第三章习题详解1． 沿下列路线计算积分⎰+idz z 302。
1) 自原点至i +3的直线段；解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3()()()⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+131033233023313313i t i dt t i dz z i2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3；解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz =3303323233131=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰t dt t dz z连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz =()()()331031023323313313313-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+i it idt it dz z i()()()333310230230233133********i i idt it dt t dz z i+=-++=++=∴⎰⎰⎰+ 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。
解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz =()()310312023131i it idt it dz z i=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz =()()()33103102323113131i i i t dt i t dz z ii-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰⎰+()()333332023021313113131i i i i dz z dz z dz z iiii+=-++=+=∴⎰⎰⎰++ 2． 分别沿x y =与2x y =算出积分()⎰++idz iy x102的值。
解：x y = ix x iy x +=+∴22()dx i dz +=∴1 ()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴⎰⎰+i i x i x i dx ix x i dz iy x i213112131111023102102 2x y = ()22221x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴()()()()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+∴+1104321022131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy xi而()i i i i i 65612121313121311+-=-++=⎪⎭⎫⎝⎛++3． 设()z f 在单连通域B 内处处解析，C 为B 内任何一条正向简单闭曲线。
问()[]0=⎰Cdz z f Re ，()[]0=⎰Cdz z f Im 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
解：不成立。
例如：()z z f =，ϑi e z C =：，πϑ<≤0()[]()i i d dz z f Cπϑϑϑπ=+=⎰⎰sin cos cos Re 20()[]()πϑϑϑπ-=+=⎰⎰sin cos sin Im i d dz z f C204． 利用在单位圆上z z 1=的性质，及柯西积分公式说明i dz z Cπ2=⎰，其中C 为正向单位圆周1=z 。
解：011-==z z z ()i f dz z dz z CCππ20201==-=∴⎰⎰ 5． 计算积分⎰Cdz zz的值，其中C 为正向圆周： 1) 2=z ；解：在2=z 上，ϑi e z 2= ()[]i i id e d e dz z z i i Cπϑϑπππϑϑ422222202020====⎰⎰⎰-2) 4=z解：在4=z 上，ϑi e z 4=()[]i i id e d e dz z z i i Cπϑϑπππϑϑ844444202020====⎰⎰⎰-6． 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C 是正向的圆周1=z 。
1)⎰-Cz dz2解：()21-=z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，02=-⎰Cz dz 2)⎰++Cz z dz422解：()()2221421+=++=z z z z f 在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0422=++⎰Cz z dz3)⎰Cz dzcos 解：()z z f cos 1=在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=⎰Cz dz cos 4)⎰-Cz dz 21解：()1=z f 在C 内解析，210=z 在C 内，i if z dz C ππ221221=⎪⎭⎫⎝⎛=-⎰ 5)⎰Czdz ze解：()zze z f =在C 内解析，根据柯西—古萨定理，0=⎰Czdz ze6)()⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-Cz i z dz22 解：()()21+=z z f 在C 内解析，20iz =在C 内，()22122222i ii if z i z dz C +=⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰ππ 7． 