x 的图象恒在直线y ＝1-t 的两侧，如图画出函数y ＝(x -1)2与函数y ＝x 的图象，由2(,,1)y x y x =⎧⎨=-⎩得35x -或35x +=（舍去），从而得35511t --==线的对称性知y ＝1-t 与y ＝(x -1)251+51⎛+ ⎝⎦上，函数y ＝(x -1)2与函数y ＝x 的图象恒在直线y ＝1-t 的两侧，所以实数s 的取值范围为51⎛+ ⎝⎦．即选项ABC 符合题意． 三、填空题13．4 【解析】由题意得|PF 1|＝2|PF 2|，又|PF 1|-|PF 2|＝2，所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2．又12||F F = 5|PF 1|2+|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以12π2F PF ∠=，所以12121||||42PF F S PF PF =⋅⋅=△． 14．a ab b 【解析】由2211ln b a b a ->，得2211ln ln a b a b +>+．设21()ln f x x x =+，则233122()x f x x x x -'=-=，当(2,)x ∈+∞时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(2,)+∞上单调递增，故a ＞b ，所以a ab b >>．15．15 【解析】随机地填涂了至少一个选项共有12344444C C C C 15+++=种涂法，得分的涂法为3种，故他能得分的概率为15．1665【解析】如图，过M 作MN ⊥AP 于N ，MO ⊥平面ABC 于O ，过O 作OQ ⊥AB 于Q ，连接MQ ，则∠MQO 为二面角P -AB -C 的平面角，由∠MQO ＝30°得MQ ＝2MO ．又MO ＝MN ，所以MQ ＝2MN ，在△PAB 中，以AB 所在直线为x 轴，AP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则直线AM 的方程为y ＝2x ，直线PB 的方程为4x +3y -12＝0，所以直线AM 与PB 的交点坐标为612,55R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以M 的轨迹为线段AR ，226126555⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四、解答题17．解：选择条件①： 因为对任意n ＞1，n ∈N *，满足S n +1+S n -1＝2(S n +1)， 所以S n +1-S n ＝S n -S n -1+2， 所以a n +1-a n ＝2． 因为无法确定a 1的值， 所以a 2-a 1不一定等于2． 所以数列{a n }不一定是等差数列． 选择条件②： 由S n +1-2＝S n +a n ，得S n +1-S n -a n ＝2， 即a n +1-a n ＝2，n ∈N *． 又因为a 2＝4，所以a 1＝2． 所以数列{a n }是等差数列，其公差为2． 因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ． 选择条件③： 因为S n ＝na n +1-n (n +1)， 所以S n -1＝(n -1)a n -n (n -1)(n ≥2)， 两式相减得a n ＝na n +1-(n -1)a n -2n (n ≥2)， 即a n +1-a n ＝2(n ≥2)． 又S 1＝a 2-2，即a 2-a 1＝2， 所以a n +1-a n ＝2，n ∈N *， 又a 2＝4，a 2-a 1＝2，所以a 1＝2， 所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以a n ＝2+2(n -1)＝2n ． 18．解：（1）由题意，当x ＝0时计算其他数据的平均数为1(45155765118530⨯⨯+⨯+⨯+ 9952)70⨯+⨯=，故原平均数应满足210075717230xx+≤<+，解得7.5≤x ＜20，x ∈Z ， 所以件数在[70，80)的人数的取值范围为8≤x ＜20，x ∈Z ．（2）因为件数X ～N (70，102)， 所以1(50)(10.96)0.022P X ≤≈-⨯=， 所以估计1500人中每天制造产品件数小于等于50的人数为0.02×1500＝30． 19．解：（1）在△ABC 中，π3ABC ∠=，AB ＝3，BC ＝1，由余弦定理得2222AC AB BC AB =+- 221cos 3123172BC ABC ⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=， 所以7AC 由正弦定理得sin BC BAC=∠ sin ACABC ∠， 3sin 212sin 7BC ABC BAC AC ⋅∠∠==在△AOB 中，由正弦定理得sin sin OB OABAC ABD=∠∠， 即OB ·sin ∠ABD ＝OA ·sin ∠BAC ， 同理，在△AOD 中，OD ·sin ∠ADB ＝OA ·sin ∠DAC ． 又因为OB ·sin ∠ABD ＝OD ·sin ∠ADB ， 所以OA ·sin ∠BAC ＝OA ·sin ∠DAC ． 所以21sin sin 14DAC BAC ∠=∠= （2）在△ADC 中，由正弦定理得sin sin CD ACDAC ADC =∠∠， 7213=所以CD ＝1． 