ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征根λmax和其对应的经
归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ W max
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作 为对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
2009.11
方根法
m
bn aibni i 1
2009.11
（4）评价层次总排序计 算结果的一致性
设：CI为层次总排序一致性指标： RI为层次总排序随机一致性指标。
其计算公式为：CI m aiCIi i 1
CIi为Ai相应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 m RI ai RIi i 1
RIi为Ai相对应的B层次中判断矩阵随机一致性指标 并取 CR CI
在单层次判断矩阵A中，当
aij
aik a jk
时，称判断矩阵为一致性矩阵。
进行一致性检验的步骤如下：
（a）计算一致性指标C.I.：C.I. max n ，式中n为判断矩阵阶数。
n 1 （b）计算平均随机一致性指标R.I.
R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的 ，下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：
max 4
d3 W23
d4 w24
d5 w25
C.R.=0
C1
C2
C3
d1 d2 d3 d4 d5
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（3）计算各元素的总权重
准则 权重 方案 d1 d2 d3 d4 d5
C1
0.105
0.491 0.232 0.092 0.136 0.046
C2
0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.265
M
An
A1
A2
……
An
a11
a12
……
a1n
a21
a22
……
a2n
M
M
M
M
an1
an2
……
ann
标度（aij）的含义：Ai比Aj 时由决策者回答下列问题所得
1
表示两个元素相比，具有同样重要性
3
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要
5
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要
7
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要
科学评估有三要素：评估者、评估指标
体系和评估方法。实际上队员选拔问题也应
该按照这三个准则进行：一是确定科学的确
定评估者（教练组），二是要建立一套合理
的评价指标体系，三是选用 科学有效的评估方法进 行。
Oh, My God！
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二．模拟算例
基于本届奥运会的教训和实际情况，我们通过 一个模拟的算例，来看如何运用此方法进行队员选 拔。确定本届奥运会1-2名留队的副攻队员。 ➢ 评估对象：我们选择四位现役国家队副攻队员，薛 明、赵蕊蕊、徐云丽、马蕴雯。 ➢ 模拟评估小组――研究生球迷小组。 ➢ 评价指标――讨论提出下列四个指 ➢ 标：身体条件、大赛经验 力、训练水平、场上作风。 具体评价模型和评价过程如下：
似的比值aij aij～wi/wj
得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A. A～A
精确判断矩阵A 的最大特征值的向量 W= (w1, w2, …,wn) T
是完全精确的权重向量 近似判断矩阵A最大特征值的向量
W= (w1, w2, …,wn) T 可以作为近似的权重向量
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（3）计算步骤
•iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
C3-D d1
d2
d3
d4
d1
1
1
3
3
d2
1
1
3
3
d3 1/3 1/3 1
1
d4 1/3 1/3 1
1
W=(0.055,0.564,0.118,0.265)
max 4.117
C.I=0.039
C1
C2
C3
C.R.=0.042<0.1
d1 d2 w21 W22
W=(0.406,0.406,0.094,0.094)
0.105 W 0.637
0.258
max
n i1
( AW )i nWi
0.318 1.196 0.785 3.307 30.105 3 0.637 3 0.258
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•问题
AHP方法计算原理
为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量
W (w1, w2 ,...wn )T
可以作为评价单元A1, A2, …,An的权重向量？
维数 1 R.I. 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
（c）计算一致性比例C.R.： C.R.＝ C.I./ R.I. 当C.R.<0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
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1.构造各因素之间的层次结构模 型
目标层A
上场队员
指标层B 身体条件B1
大赛经验B2
训练水平B3
场上作风B4
方案层C 徐云丽C1
赵蕊蕊C2
薛明C3
马蕴雯C4
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2.构造第二层相对于第一层的判断矩阵
下面是某位排球专家给各层次上对象的打分情况 ：
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五．问题提出
中国女排在2007年一系列热身赛中成绩不 佳，透露出这么一个重要信息：我们应该怎 样科学地选拔上场队员。
是否应该认真的反 思一下历年来选拔队员 的程序和方法，它们是 否是在科学原则的指导 下进行的。
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一．问题提出
选择上场队员应该有一套科学的方法， 不即然使再出一个郎平， 也不一定能够再登世界 之巅。
RI
当 CR 0.10 ，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。
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4、应用案例
某厂有一笔企业留成利润要决定如何使 用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖 金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆 ；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳 动积极性、提高职工技术文化水平、改善职 工物质文化生活三方面，据此构造各因素之 间相互联结的层次结构模型如下图所示。
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AHP方法计算原理
满足
AW
w1
w2
w1 w1
wn w1
w1 w2
w1 wn
w2 wn
wn
wn
w1 w2 wn
n
w1 w2 wn
AW nW
W是 A 的最大特征值的向量
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AHP方法计算原理
实际评价时，并不知道这权重向量 比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近
•定性判断
定量表示（通过标量）
•通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重
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2、基本模型—单层次模型 （3）计算步骤
i. 构造两两比较判断矩阵 ii. 计算单一准则下元素的相对重要性（层
次单排序） iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
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（3）计算步骤
i. 判断矩阵
CK A1 A2
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一．问题提出
中国女排在2004年雅典奥运会获得金 牌后，在备战北京奥运会时仍然沿袭了 雅典奥运会的原班人马，结果由于多名 队员受伤，在占尽天时，地理人和之时 成绩却不尽人意。无论是教练还是对原 对此成绩均不满意。赛后主教练陈忠和 泪洒赛场。
陈忠和泪洒赛场视频
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一．问题提出
C3
0.258
0.406 0.406 0.094 0.094 0
总权重
0．157 0．164 0．393 0．113 0．172
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（4）结论
发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新 设备
W=(0.157, 0.164, 0.393, 0.113, 0.172) C.I.=0.028 R.I.=0.923 CR=0.03<0.10 计算结果表明，对于合理使用企业留成利润 来说，办技校是首选的方案。
9
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要
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（3）计算步骤
判断矩阵中的元素具有下述性质
(i)aij 0
(ii)aij
1 a ji
(iii)aii 1
例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5 这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这
是AHP的特点之一。
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（3）计算步骤
……
…… ……
方案层
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方案1
方案2
……
方案n
（3）计算各元素的总权重
权重 层次 B
B1
B2
层次 A
A1
A2
a1
a2
b11
b12
b21
b22
…… Am …… am
…… b1m
…… b2m
Bn
bn1
bn2
…… bnm
B 层次元素组合权重
m
b1 aib1i i 1 m
b2 aib2i i 1
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3、多层次分析法基本步骤
1 建立递阶层次结构 2 计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型） 3 计算各层次上元素的组合权重（层次总排序） 4 评价层次总排序计算结果的一致性
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（1）递阶层次 结构
目标层
决策目标