2019-2020学年江苏省无锡市新吴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）一元二次方程(1)(2)0x x --=的解是( ) A ．1x = B ．2x =C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x =-2．（3分）若25x y =，则x yy+的值为( ) A ．25B ．72C ．57D ．753．（3分）若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为( ) A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d4．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，1BC =，则sin A 的值为( ) A ．1010B ．31010 C ．13D ．1035．（3分）将抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( ) A ．2(2)2y x =++B ．2(2)2y x =+-C ．2(2)2y x =-+D ．2(2)2y x =--6．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是( ) A ．265cm πB ．290cm πC ．2130cm πD ．2155cm π7．（3分）某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x ，则下列方程正确的是( ) A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结BD ，CE 相交于点F ，则BFC ∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．90︒9．（3分）对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是( ) A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线 B ．其最小值为1C ．其图象与x 轴没有交点D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大10．（3分）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为( )A ．3B ．31+C ．31-D ．23二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，将答案填在答题纸上） 11．（2分）已知1x =是方程210x mx ++=的一个根，则m = ． 12．（2分）若有一组数据为8、4、5、2、1，则这组数据的中位数为 ．13．（2分）若关于x 的一元二次方程240x x m -+=没有实数根，则m 的取值范围是 ． 14．（2分）如图，在平行四边形ABCD 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆= ．15．（2分）如图，ABC ∆是O 的内接三角形，45BAC ∠=︒，BC 的长是54π，则O 的半径是 ．16．（2分）已知实数a ，b ，c 满足0a ≠，且0a b c -+=，930a b c ++=，则抛物线2y ax bx c =++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为 ．17．（2分）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 为格点（即小正方形的顶点），AB 与CD 相交于点O ，则AO 的长为 ．18．（2分）如图，已知二次函数3(1)(4)4y x x =-+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则PKAK的最大值为 ．三、解答题：本大题共10小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分）（1012(2020)2tan 60π+--︒ （2）解方程：2210x x --=20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为点(1,0)A 、(3,0)B 、(0,1)C ．（1）ABC ∆的外接圆圆心M 的坐标为 ．（2）①以点M 为位似中心，在网格区域内画出DEF ∆，使得DEF ∆与ABC ∆位似，且点D 与点A 对应，位似比为2:1． ②点D 坐标为 ．（3）DEF ∆的面积为 个平方单位．21．（8分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：（1）求m，n的值．（2）补全条形统计图．（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．22．（8分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是；（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．23．（8分）如图，已知AB是O的直径，C是O上的点，点D在AB的延长线上，∠=∠．BCD BAC（1）求证：CD是O的切线；（2）若30BD=，求图中阴影部分的面积．∠=︒，2D24．