线性变换是向量空间V的一种特殊变换，它满足对任意向量α,β及实数k，有σ(α+β)＝σ(α)+σ(β)和σ(kα)=kσ(α)两个条件。在二维几何空间V2中，旋转变换是线性变换的一个例子，它将每个向量旋转一定角度，同时保持线性关系。在三维空间V3中，对过原点的平面H的正投影变换也是线性变换。此外，在数域F上的线性空间中，可以通过规定特定的变换规则来，证明其满足线性变换的条件。其他例子还包括数乘变换、微商变换和积分变换等，它们都在各自的空间或变换中展示了线性变换的性质和应用。