(t ) (
ln t

)(t ) 1
1 (
ln t
(2—6—46）
(4)平均寿命

2
2
)
E( X ) e
(5)寿命方差
2

(2—6—47）
2
2 )
D( X ) e
2(
(e 1)
2
(2—6—48）
2.6对数正态分布
在可靠性领域中，对数正态分布近年来受到 重视，一般用于由裂痕扩展而引起的失效分布。 如疲劳腐蚀失效，此外，也用于恒定应力加速寿 命试验后样品失效时间进行的统计分析。由概率 论可知，当随机变量受许多微小偶然因素乘积的 影响时，该随机变量的对数服从正态分布，即该 随机变量服从对数正态分布
6 6 1
, 1 1.282 查标准正态颁布表得 (4) 1, (1) 0.8413
2.6对数正态分布
当随机变量X的对数lnX服从参数为σ 和μ 和的正态分布N(μ ,σ 2) 时，那么称随机变量X服从对数正态分布LN（μ ，σ 2) 。它的分布密 度函数为
(ln t ) 2 f (t ) exp 2 2 t 2 1
1 (t ) e 2
(t ) 1 e 2

t2 2
-∞<t<+∞
(2—6—28）
u2 2
d布的概率密度曲线见图 2.2.l，它是以纵轴为对称轴的钟形曲 线。
2.4正态分布
对于标准正态分布，有一个重要的分布值计算公式：
Φ (t)=1−Φ (-t)
二、可信性工程常用分布
2.1在可靠性工程中，常用的分布有：
二项分布 泊松分布(Poisson) 指数分布 正态分布 对数正态分布 威布尔分布(Weibull) 等
2.2二项分布
二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性和质量控制领域。在可靠 性试验和可靠性设计中，常用于相同单元平行工作的冗余系统的可靠性指 标的计算；另外二项分布在可靠性抽样检查中也很有用，在一定意义下， 确定n个抽样样本中所允许的不合格品数，就需要用二项分布采计算。
(2—6—39）

(3)可靠读函数
R (t ) t 1 ( ) ( ) 1
(2—6—40）

2.5截尾正态分布
根据截尾正态分布的定义可得各特征量如下： (4)失效率函数
(t )
(4)平均寿命
E( X )
(
t

) 1
1 (
只找出最小 值
抽 样 母集 团
威布尔分布表示的是最小值分布（即从若干个 数据组中只选出最小值时的分布）
三、威布尔分布
3.2威布尔分布是用来干什么的？
a.通过威布尔分布分析试验数据，推导出参数m；从面识 别产品处在浴盆曲线模型中的初期故障、随机故障和耗 损故障的全部时间周期。 b.通过威布尔分布分析试验数据，推导出参数η；从而 得知产品的特征寿命、中位寿命、B10寿命、可靠寿命.
2.5截尾正态分布
根据截尾正态分布的定义可得各特征量如下： (1)分布密度函数
1 (t ) 2 f (t ) exp 2 2 ( ) 2
t≥0,σ ﹥0
(2—6—38）

(2)累积分布函数
F (t ) 1 t 1 ( ) ( ) 1
例2.6.7 已知某型号继电器的寿命服从正态分布N(4×106，1012)，求该 型号继电器工作至5×106次时的可靠度R(5×106)、失效率又(5×106) 及可靠水平r=0.9时的可靠寿命t(0.9)。 解：根据式(2-6-39)得
1 5 106 4 106 1 1 (1) 1 0.8413 0.1587 R(5 10 ) 1 ( ) 6 6 4 10 10 4 ( ) 106
P( X 1.5) 1 P( X 1.5) 1 (
因此，该批钢轴的废品率为0.02275。
1.5 1.49 ) 1 (2) 0.02275 0.005
(2)设规定钢轴直径的合格尺寸为X，则有P(X≤x)=0.95。 即
P( X 1.49 x 1.49 ) 0.95 0.005 0.005
(2—6—30）
关于Φ (t）有表可查，在一般的数理统计书中都可查到。 令
z t

，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量Z服从
标准正态分布
t u ( z) ( )
(2—6—31）
2.4正态分布
正态分布N(μ ，σ 2)的有关可靠性特征量： (1)可靠度函数
1 2 (2)失效率函数 R(t )