（8分）如图，90BM CD交AD于M．连∠，过点B作//∠=∠=︒，DB平分ADCABD BCD接CM交DB于N．（1）求证：2=；BD AD CD（2）若6AD=，求MN的长．CD=，825．（8分）2019年12月27日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭．如图，“长征五号”运载火箭从地面A处垂直向上发射，当火箭到达B处时，从位于地面M处的雷达站测得此时仰角45∠=︒，当火箭继续升空到达C处时，从位于地面N处的雷达站测得此AMB时仰角30BC km=．=，40MN km∠=︒，已知120ANC（1）求AB的长；（2）若“长征五号”运载火箭在C处进行“程序转弯”，且105ACD∠=︒，求雷达站N到其正上方点D的距离．26．（8分）某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式26=-+．y x（1）求这种产品第一年的利润1W （万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式； （2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润2W 至少为多少万元．27．（10分）如图，已知二次函数2223(0)y x mx m m =-++>的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ；（用含有m 的代数式表示） （2）连接CD ，BC ．①若CB 平分OCD ∠，求二次函数的表达式； ②连接AC，若CB 平分ACD ∠，求二次函数的表达式．28．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作//DE AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G ．（1）求CD的长．（2）若点M是线段AD的中点，求EFDF的值．（3）请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P，使得60CPG∠=︒？参考答案一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（3分）一元二次方程(1)(2)0x x --=的解是( ) A ．1x =B ．2x =C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x =-解：10x -=或20x -=， 所以11x =，22x =． 故选：C ． 2．（3分）若25x y =，则x yy+的值为( ) A ．25 B ．72C ．57D ．75解：25x y =， ∴27155x y x y y y y +=+=+=， 故选：D ．3．（3分）若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为( ) A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d解：直线l 与O 的位置关系是相离， d r ∴>， 5r ∴=， 5d ∴>，故选：B ．4．（3分）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，1BC =，则sin A 的值为( )A B C ．13D 解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，1BC =，∴由勾股定理得到：AB ===．110sin 1010BC A AB ∴===． 故选：A ．5．（3分）将抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，那么所得抛物线的函数关系式是( ) A ．2(2)2y x =++B ．2(2)2y x =+-C ．2(2)2y x =-+D ．2(2)2y x =--解：抛物线2y x =先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为(2,2)--，∴所得抛物线的函数关系式是2(2)2y x =+-．故选：B ．6．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm ，母线长为13cm ，则这个圆锥的全面积是( ) A ．265cm πB ．290cm πC ．2130cm πD ．2155cm π解：这个圆锥的侧面积21251365()2cm ππ=⨯⨯⨯=． 底面积为：22525()cm ππ⨯=， 所以全面积为2652590()cm πππ+=． 故选：B ．7．（3分）某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x ，则下列方程正确的是( ) A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=解：设增长率为x ，依题意，得：233(1)3(1)10x x ++++=． 故选：D ．8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结BD ，CE 相交于点F ，则BFC ∠的度数是( )A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．90︒解：如图所示：五边形ABCDE 为正五边形，BC CD DE ∴==，108BCD CDE ∠=∠=︒，180108362CBD CDB CED DCE ︒-︒∴∠=∠=∠=∠==︒， 72BFC BDC DCE ∴∠=∠+∠=︒．