5、控制系统的设计5.1 控制策略的选择在3.2节转子的位移方程一节，我们已经论述过，对转子的位移方程进行变换后，可以得到如下的电流和位移之间的传递函数：X i K ms K s I s X s G -==2)()()( （5—1）由上式可以看出，该对象有两个实数极点，其中一个在正实轴上，因而是一个不稳定的二阶对象，只有通过闭环控制才有可能使之稳定地工作。

然而，闭环控制也有很多种控制策略，采用古典控制论中关于连续系统的分析方法进行近似分析，经分析可知，使系统稳定的基本控制规律为PD 控制。

下面对其进行分析。

（1）PD 控制策略假设PD 控制器传递函数为]1[)(s T K s G d p c += （5—2）其中，K P 为比例系数，T d 为微分时间常数。

当忽略功率放大器和位置传感器的惯性，设功放放大系数为K a ,传感器放大系数为K s ，则此时整个系统的闭环传递函数为： )()(1)()()(s G s G K K s G s G K s c s a c a +=Φ （5—3） 将式（5—1）和式（5—2）代入式（5—3）中可以得到： x p i s a d p i s a d p i a K K K K K s T K K K K ms s T K K K s -+++=Φ2)1()( （5—4）令k K K K K K x p i s a =- （5—5）用Routh 判据可知，该系统稳定的充要条件为包括k 在内的所有参数均大于0。

由式（5—4）和（5—5），可得闭环系统的特征方程为02=++k s T K K K K ms d p i s a对其进行分析，可以发现，虽然PD 控制器能使系统稳定地工作，但用PD 控制时存在稳态误差，我们知道，在比例调节的基础上加上积分控制就可以消除系统的稳态误差。

为此，在PD 控制的基础上引入了积分作用变成PID 控制。

（2）PID 控制策略前面的章节里已经对PID 控制策略进行过详细的论述，在此不再赘述。

由前面可知，传统的PID 控制策略其传递函数为 ]11[)(s T sT K s G d i p c ++= （5—6） 但是，传统的PID 存在积分饱和以及微分突变两个弊端。

所以，本文将以不完全微分PID 控制算法为基础，通过软件编程解决上述两个弊端。

控制器传递函数的结构框图见图8。

图8控制器传递函数的结构框图传递函数为[4]：)1()1)(1()(s T s T s T s T K s G d i d i p c ε+++= （5—7） 式中，K P ------放大系数T i ------ 积分时间常数T d ------微分时间常数ε----- 微分增益5.2控制系统主要元器件参数选择根据前面所述，在机械系统的主要参数已经确定的情况下，本文目前的工作主要集中在对控制系统的设计方面。

控制器是控制系统的核心，将在随后专门的一节中进行论述，在此节中，主要是对控制系统其他元器件进行选择。

（1）传感器选择根据4.3节所述，拟选用电涡流式位移传感器。

设定其放大倍数为K s =20000（2）功率放大器根据4.4节所述，拟选用开关功率放大器，其类型为电压-电流型，设定其比例系数为K a =40（3）闭环传递函数设Q （s ）和G(s)分别表示被控系统的开环传递函数和闭环传递函数，图4所示的控制系统的开环传递函数Q （s ）为：Xi c s a K ms K s G K K s Q -=2)()( （5—8） 系统的闭环传递函数G(s)为： )(1)()(2s Q K ms K s G K s G x i c a +-= （5—9） 将式（5—7）和式（5—8）代入式（5—9）得))(1()1)(1()1)(1()(2x d i d i i p s a d i i p a K ms s T s T s T s T K K K K s T s T K K K s G -++++++=ε （5—10）至此，就可以利用控制理论对式（5—10）的控制系统进行分析设计。

5.3 控制系统的性能指标在确定系统的数学模型后，便可以用几种不同的方法去分析控制系统的性能。

在经典控制理论中，常用时域法和频域法来分析系统的性能。

本节将介绍系统的性能指标。

（1）时域性能指标上升时间r t ：指阶跃响应从零第一次上升到其稳态值所需要的时间。

一般取为响应从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需要的时间。

峰值时间p t ：指阶跃响应从运动开始到达第一个峰值的时间。

延迟时间d t ：指阶跃响应从运动开始第一次到达其稳态值的50%所需要的时间。

调节时间s t ：又称为过渡过程时间，指系统的动态过渡过程时间。

超调量p M ；指阶跃响应的最大峰值超出其稳态值的部分，用百分比表示为： %100*)()()(∞∞-=c c t c M p p（2）频域性能指标零频幅值：零频幅值A(0)表示当频率ω接近于零时，闭环系统输出的幅值与输入的幅值之比。

谐振频率：幅频特性A(ω)出现最大值max A 时的频率称为谐振频率r ω。

相对谐振峰值r M ：r ωω=时的幅值max )(A A r =ω与0=ω时的幅值A(0)之比))0((m a x A A 称为谐振比或相对谐振峰值r M 。

截止频率：一般规定幅频特性A(ω)的数值由零频幅值A （0）下降3dB 时的频率，亦即A(ω)由A （0）下降到0.707A （0）时的频率称为系统的截止频率b ω。

