2u
x j , tk1
2u
xj ,tk
u
x j1, tk
2u
xj ,tk
u x j1,tk
x2
x2
h2
-7-
一维热传导方程的差分格式
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1
u
x j1, tk1
h2 4
xj ,tk
h2
12 x4
h2 4
x j , tk1
u xj ,tk1/2 t
2u a
x j , tk1/2 x2
f
x j , tk1/2 ,
1 j M 1,
0 k N 1. (2.17)
将 u xj ,tk1 , u xj ,tk 以 xj ,tk1/2 为中心关于 t 运用泰勒级数展开, 有
u
x j , tk1
(1.3)
的有限差分方法, 其中 a 为正常数, f (x, t), (x), (t), (t) 为已知常数, (c) (0),
(d) (0). 称(1.2)为初值条件, (1.3)为边值条件.
本文将给出(1.1) (1.3)的向前 Euler 格式, 向后 Euler 格式和 Crank Nicolson 格 式, 并给出其截断误差和数值例子. 经对比发现, Crank Nicolson 格式误差最小, 向前 Euler 格式次之, 向后 Euler 格式误差最大.
h3 u(4)
xj ,tk 4!
h4 o(h4).
由上述两式得
u xj1,tk
2u xj ,tk
u x j1, tk
2u =
xj ,tk
h2 4
xj ,tk
o(h2 ).
(2.19)
h2
x2
12 x4
同理, 将 u xj1,tk1 , u xj1,tk1 分别以 x j , tk1 为中心关于 x 泰勒级数展开, 整理得
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
(h） u
xj ,tk h2 u(xj ,tk（) -h）3
2!
3!
u(4)
xj ,tk
h4
o(h4 ) ,
4!
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u h
xj ,tk 2!
h2 u
xj ,tk 3!
2 差分格式的建立
2.1 向前 Euler 格式
将区间[c, d ] 作 M 等分, 将0,T 作 N 等分, 并记 h (d c) / M , T / N ,
x j c jh , 0 j M , tk k , 0 k N . 分别称 h 和 为空间步长和时间步长.用
两组平行直线
.
在结点 xj ,tk 处考虑方程(1.1),有
-3-
一维热传导方程的差分格式
u xj ,tk t
a
2u
xj x2
,
tk
f
xj ,tk ,
1 j M 1, 1 k N 1. (2.1)
将 u xj ,tk1 以结点 xj ,tk 为中心关于 t 运用泰勒级数展开, 有
o h2
.
12 x4
结合(2.21),(2.22)两式, 整理得
(2.22)
2u xj ,tk1/2
x2
u
x j1, tk
2u xj ,tk 2h2
u x j1,tk
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1 2h2
1 2!
4u x j , tk1/ x2t 2
2
2
2
o
2
.
利用上述两式得
2u xj ,tk1/2 x2
1 2
2u
x j , tk1 x2
2u xj x2
,
tk
1 2
4u x j , tk1/ x2t 2
2
2
2
o
2
.
(2.21)
利用(2.19), (2.20)两式, 整理有
u
x j1, tk1
2u
x j , tk1
u
x j1, tk1
2u =
x j ,tk1
h2 4
x j ,tk1
o(h2 ).
(2.20)
h2
x2
12 x4
此时，分别将 u xj ,tk1 , u xj ,tk 以 u xj ,tk1/2 为中心关于 t 泰勒级数展开，有
《微分方程数值解》 课程论文
学生姓名 1： 许慧卿
学 号： 20144329
学生姓名 2： 向裕
学 号： 20144327
学生姓名 3： 邱文林
学 号： 20144349
学生姓名 4： 高俊
学 号： 20144305
学生姓名 5： 赵禹恒
学 号： 20144359
学生姓名 6： 刘志刚
学 号： 20144346
2
3
o
3
.
将上述两式整理得
-6-
一维热传导方程的差分格式
u xj ,tk1 u xj ,tk
u
x j , tk1/2
t
2
3u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx j , tk1/2
24
t3
o( 3).
(2.18)
再将 u xj1,tk , u xj1,tk 分别以 xj ,tk 为中心关于 x 运用泰勒级数展开, 有
整理有
u
x j , tk1
u
xj ,tk
u
xj ,tk
u
xj ,tk 2!
2 o( 2).
u xj ,tk1 u xj ,tk
u
xj ,tk
t
2
2u
xj t 2
,
tk
o( ).
再将 xj1,tk , xj1,tk 分别以结点 x j ,tk 为中心关于 x 运用泰勒级数展开, 有
u k 1 j
u
k j
a
uk j 1
2u
k j
h2
uk j 1
f
k j
,
1 j M 1, 0 k N 1.
(2.5)
结合初边值条件, 可得如下差分格式
-4-
一维热传导方程的差分格式
u k 1 j
u
k j
a
uk j 1
2u
k j
h2
uk j 1
f
k j
,
1 j M 1, 1 k N 1,
f
k j
1
,
1 j M 1, 1 k N, (2.14)
u0j (xj ), 0 j M ,
(2.15)
u0k (tk ), uMk (tk ),
1 k N.
(2.16)
2.3 Crank Nicolson 差分格式
在结点 xj ,tk1/2 处考虑方程(1.1), 有
舍去截断误差,
用
u
k j
代替
u
xj ,tk
,得到如下差分方程
u k 1 j
u
k j
a
u k 1 j 1
2u
k j
1
h2
u k 1 j 1
f
k j
1
,
1 j M 1, 1 k N.
(2.13)
结合初边值条件, 可得如下差分格式
u k 1 j
u
k j
a
u k 1 j 1
2u
k j
1
h2
u k 1 j 1
2u xj ,tk1 x2
2u =
x j , tk1/2 x2
3u
x j , tk1/2 x2t
2
1 2!
4u x j , tk1/2 x2t 2
2 2
o
2
,
2u xj ,tk
x2
2u =
x j , tk 1/2 x2
3u
xj ,tk x2t
1/ 2
2
1 j M 1, 1 k N.
将 u xj ,tk 以 x j ,tk1 为中心关于 t 运用泰勒级数展开, 有
(2.9)
u
xj ,tk
u
x j , tk1
u
x j , tk1
u ( )
x j , tk1 2!
( )2 o( 2).
将上式整理得
u xj ,tk1 u xj ,tk
(2.6)
u0j (xj ),
0 j M,
(2.7)
u0k (t j ),
uMk (tk ), 1 k N.
(2.8)
2.2 向后 Euler 差分格式
在结点 x j ,tk1 处考虑方程(1.1), 有
u xj ,tk1 t
2u a
x j , tk1
x2
f
x j , tk1 ,
(2.2)
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u (h）
xj ,tk
h2 u
2!
xj ,tk （-h）3 3!
u(4)
xj ,tk
h4
o(h4 ) ,
4!
u
x j1, tk
=u
xj ,tk
u
xj ,tk
u h
xj ,tk 2!
h2 u
xj ,tk 3!
u
x j ,tk1
t
2
2u
x j ,tk1 t 2