故选：C ．9．（3分）对于二次函数2610y x x =-+，下列说法不正确的是( ) A ．其图象的对称轴为过(3,1)且平行于y 轴的直线 B ．其最小值为1C ．其图象与x 轴没有交点D ．当3x <时，y 随x 的增大而增大 解：二次函数22610(3)1y x x x =-+=-+， ∴对称轴为3x =，故选项A 正确，不符合题意；顶点坐标为(3,1)，所以有最小值1，故选项B 正确，不符合题意； △2(6)41040=--⨯=-<，故选项C 正确，不符合题意， 开口向上，当3x <时y 随着x 的增大而减小， 故选：D ．10．（3分）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD ，连接AC ，则tan ACD ∠的值为( )A ．3B ．31+C ．31-D ．23解：如图作AH CB ⊥交CB 的延长线于H ． 90ABD ∠=︒，45DBC ∠=︒， 45ABH ∴∠=︒， 90AHB ∠=︒，ABH ∴∆是等腰直角三角形， AH BH ∴=，设AH BH a ==，则2AB a =，6BD a =，3BC CD a ==，3CH a a =+， 90AHB DCB ∠=∠=︒， //AH DC ∴， ACD CAH ∴∠=∠，tan tan 31CHACD CAH AH∴∠=∠==+， 故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分，将答案填在答题纸上） 11．（2分）已知1x =是方程210x mx ++=的一个根，则m = 2- ． 解：关于x 的一元二次方程210x mx ++=有一个根是1， 2110m ∴++=，解得：2m =-， 故答案为：2-；12．（2分）若有一组数据为8、4、5、2、1，则这组数据的中位数为 4． 解：把这组数据从小到大排列为1，2，4，5，8， 最中间的数是4，则中位数是4； 故答案为4．13．（2分）若关于x 的一元二次方程240x x m -+=没有实数根，则m 的取值范围是 4m > ．解：由题意可知：△0<， 1640m ∴-<， 4m ∴>故答案为：4m >14．（2分）如图，在平行四边形ABCD 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆= 6 ．解：过点G 作MN AD ⊥于点M ，交BC 于点N ，如图所示． 四边形ABCD 为平行四边形， //AD BC ∴，AD BC =．13BE DF BC ==，2AF BE ∴=． //AF BE ， FAG BEG ∴∆∆∽， ∴2()FAG BEG S AF S EB∆∆=，GM AFGN EB =， 4FAG S ∆∴=，2GM GN =，32MN GM ∴=，113362222ABF FAG S AF MN AF GM S ∆∆∴====．故答案为：6．15．（2分）如图，ABC∆是O的内接三角形，45BAC∠=︒，BC的长是54π，则O的半径是52．解：连接OB，OC，45BAC∠=︒，290BOC BAC∴∠=∠=︒，BC的长是54π，∴9051804OBππ⨯=，52OB∴=，O∴的半径是52，故答案为：52．16．（2分）已知实数a，b，c满足0a≠，且0a b c-+=，930a b c++=，则抛物线2y ax bx c=++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为(4,4)．解：0a b c-+=和930a b c++=，3c a∴=-，2b a=-，∴抛物线解析式为223y ax ax a =--， ∴对称轴为212ax a-=-=， (2,4)∴-关于抛物线对称轴对称的点为(4,4)．故答案是：(4,4)．17．（2分）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 为格点（即小正方形的顶点），AB 与CD 相交于点O ，则AO 的长为8179．解：如图所示：在BDF ∆和ECF ∆中， 90DBF CEF BFD EFCBD CE ∠==︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BDF ECF AAS ∴∆≅∆， 12BF EF ∴==， 又//BF DA ， BFO ADO ∴∆∆∽， ∴AO ADBO BF=， 又4AD =， ∴8AOBO=， 在Rt ABD ∆中，由勾股定理得，22224117AB AD BD =+=+=又AB AO BO =+，8179AO ∴=故答案为817 9．18．（2分）如图，已知二次函数3(1)(4)4y xx=-+-的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则PKAK的最大值为45．解：过P作//PQ AB，与BC交于点Q，如图，二次函数3(1)(4)4y x x=-+-的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，(1,0)A∴-，(4,0)B，(0,3)C，设BC的解析式为：(0)y mx n m=+≠，则340nm n=⎧⎨+=⎩，∴343mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴3:34BC y x=-+，设(P t，3(1)(4))4t t-+-，则2(3Q t t-，3(1)(4))4t t-+-，24PQ t t∴=-+，//PQ AB，PQK ABK∴∆∆∽，∴224144(1)55PK PQ t tt tAK AB-+===-+--，15-<，∴当452 12()5t=-=⨯-时，PKAK有最大值为214422555-⨯+⨯=，故答案为：45．