截止带宽：频率0～b ω的范围称为系统的截止带宽或带宽。

5.4 控制系统仿真工具简介对磁悬浮轴承系统进行设计，就是对式（5—10）的传递函数进行分析设计。

本文论述至此，被控系统是已经确定的，也就是说其机械部分、放大器和传感器部分等都是确定的，也就是说K a 、K s 、 K x 、K i 、m 是确定的常数。

那么在这种情况下，设计控制系统的核心问题就是确定控制器的三个参数K P 、T i 、T d 。

确定这三个参数的原则就是使图4的控制系统稳定并具有良好的动态性能。

根据式（5—10）的分母多项式，得到被控系统的特征方程为0))(1()1)(1(2=-++++x d i d i i p s a K ms s T s T s T s T K K K K ε （5—11）根据上式，应用Routh 等其他稳定性判据或通过求解式（5—11）的特征值 s ，就可以得到控制器的参数K P 、T i 、T d 的取值范围。

从数学上讲，只要特征值s 的实部均小于0即特征值s 均在复平面的左半部分，所设计的控制系统就是稳定的。

但是，根据经典控制理论，控制器参数的选取具有一定的试凑性，要想得到K P 、T i 、T d 三者的优化组合是比较困难的。

我们可以应用控制系统的计算机辅助设计方法，对控制系统进行性能分析。

其中较为实用的分析工具就是MA TLAB 语言及其相应的控制系统工具箱。

5.4.1 MATLAB 介绍MATLAB 的名字是由MATrix 和LABoratory 两词的前三个字母组合而成。

20世纪70年代后期，时任美国新墨西哥大学计算机科学系主任的Cleve Moler 教授出于减轻学生编程负担的动机，为学生设计了一组调用LINPACK 和EISPACK 库程序的“通俗易用”的接口，此即用FORTRAN 编写的萌芽状态的MATLAB 。

经几年的校际流传，在Little 的推动下，由Little,Moler,Steve Bangert 合作，于1984年成立了Math Works 公司，并把MATLAB 正式推向市场。

从这时起，MATLAB 内核采用C 语言编写，并且除原有的数值计算能力外，还新增加了数据图视功能。

MATLAB 以商品形式出现后，仅短短几年，就以其良好的开放性和运行的可靠性，使原先控制领域里的封闭式软件包（如英国的UMIST ，瑞典的LUND 和SIMON ，德国的KFDDC ）纷纷淘汰，而改以MATLAB 为平台加以重建。

进入20世纪90年代，MATLAB 已经成为国际控制界公认的标准计算软件。

90年代初期，在国际上30多个数学类科技应用软件中，MATLAB 在数值计算方面独占鳌头，而Mathematica 和Maple 则分别位居符号计算软件的前两名。

Mathcad 因其提供计算、图形、文字处理的统一环境而深受学生欢迎。

Math Works 公司于1993年推出版本，从此告别DOS 版。

4.X 版在继承和发展其原有的数值计算和图形可视能力的同时，出现了以下几个重要变化：（1）推出了SIMULINK 。

这是一个交互式操作的动态系统建模、仿真、分析继承环境。

它的出现使人们有可能考虑许多以前不得不简化假设的非线性因素、随机因素，从而大大提高了人们对非线性、随机动态系统的认知能力。

（2）开发了与外部进行直接数据交换的组件，打通了MATLAB 进行实时数据分析、处理和硬件开发的道路。

（3）推出了符号计算工具包。

1993年Math Works公司从加拿大滑铁卢大学购得Maple的使用权，以Maple为“引擎”开发了Symbolic Math Toolbox 1.0。

Math Works公司此举加快结束了国际上数值计算、符号计算孰优孰劣的长期争论，促成了两种计算的互补发展时代。

（4）构做了Notebook。

Math Works公司瞄准了应用范围最广的Word，运用DDE和OLE，实现了MATLAB和Word 的无缝连接，从而为专业科技工作者创造了融科学计算、图形可视、文字处理于一体的高水准环境。

1997年仲春，MATLAB5.0问世，紧接着是5.1,5.2 版以及1999年春的5.3版。

与4.x相比较，现今的MATLAB拥有更丰富的数据类型和结构、更友善的面向对象、更加快速精良的图形可视、更广博的数学和数据分析资源、更多的应用开发工具。

诚然，到1999年底，Mathematica也已升到4.0版，它特别加强了以前欠缺的大规模数据处理能力。

Mathcad也赶在2000年来到之前推出了Mathcad 2000，它购买了Maple内核和库的部分使用权，打通了与MATLAB的接口，从而把其数学计算能力提高到专业层次。

但是，就影响而言，至今仍然没有一个计算软件可与MATLAB匹敌。

5.4.2 SIMULINK3.0SIMULINK是公司开发出的又一个产生重大影响的软件产品。

它的前身SIMULIB问世于20世纪90年代初，以工具库的形式挂接在MATLAB 3.5版上。

以SIMULINK名称广为人知是在MATLAB 4.2X版时期。

SIMULINK不能独立运行，只能在MATLAB环境中运行，现在较为流行的有：与MATLAB 5.2版配用的SIMULINK 2.2；与MATLAB 5.3版配用的SIMULINK 3.0.SIMULINK的传统特点：不管是什么版本，SIMULINK总由模块库、模型构造及分析指令、演示程序三部分组成。