因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS

p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
DN lim Nsys t δt Nsys t
Dt
δt0
δt
§4-1 雷诺输运定理（续5）
Nsys t δt NCV t δt NI t δt NIII t δt
Nsys t NCV t
DN lim NCV t δt NCV t lim NI t δt lim NIII t δt
ρ ρx，y，z 密度不随时间变化，即：
ρdτ 0
t CV
则方程为： V n dS 0 CS
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续4）
注意：
n
n
流体流出控制体时，点积 V和n 的夹角小于
90º，它们的矢量点积为正，对应于流出面积上的
积分值大于零；
流体流入控制体时，矢量点积 V n 为负，
系统占据区域 控制体CV
§4-1 雷诺输运定理（续3）
在dt时间内由
控制面CSI流入 控制体的流体
在dt时间内由控 制面CSIII流出控
制体的流体
设：r ,t 是流场内定义的单位体积流体的物
理分布函数，在系统体积 内作积分，可求出系
统所包含的总物理量。
§4-1 雷诺输运定理（续4）
N dτ
系统的总物质 不同的物理量
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续2）
均质不可压缩流
为常数，则：
ρdτ ρ dτ ρτ
t CV
t CV t
由于控制体的体积固定不变，所以 dτ 0 则有：
V n dS 0 CS
上式适用于不可压缩流体，对定常和非定 常流动均适用。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续3） 对于定常流动（可压缩或不可压缩）
对应于流入面积上的积分小于零；
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续5）
如果流体仅在控制面的有限个区域流出或流入， 则上述面积分仅需分别在这些区域进行，即：
•
CS V n dS m 0
进口或出口区域 的质量流量
如果流体密度和速度在进口或出口处均匀分布，
•
且流速方向与开口面积垂直，则：m ρVA
取控制体：流管侧面和两端包围的空间。 设：
流动是定常和无摩擦的，流体均质不可压缩，
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续24）
质量守恒
连续性方程 （定常流）
CS V n dS 0
VS ρV V S S 0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续26）
动量守恒
动量方程（定常流）
FSl FBl CS Vl V n dS
解： 第一步：取控制体
包围整个水箱，除两个通道外，控制体其余部 分均无流体穿过。 第二步：列出连续性方程
容器内包含两种流体，其中空气为可压缩流体， 所以是一个非定常流动问题，其方程为：
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续8）
dτ V n dS 0
t CV
CS
t
CV
dτ
t
w Sh
第二步：列出连续性方程 由于是定常流动，且密度为常数，控制体的连
续性方程为：
V n dS 0 CS
控制面有一个进口两个出口，其余部分无流体 通过，所以方程可写成：
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续16）
V n dS V n dS V n dS V n dS
CS
S0
S1
t
a S
H
h
w
S
dh dt
CS V n dS wV2 S2 wV1S1
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续9）
连续方程为：
w
S
dh dt
wV2 S2 wV1S1 0
dh V1S1 V2 S2
dt
S
第三步：分析方程并给出结论
进水量大于出水量时 dh 0 ，反之 dh 0 。
§4-1 雷诺输运定理
控制体CV是指流场中某一确定的空间区域，
控制体的边界面称为控制面CS，控制面上可以
有质量交换，即有流体流进或流出，因此占据
控制体的流体质点是随时间而变化的。
通常采用物理定律来描述系统，如动量定理：
外界作用于 系统的合力
F dk dt
系统的动量
k ρV dτ
τ——系统所占的体积
相对于控制体的速度
该项为通过面积微元 dS 的动量流率
物理意义：作用在静止控制体上的所有外力之合等于该控制体内的流体总 动量的时间变化率与通过控制面的净动量流率之和。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续13）
在直角坐标系中的三个分量分别为：
Fx FBx FSx t
ρ u dτ
CV
d
M τ ρdτ
根据质量守恒定律：
DM 0 Dt
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续1）
DN
D tt
CV
dτ CdS τV
t CV
ndVS n0dS
CS
控制体内流体质 量变化率
相对于控制 体的速度
CS的外法线 单位矢量
流出控制体 的质量流率
上述公式表示，单位时间内控制体
内流体质量的增量与流出控制体的流体 质量之和等于零。
例题4-2：
理想均质不可压缩流 体的平面射流从无穷远处 流来，与无限大平板相遇 后，分支流随着远离分支 点而渐渐与平板平行流动。
平板与水平面夹角为，其
它参数如图所示。 求：挡板所受作用力及流
量Q1、Q2（V1=V2=V0）
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续15） 第一步：分析流体的流动状态和档板所受的作用力。
δp δV 2 gδ z 0 ρ 2 流体是均质不可压缩的，所以积分上式得： p V 2 gz C（常数）——伯努力方程 ρ2
描述了沿流线方向压强速度和高度间的关系，该方程适应条 件：定常流、无粘性摩擦，均质不可压缩流体，沿流线方向。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续29）
例题4-3： 用伯努力方程计算弯管的进口压强（绝对压
强）。
解： 假设流动是定常、
无摩擦的。 水可看作均质不
可压缩流体，弯管可 看作一段流管，
δt0
δt
CS III
在控制面CSIII上V和n夹角小于90º。将上面 各项代入式中得：
DN δτ V n dS V n dS
Dt t CV
CS I
CS III
§4-1 雷诺输运定理（续8）
CSI +CSIII= CS 上式可写成：
DN dτ V n dS
Dt t CV
Dt δt0
δt
δt0
δt
δt0
δt
NCV dτ
t t CV
dt 从控制面
CS1流入的 物理量
dt 从控制面 CSIII流出的
物理量
§4-1 雷诺输运定理（续6）
δt 时间内经过微元面积 δ S1 流入的流体体积为：
δτ V n δS1δt
注意：在CS1上速度矢量和控制面外法线单位 矢量n的夹角大于90º，因此，计算流入控制体的微
元体积 时V， n 前应加负号，于是有：
lim N I t δt lim 1
δt 0
δt
δt 0 δt
I t δt dτ
lim 1 V n dSdt V n dS
δt δt0
CSI
CSI
§4-1 雷诺输运定理（续7）
同理可推得：
lim NIII t δt
V n dS
§4-1 雷诺输运定理（续1）
由于系统不断改变其位置、形状和大小， 组成系统的流体质点的密度和速度随时间改变 其值，求其对时间的变化率即：
dk d
dt dt τ ρV dτ
如何采用欧拉变量来表示体积分的物质导数？ 采用雷诺输运定理来解决这一问题。
§4-1 雷诺输运定理（续2）
系统分界面 静止控制体
工程流体力学A
第四章 流体动力学基础
第四章 流体动力学基础