三、解答题：本大题共10小题，共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（8分）（1）计算：012(2020)2tan60π+--︒（2）解方程：2210x x--=解：（1）原式231231=+-=（2）2210x x--=，2212x x∴-+=，2(1)2x∴-=，12x∴=±20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC∆的三个顶点的坐标分别为点(1,0)A、(3,0)B、(0,1)C．（1）ABC∆的外接圆圆心M的坐标为(2,2)．（2）①以点M为位似中心，在网格区域内画出DEF∆，使得DEF∆与ABC∆位似，且点D 与点A对应，位似比为2:1．②点D坐标为．（3）DEF∆的面积为个平方单位．解：（1）如图：(2,2)M；故答案为：(2,2)；（2）①如图所示：DEF∆即为所求；②(4,6)D；故答案为：(4,6)；（3）DEF∆的面积为：14242⨯⨯=．故答案为：4．21．（8分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：（1）求m，n的值．（2）补全条形统计图．（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，故总人数有1220%60÷=人，1560100%25%m∴=÷⨯=960100%15%n=÷⨯=；（2）选D的有6012159618----=人，故条形统计图补充为：（3）全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：120025%300⨯=人．22．（8分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是2；（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为21 42 =，故答案为：12．（2）根据题意列表得：1234 1345235634574567由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果，所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为82 123=．23．（8分）如图，已知AB是O的直径，C是O上的点，点D在AB的延长线上，BCD BAC∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若30D ∠=︒，2BD =，求图中阴影部分的面积．解：（1）连接OC ， OA OC =， BAC OCA ∴∠=∠， BCD BAC ∠=∠， BCD OCA ∴∠=∠，AB 是直径， 90ACB ∴∠=︒，90OCA OCB BCD OCB ∴∠+∠=∠+∠=︒ 90OCD ∴∠=︒OC 是半径， CD ∴是O 的切线（2）设O 的半径为r ， 2AB r ∴=，30D ∠=︒，90OCD ∠=︒， 2OD r ∴=，60COB ∠=︒22r r ∴+=，2r ∴=，120AOC ∠=︒ 2BC ∴=，∴由勾股定理可知：3AC =易求123132AOC S ∆=⨯=120443603OAC S ππ⨯==扇形 ∴阴影部分面积为433π-24．（8分）如图，90ABD BCD∠=∠=︒，DB平分ADC∠，过点B作//BM CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：2BD AD CD=；（2）若6CD=，8AD=，求MN的长．【解答】证明：（1）DB平分ADC∠，ADB CDB∴∠=∠，且90ABD BCD∠=∠=︒，ABD BCD∴∆∆∽∴AD BDBD CD=2BD AD CD∴=（2）//BM CDMBD BDC∴∠=∠ADB MBD∴∠=∠，且90ABD∠=︒BM MD∴=，MAB MBA∠=∠4BM MD AM∴===2BD AD CD=，且6CD=，8AD=，248BD∴=，22212BC BD CD∴=-=22228MC MB BC∴=+=7MC∴=//BM CDMNB CND ∴∆∆∽∴23BM MNCD CN==，且27MC=475MN∴=25．（8分）2019年12月27日，我国成功发射了“长征五号”遥三运载火箭．如图，“长征五号”运载火箭从地面A处垂直向上发射，当火箭到达B处时，从位于地面M处的雷达站测得此时仰角45AMB∠=︒，当火箭继续升空到达C处时，从位于地面N处的雷达站测得此时仰角30ANC∠=︒，已知120MN km=，40BC km=．（1）求AB的长；（2）若“长征五号”运载火箭在C处进行“程序转弯”，且105ACD∠=︒，求雷达站N到其正上方点D的距离．解：（1）设AB为xkm，则AM为xkm，在Rt ACN∆中，30ANC∠=︒，tanAC ANCAN∴∠=340120xx+=+，解得：3x=∴403AB=（2）作DH CN ⊥，垂足为点H ，由（1）可得，40340AC =， ∴380CN =+，105ACD ∠=︒，45NCD ∴∠=︒，90AND ∠=︒，60CND ∴∠=︒，设HN 为y ，则3DH CH ==， ∴380380y +=，解得：80y =，2160DN y ∴==，答：雷达站N 到其正上方点D 的距离为160km ．26．