又由余弦定理得222cos 2AD CD AC ADC AD CD +-∠=⋅， 即211722AD AD+--=，解得AD ＝2．111sin sin222ADC ABCABCDS S S AD AC DAC AB AC BAC AC =+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯∠=⨯△△四边形53sin()DAC AD AB∠⨯+=．20．（1）证明：连接BD交AC于O，因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为PA＝PC，O为AC的中点，所以AC⊥PO．又BD∩PO＝O，BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD．又PB⊂平面PBD，所以AC⊥PB．（2）解：因为PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC．又平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD＝AC，PO ⊂平面PAC，所以PO⊥底面ABCD，所以OB，OC，OP两两垂直．以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，PB与底面所成的角即为∠PBO＝45°，所以OB＝OP．设3OP OC＝1，3OB所以(3,0,0)B ，C(0，1，0)，3)P，A(0，-1，0)，(3,0,3)BP=-，(3,1,0)BC=-．设平面BPC的一个法向量为(,,)n x y z=，则0,0,n BPn BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即330,30,x zx y⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令x＝1，得(1,3,1)n=，又平面APC的一个法向量为(3,0,0)m OB==，所以35cos,||||53m nm nm n⋅〈〉===⨯．又因为二面角B-PC-A为锐角，所以二面角B-PC-A5．21．解：（1）设椭圆C的标准方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意得，b＝1，3ca=．因为a2＝b2+c2，所以a＝2，3c=所以椭圆C的标准方程为2214xy+=．（2）设动直线l的方程为x＝my+n(m≠0)．由直线l与圆O211m=+，即n2＝m2+1．由22,1,4x my nxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m2+4)y2+2mny+n2-4＝0，其中Δ＝4m2n2-4(m2+4)(n2-4)＝16(m2+4-n2)＝48＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，则12224mny ym-+=+，从而y=24mn m -+，0244n x m =+． 所以11||||||22OMD S OM MD MD ==△12==23||24m m =⋅+ 3142||||m m =⋅+． 因为4||4||m m +≥，所以38OMD S ≤△． 当|m |＝2时，上式等号成立，此时||n = 故△OMD 的面积最大值为38，此时D点的坐标为⎝⎭或⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭． 22．（1）解：f (x )的定义域为(0，+∞)， 11()ln 1ex xf x x --'=--，f ′(1)＝-1，f (1)＝1， 所以f (x )在x ＝1处的切线方程为y -1＝-(x -1)，即x +y -2＝0． （2）证明：（ⅰ）f (x )＜2可化为12ln e x xx x -<+． 设1()e x xh x -=，则11()e x xh x --'=， 当x∈(0，1)时，h ′(x )＞0，h (x )在区间(0，1)上单调递增， 当x ∈(1，+∞)时，h ′(x )＜0，h (x )在区间(1，+∞)上单调递减， 故h (x )max ＝h (1)＝1． 设g (x )＝x ln x +2，则g ′(x )＝ln x +1， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，g ′(x )＜0，g (x )在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，g ′(x )＞0，g (x )在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故min 11()2e e g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 因为112e <-，所以12e x x -<+ln x x ，所以f (x )＜2．（ⅱ）由f (x )＜2，得1ln 2e x x x x --<， 令1x n=，n ∈N *，得1111ln 2enn nn -+<， 即111e n-ln 2n n +<， 所以1e 2ln n nn n -<-． 所以2n -ln n ＞0， 所以e n -1＜(2n -ln n )n ．。