(2—6—33）
(3)平均寿命
E( X )
(2—6—34）
(4)寿命方差
D( X ) 2
(2—6—35）
2.4正态分布
正态分布是应用最广泛的一种分布。很多工程问题可用正态分布 来描述，如各种误差、材料特性、磨损寿命、疲劳失效都可看作或近 似看作正态分布。但在许多情况下，随机试验得到的数据常常不能取 负值，如寿命、强度、应力等，因此，用正态分布作为失效分布的理 论是不适宜的，此时，可以改用“截尾正态分布”。
三、威布尔分布
3.1威布尔分布的物理意义 瑞典工程师威布尔从30年代开始研究轴承寿命，以的又研究结 构强度和疲劳等问题。他采用了“链式”模型来解释结构强度 和寿命问题。这个模型假设一个结构是由若干小元件(设为n个) 串联而成，于是可以形象地将结构看成是由n个环构成的一条 链条，其强度(或寿命)取决于最薄弱环的强度(或寿命)。单个 链的强度(或寿命)为一随机变量，设各环强度(或寿命)相互独 立，分布相同，则求链强度(或寿命)的概率分布就变成求极小 值分布问题，由此给出威布尔分布函数。由于零件或结构的疲 劳强度(或寿命)也应取决于其最弱环的强度(或寿命)，也应能 用威布尔分布描述。
1.一种是根据其物理背景来定，即产品的寿命分布与产品的类型(如电子类、 机械类)关系大，而与其所承受的应力情况、产品的内在结构及其物理、化学、 机械性能有关，与产品发生失效时的物理过程有关。通过失效分析，证实该产 品的故障模式或失效机理与某种类型分布的物理背景相接近时，可由此确定它 的失效分布。 2.另一种方法是通过可靠性寿命试验及使用情况，获得产品的失效数据，用 统计推断的方法来判断它是属于何种分布。
从而 P( z 0.95 ) (0.95 )
其中 0.95
x 1.49 0.005
由正态分布表可查得 0.95 =1.64485，代入上式有
x 1.49 1.64485 0.005 1.498 cm
因此，规定钢轴直径的合格尺寸应为1.498cm。
2.5截尾正态分布

t
(2—6—41）

)
1 exp ( ) 2 2 2 ( )
(2—6—42）

(4)可靠寿命
t (r ) 1 1 ( )r
(2—6—43）
2.5截尾正态分布
例2.6.6 有一批钢轴，规定钢轴的直径不超过1.5cm就是合格品尺寸X服从 N(1.49，0.005 2) (1)试判断该批钢轴的废品率是多少? (2)如果要保证有95％的合格率，那么，应该规定钢轴直径的合格尺寸 是多少? 解:(1)已知μ =1.49，σ =0.005
t>0
(2—6—43）
其中μ 和σ 是两个参数，且−∞<μ <+∞,σ >0。
大家知道，对数变换可以使较大的数缩小为较小的数，且愈大的数 缩小得愈厉害，这一特性使较为分散的数据，通过对数变换，可以相 对地集中起来，所以常把跨几个数量级的数据用对数正态分布去拟合。
对数正态分布的密度曲线见图2．23。
2.6对数正态分布
…
由n个环构成的链条中的最弱环模型
三、威布尔分布
由于威布尔分布 是根据最弱环节模型 或串联模型得到的， 能充分反映材料缺陷 和应力集中源对材料 疲劳寿命的影响，也 能反映电子元器件组 成的产品在使用过程 中各种应力（包括热 应力、电应力、机械 应力）对元器件的寿 命影响，而且具有递 增的失效率，所以， 将它作为材料、零件 或元器件的寿命分布 模型或给定寿命下的 疲劳强度模型是合适 的。
ln150 5 1 f (150) ( ) e 1 1 150 2 (ln150 5) 2 2
0.00266
于是得
(150)
f (150) 0.00266 0.0054/ h R(150) 0.496
因此，t=150h的可靠度和失效率分别为0.496和0.0054/h。
t e



u2 2
du 1 (
(t )2 2
t

)
(2—6—32）
1 t 1 e ( ) f (t ) 2 (t ) 2 t R(t ) 1 1 ( ) 2 du t e 2
2.4正态分布
如果随机变量X的分布密度函数为
(t ) 2 1 f (t ) exp 2 2 2
-∞<t<+∞
(2—6—27）
则称随机变量X服从参数为μ和σ的正态分布N(μ，σ2)，μ和σ分别称 为位置参数和尺度参数。 正态分布的概率密度曲线见图2.20。 如果μ=0，σ=1 ，此时我们称随机变量 X 服从标准正态分布 N(0 ， 1) 。 其分布密度函数与分布函数分别用φ(t)和Φ(t)表示，即
但在客观实际中，真正完全重复的现象是不多见的，应当根据实际问题的 性质来决定是否可以应用此模型来处理，如“有放回”地抽取是重复试验 ，“无放回”地抽取不是重复试验，但当产品的批量很大而抽取的总次数 相对来说很小时，可近似地看作“有放回”来处理