（8分）某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式26y x =-+．（1）求这种产品第一年的利润1W （万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润2W 至少为多少万元．解：（1）21(6)(26)8032236W x x x x =--+-=-+-．（2）由题意：22032236x x =-+-．解得：16x =，答：该产品第一年的售价是16元．（3）公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．1416x ∴，22(5)(26)2031150W x x x x =--+-=-+-，抛物线的对称轴15.5x =，又1416x ，14x ∴=时，2W 有最小值，最小值88=（万元）， 答：该公司第二年的利润2W 至少为88万元．27．（10分）如图，已知二次函数2223(0)y x mx m m =-++>的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）点B 的坐标为 (3,0)m ，点D 的坐标为 ；（用含有m 的代数式表示）（2）连接CD ，BC ．①若CB 平分OCD ∠，求二次函数的表达式；②连接AC ，若CB 平分ACD ∠，求二次函数的表达式．解：（1）在二次函数2223y x mx m =-++中，当0y =时，13x m =，2x m =-，点A 在点B 的左侧，0m >，(,0)A m ∴-，(3,0)B m ，222223()4y x mx m x m m =-++=--+，∴顶点2(,4)D m m ，∴故答案为：(3,0)m ，2(,4)m m ；（2）①如图1，过点D 作DH AB ⊥，交BC 于点E ，则//DH OC ，DEC OCE ∴∠=∠， BC 平分OCD ∠，OCE DCE ∴∠=∠，DEC DCE ∴∠=∠，CD DE ∴=，由（1）知，2(0,3)C m ，(,0)A m -，(3,0)B m ，23OC m ∴=，3OB m =，23tan 3m ABC m m∠==， 22HE m ∴=，222422DE DH HE m m m ∴=-=-=，CD DE =，22CD DE ∴=，2424m m m ∴+=，解得：1m =2m =，∴二次函数的关系式为：21y x x =-++；②如图2，过点D 作DH AB ⊥，交BC 于点E ，过点C 作y 轴的垂线CK ，过点B 作x 轴的垂线交CK 于点K ，连接AE ，tan DG DCG m CG ∠==，tan BK KCB m CK∠==，DCG KCB∴∠=∠，//CK AB∴，KCB EBA∴∠=∠，由对称性知，DH垂直平分AB，EA EB∴=，EAB EBA∴∠=∠，DCG KCB EBA EAB∴∠=∠=∠=∠，AEC EAB EBA∠=∠+∠，DCB DCG KCB∠=∠+∠，CB平分ACD∠，DCB AEC ACE∴∠=∠=∠，AC AE∴=，2222AC AE EH AH∴==+，2442944m m m m∴+=+，解得：115 5m=，215 5m=-（舍去），∴二次函数的关系式为：22159 55y x x=-++．28．（10分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作//DE AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F 、G ．（1）求CD 的长．（2）若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值． （3）请问当DM 的长满足什么条件时，在线段DE 上恰好只有一点P ，使得60CPG ∠=︒？ 解：（1）AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒， 1302DAC BAC ∴∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，3tan 30623DC AC =︒== （2）由题意易知：63BC =，43BD =，//DE AC ，FDM GAM ∴∠=∠，AM DM =，DMF AMG ∠=∠， ()DFM AGM ASA ∴∆≅∆， DF AG ∴=，//DE AC ， ∴EF BE BD AG AB BC ==， ∴432363EF EF BD DF AG BC ====．（3）60CPG ∠=︒，过C ，P ，G 作外接圆，圆心为Q ， CQG ∴∆是顶角为120︒的等腰三角形． ①当Q 与DE 相切时，如图31-中，作QH AC ⊥于H ，交DE 于P ．连接QC ，QG ．设Q 的半径为r ．则12QH r =，1232r r +=， 43r ∴= 4334CG ∴==，2AG =， 由DFM AGM ∆∆∽，可得43DM DF AM AG ==， 41637DM AD ∴==． ②当Q 经过点E 时，如图32-中，延长CQ 交AB 于K ，设CQ r =．QC QG =，120CQG ∠=︒， 30KCA ∴∠=︒， 60CAB ∠=︒， 90AKC ∴∠=︒， 在Rt EQK ∆中，33QK r =-，EQ r =，1EK =， 2221(33)r r ∴+-=， 解得1439r =， 14314393CG ∴=⨯=， 由DFM AGM ∆∆∽，可得1435DM =． ③当Q 经过点D 时，如图33-中，此时点M ，点G 与点A 重合，可得43DM AD ==．观察图象可知：当DM=43<时，满足条件的点P只有一个．DM。