沿指定曲线的正向计算下列各积分： 1)⎰-Czdz z e 2，C ：12=-z 解：2=z 在C 内，()ze zf =在C 解析，根据柯西积分公式：222ie dz z e Czπ=-⎰2)⎰-Caz dz22，C ：a a z =- 解：a z =在C 内，()a z z f +=1在C 解析，根据柯西积分公式：i dz a z az a z dz CCπ=-+=-⎰⎰222213)⎰+Cizdzz e 12，C ：232=-i z 解：i z =在C 内，()i z e z f iz +=在C 解析，根据柯西积分公式：⎰⎰=-+=+CizC izedz i z i z e dz z e π124)⎰-Cdz z z3，C ：2=z 解：3=z 不在C 内，()3-=z zz f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：03=-⎰Cdz z z 5)()()⎰--C z z dz1132，C ：1<=r z 解：()()()11132--=z z z f 在C 解析，根据柯西—古萨定理：()()01132=--⎰Cz z dz 6)⎰Czdz zcos 3，C ：为包围0=z 的闭曲线解：()z z z f cos 3=在C 解析，根据柯西—古萨定理：03=⎰Czdz z cos7)()()⎰++Cz z dz 4122，C ：23=z 解：i z =在C 内，()()()412++=z i z z f 在C 解析，根据柯西积分公式：()()⎰++C z z dz 4122 8)⎰Cdz z zsin ，C ：1=z 解：0=z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据柯西积分公式：002==⎰sin sin i dz z zCπ 9)⎰⎪⎭⎫⎝⎛-Cdz z z22πsin ，C ：2=z解：2π=z 在C 内，()z z f sin =在C 解析，根据高阶导数公式：02222==⎪⎭⎫⎝⎛-⎰πππ'sin sin i dz z zC10) ⎰C zdz ze 5，C ：1=z解：0=z 在C 内，()ze zf =在C 解析，根据高阶导数公式：()()!!4204245if i dz z e Cz ππ==⎰ 8． 计算下列各题： 1)⎰-iizdz eππ32解：()02121263232=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---⎰i i ii z iize e e dz e ππππππ2)⎰063izdz ch π；解：320313313066i i sh z sh zdz ch i i -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰πππ3)⎰-iizdz ππ2sin；解：πππππππππ222412212212sh i i z i dz z zdz iiii ii -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-=---⎰⎰sin cos sin4)⎰1zdz z sin ；解：[]⎰⎰⎰+-=+-=-=111111sin cos cos cos cos sin zdz z z z zd zdz z5)()⎰--izdz e i z 0； 解：()()()[]()i i i iziziz iz ie e e i dz ee i z de i z dz e i z -------=--=+--=--=-⎰⎰⎰10006)⎰+idz z tgz121cos （沿1到i 的直线段）。
解：()12112121112212112tg tg i tg tgi z tg tgz dtgz tgz dz z tgz ii i--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+⎰⎰cos 9． 计算下列积分： 1)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++C dz i z z 2314，（其中C ：4=z 为正向）； 解：()i i dz i z dz z dz i z z CCC ππ1434223142314=+=+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++⎰⎰⎰ 2)⎰+Cdz z i122，（其中C ：61=-z 为正向）； 解：()()()()()()022*******=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-+++-=-+=+-==⎰⎰⎰⎰i z i z C CC C i z i i z i i dz i z i z idz i z i z idz i z i z idz z i π 3)⎰+=213C C C dz z zcos ，（其中1C ：2=z 为正向，2C ：3=z 为负向）； 解：()3z z z f cos =在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：0213=⎰+=C C C dz zz cos4)⎰-Ci z dz ，C ：1=z （其中C 为以21±，i 56±为顶点的正向菱形）； 解：在所给区域内，()i z z f -=1有一孤立奇点，由柯西积分公式：i i z dz Cπ2=-⎰ 5) ()⎰-C zdz a z e 3，（其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z 为正向）。
解：当a z ≥，()()3a z e z f z-=在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：()03=-⎰C z dz a z e 当a z ≤，()ze zf =在所给区域内解析，根据高阶导数公式：()i e e i dz a z e a aC z ππ==-⎰!22310． 证明：当C 为任何不通过原点的简单闭曲线时，012=⎰Cdz z 。
证明：当C 所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：012=⎰Cdz z ； 当C 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：()00212==⎰'if dz zCπ； 11． 下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？ 1)⎰=2z dz z z2)⎰=4z dz z z 解：1）0222202==⎰⎰-=πϑϑϑϑd ie ee dz z zi i i z ； 2）0444204==⎰⎰-=πϑϑϑϑd ie ee dz z z i i i z 由此可见，1）和2）的积分值相等。