w e2
1 2
2
E
2 2
p l1
E
2 1
pl2
E
2 2
12
§4.3. 恒定电流场与静电场的比拟 静电场和恒定电场性质比较：
相同点：场性质相同，均为无旋场； 场均不随时间改变； 均不能存在于理想导体内部；
不同点：源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场 的源为运动电荷。 存在区域不同。静电场只能存在于导体外， 恒定电场可以存在于非理想导体内。
1 1 2 2
电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以
电流密度成轴对称分布。
先假设电流为I
求出电流密度J的表达式
求出E1和E2
确定出电流
b
c
UaE 1drbE2dr
4
由边界条件，边界两边电流连续。
设单位长度内从内导体流向外导体电流为I。
I
I
J S e r 2rer (arc)
由导电媒质内电场本构关系，可知媒质内电场为：
JI
E 1121rer (arb) E 2J22 I2rer (brc)
b
c
UaE 1drbE2dr
2I1(lnblna)2I2(lnclnb) 5
I2ln(b2/a)1 2U 1l0n(c/b)
J
12 U 0
(a r c )
[2 ln (b /a )1 ln (c /b )]r
E 1 J 1 [2 ln ( b /a ) 2 U 0 1 ln ( c /b ) ] r e r ( a r b )
E 2 J 2 [2 ln ( b /a ) 1 U 0 1 l n ( c /b ) ] r e r ( b r c )
c 2rE 2d r (b r c )
3
例题:
例：同轴线填充两种介质，结构如图所示。两
种介质介电常数分别为 1 和 2 ，导电率分别
为 1 和 2，设同轴线内外导体电压为U。
求：(1)导体间的E ，J ， ；
(2)分界面上自由电荷分布。
解：这是一个恒定电场边值问题。不能直接 应用高斯定理求解。
2c 2b 2a
1 1 2 2Leabharlann EJ a13当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电 流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同
可以利用已经获得的静电场 的结果直接求解恒定电流场
可用边界条件与静电场相同的 电流场来研究静电场的特性
静电比拟
14
例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：
P
N
P
N
电流场
静电场
那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。
电流由理想导电体流出进入一般导电媒质时，电流
线总是垂直于理想导电体表面。
2
关于边界条件的说明： 1、由于导体内存在恒定电场，根据边界条件可知，在导体表 面上的电场既有法向分量又有切向分量。电场并不垂直于导 体表面，因而导体表面不是等位面。 2 、若媒质2是良导体，媒质1是极不良导电媒质，只要不接 近，就可以近似地把良导体表面看作等位面。
15
静电场与恒定电场的对偶关系
导电媒质中的恒定电场 (电源外)
E 0 E
介质中的静电场 (无源区域)
E 0 E
对偶量
EE
•J 0 J E
•D 0 DE
JD
2
1 E • dl 1 2
SJ • dS I
2 0
2
1 E • dl 1 2
SD • dS q
2 0
I q
时，试求两层介质中的电场强度，单位体积中的电场储
能及功率损耗。
解： 由于电容器外不存在电流，
可以认为电容器中的电流线与边
界垂直，求得
U
1 1 d1 2 2 d2
J1n J2n
J1 J2
E11E22
E1
2 U d12 d21
E1d1E2d2U
E2
1 U d12 d21
11
w e1
1 2
1E
2 1
J1n J 2n J1t J 2t
1 2
D1n D2n D1t D2t
1 2
G=I/U
C=q/U
G C
16
§4.4 电阻的计算
第四章 恒定电流场 Steady electric currents field
恒定电场：恒定电流(运动电荷)产生的电场。恒定电流周围
存在恒定电场和磁场
恒定磁场
恒定电场
恒定电流场的边界条件 恒定电流场的能量损耗 恒定电流场与静电场的 比拟
矢量磁位与标量磁位 媒质磁化 媒质中的恒定磁场方程式 电感与互感 磁场能量与磁场力
d W d q E d l E d q d l
8
电场损失的功率 P 为
Pd W Ed qd lEd lIEd S J d l d t d t
单位体积中的功率损失为
pl
EJE2
J2
当J和E的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式
pl EJ
焦耳定律的微分形式
表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度
§4.2 恒定电场的能量损耗 在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰
撞，结果产生热能，这是一种不可逆的能量转换。这种 能量损失将由外源不断补给，以维持恒定的电流。
d
lJ dS U
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下，d t 时间内有d q电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力 作的功为
1
§4.1 恒定电流场的边界条件 Boundary condition
1、恒定电场在分界面上的折射关系为
J1t J1n
E1t E1n
tan1
J2t J2n
E2t E2n
tan2
tan1 1 tan2 2
n
J
1 1
E1
1
E
2
2
J
2
2
若 2 ,则 1 0 。
在理想导体表面上， J 和 E 都垂直于边界面。当
的标积。
9
设圆柱体两端的电位差为U，则 E U
dl
，又知 J I ，那
dS
么单位体积中的功率损失可表示为
pl
UI dSdl
UI dV
可见，圆柱体中的总功率损失为
PpldVUI
这就是电路中的焦耳定律。
10
例1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如
图示。其介电常数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1 和 d2 。当外加恒定电压为 V
b
c
1 rE 1 d r b E 2 d r ( a r b )
6
2）由边界条件：
在 r a面上： S1D1 n [2ln(b/a1 )2 U10ln(c/b)]a
在 r b 面上： S 2 (D 2 D 1 )e r
[2ln((b2/a1)112ln )U (c0/b)]b
在 r c 面上：S3 [D 22lenr(b/a )21U 10ln(c/b)]c 7