ana 1(n 1 )d
对一切nN都成立．
递推基础
证明：（1）当n=1时，左边 a1, 右 a 1 边 0 d a 1 , 等式是成立的．
（2）假设当n=k时等式成立，就是a k a 1 (k 1 )d ,
那么当n=k+1时，
ak1ak d [ a 1 ( k 1 ) d ] d a 1 [ k ( 1 ) 1 ] d
测．没想到当n＝5这一结论便不成立．
归纳法：由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法
（1）完全归纳法：考察全体对象，得到 一般结论的推理方法
（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）
（2）不完全归纳法，考察部分对象，得 到一般结论的推理方法
（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，
他曾认为，当n∈N时，22n 一1 定都是质数，这 是他观察当n＝0，1，2，3，4时的值都是质数，
提出猜想得到的．半个世纪后，18世纪伟大的
瑞士科学家欧拉（Euler）发现
＝2254 2914 967
297＝6700417×641，从而否定了费马的推
注意:数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
① 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） ② “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 ③ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时
命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 ④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的
用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 n取第一个值 n（0 如 n0 1或2等）时结论正确；
“找准起点，奠基要稳”
递推基 础
（2）假设时 n k (k N 且 k n 0 )结论正确，证明
nk1时结论也正确．
“用上假设，递推才真” 递推依据
“综合（1）、（2），……”不可少！
方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。
练习3
纠错!
分析下列各题用数学归纳 法证明过程中的错误：
（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)
证明 ：假设当n=k时等式成立，即
2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)
那么，当n=k+1时，有
缺乏“递推基础”
2+4+6+8+…+2k+2（k+1)
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
递推依据
由目 （标 1）和： （a 2）k 可1知 ，a 等1 式对[(任k 何 n1 )N 1 都]成d 立．
练习2 用数学归纳法证明
1 3 5 (2 n 1 ) n 2(n N * ).
递推基础
证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即
1、问题情境三
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
1、问题情境三
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步 骤才能做到？ （1）处理第一个问题；（相当于推倒 第一块骨牌） （2）验证前一问题与后一问题有递推 关系；（相当于前牌推倒后牌）
2、数学归纳法的概念
定义：对于某些与正整数n有关的命题常常 采用下面的方法来证明它的正确性： 1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*，例如n0 =1) 时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，
目 标 根： 1 2 据 2 ①2 和3 2 ② ，4 2 可 知 对k 2 任 ( 何k n1 ) 2 N *等( k 式 1 都) [ ( 成k 立1 ) 。 6 1 ] [ 2 ( k 1 ) 1 ]
练习1 用数学归纳法证明：
如果{a n } 是等差数列，已知首项为 a 1，公差为 d，那么
135 (2k1)k2.
那么当n=k+1时，135 (2k1)[2(k1)1]
k2 [(2(k1)1]k2 2k1
(k1)2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 递推依据
目 标 ： 1 3 5 ( 2 k 1 ) [ 2 ( k 1 ) 1 ] ( k 1 ) 2
由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立．
证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。 这种证明方法就叫做__数__学_归__纳__法_____。
验证n=n0时 命题成立
归纳奠基
假设n=k(k≥n0)时命题成立, 证明n=k+1时命题也成立.
归纳递推
命题对从n0开始所有 的正整数n都成立
3.数学归纳法的应用： （1）恒等式
（2）不等式 （3）三角函数方面 （4）整除性 （5）几何方面 （6）计算、猜想、证明
.
归纳
1 2 2 2 3 2 4 2 n 2 n (n 1 ) (2 n 1 ). 6
数学运用
例 证明：
递推基础
1 2 2 2 3 2 4 2 n 2 n ( n 1 ) ( 2 n 1 ) ( n N * ) . 6
证明 ①当n=1时，左边＝1 ＝右边,等式显然成立。
②假设当n=k时等式成立，即
1、问题情境一
完全归纳法
问题 1:袋子中有5个小球，如何证明它们
ห้องสมุดไป่ตู้
都是绿色的？
问 a 2 122 ： , 题 a 3 13观 , a{ a 4 n } 察 14已 ,, a 1 数 知 1 ,a n 1 列 1 a n a n,
猜想归纳通项:a公 n 式 n1
不完全归 纳法
1、问题情境二
1 2 2 2 3 2 4 2 k 2 k (k 1 ) (2 k 1 ) 6
那么,当n=k+1时，有 12 22 32 42 k 2 (k 1)2
k (k 1) (2k 1) (k 1)2
6
递推依据
(k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1]
6
这就是说，当n=k+1时,等式也成立。
问题情境
情境1.观察下列各等式，你发现了什么？
12 1 2 3 , 6
12 22 2 3 5 , 6
思考：你由不完全归纳法 所发现的结论正确吗？若
12 22 32 3 4 7 ,
不正确，请举一个反例;
6 12 22 32 42 4 5 9 ,
若正确，如何证明呢？
6