= ( k a ) ⊕ ( k b) ;
上的线性空间． ∴ R＋构成实数域 R上的线性空间． 上的线性空间
§6.2 线性空间的定义与简单性质
例6
V = f ( A) f ( x ) ∈ R[ x ], A ∈ R n×n 令
{
}
阶方阵A的实系数多项式的全体 的实系数多项式的全体， 即n 阶方阵 的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 关于矩阵 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间． 的加法和数量乘法构成实数域 上的线性空间． 上的线性空间 证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知
§6.2 线性空间的定义与简单性质
3、0α = 0, k 0 = 0, ( − 1)α = −α , 、 k (α − β ) = kα − k β 证明： 证明：∵ 0α + α = (0 + 1)α = α ,
∴两边加上 −α 即得 0 α ＝0； ∵
kα = k (α + 0) = kα + k 0
§6.2 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的定义
是一个非空集合， 是一个数域 在集合V中 是一个数域， 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合 中 是一个非空集合 定义了一种代数运算，叫做加法： 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 ∀α , β ∈ V ， 加法 在V中都存在唯一的一个元素 γ 与它们对应，称 γ 为 中都存在唯一的一个元素 与它们对应， 与 的元素之间还 α 与β 的和，记为 γ = α + β ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法： 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 ∀ α ∈ V , ∀ k ∈ P , 数量乘法 中都存在唯一的一个元素δ与它们对应 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称δ为 中都存在唯一的一个元素 与它们对应， 为 数量乘积， k与α的数量乘积，记为 δ = kα.
+ (−1α ) = 1α + (−1α ) = (1 − 1)α = 0α = 0
即得k ∴两边加上 − kα ；即得 0＝0 ; ∵α ∴两边加上－α 即得 ( − 1)α = −α ; 两边加上－
− β ) + k β = k (α − β + β ) = kα ∴两边加上 − k β 即得 k (α − β ) = kα − k β .
1 1 2 2 ⊕ = log 2 = −1∉ R＋． 2
2) R＋构成实数域 上的线性空间． 构成实数域R上的线性空间 上的线性空间． 首先， 且加法和数量乘法对R 是封闭的. 首先，R＋≠ ∅ ，且加法和数量乘法对 ＋是封闭的.
∅ ⊕
事实上, ∀a , b ∈ R + , a ⊕ b = ab ∈ R + ,且 ab唯一确定； 唯一确定； 事实上, 唯一确定
§6.2 线性空间的定义与简单性质
∵k (α
4、如果 kα ＝0，那么 ＝0或 α 0. 、 ，那么k＝ 或 ＝ 证明： 证明：假若 k ≠ 0, 则
α = ( k −1k )α = k −1 ( kα ) = k −1 0 题 1）2）4） ） ） ）
§6.2 线性空间的定义与简单性质
a ③ 1∈ R＋， ⊕ 1 = a1 = a, ∀ a ∈R＋，即1是零元； 即 是零元；
④ ∀a ∈
1 ＋， R
⑤ 1 a = a 1 = a ; ∀a ∈ R＋； ⑥ k ( l a ) = k a = (a ) = a
l l k lk
1 即 a 的负元素是 a
k
∀a, b ∈ R + , ∀k ∈ R 加法与数量乘法定义为： 2) 加法与数量乘法定义为：
a ⊕ b = ab
k a=a
k
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 . 上的线性空间
§6.2 线性空间的定义与简单性质
） 不构成实数域 上的线性空间. 上的线性空间 解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间. ⊕不封闭，如 不封闭，
§6.2 线性空间的定义与简单性质
如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称 为数域 上的线性空间 为数域P上的线性空间： 法还满足下述规则，则称V为数域 上的线性空间：
加法满足下列四条规则： 加法满足下列四条规则： ①
∀α , β , γ ∈ V
α + β = β +α ② (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) 中有一个元素0， ③ 在V中有一个元素 ，对 ∀α ∈ V , 有 α + 0 = α 中有一个元素
2、证明：数域P上的线性空间 若含有一个非零 、证明：数域 上的线性空间 上的线性空间V若含有一个非零 向量， 一定含有无穷多个向量. 向量，则V一定含有无穷多个向量 一定含有无穷多个向量
§6.2 线性空间的定义与简单性质
证：设 α ∈ V , 且 α ≠ 0
∀k1 , k2 ∈ P , k1 ≠ k2 , 有 k1α , k2α ∈ V
又 k1α－k2α = ( k1 − k2 )α ≠ 0
§6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
证明：假设线性空间 有两个零元素 有两个零元素0 证明：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V ，的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
§6.2 线性空间的定义与简单性质
例1 例2
引例1, 中的 上的线性空间． 引例 2中的 Pn, P[x] 均为数域 P上的线性空间． 上的线性空间 数域 P上的次数小于 n 的多项式的全体，再添 上的次数小于 的多项式的全体，
上零多项式作成的集合， 上零多项式作成的集合，按多项式的加法和数量乘 上的一个线性空间， 表示． 法构成数域 P上的一个线性空间，常用 P[x]n表示． 上的一个线性空间
P[ x ]n = { f ( x ) = an−1 x n−1 + ⋯ + a1 x + a0 an−1 ,⋯ , a1 , a0 ∈ P }
例3
矩阵的全体作成的集合, 数域 P上 m × n 矩阵的全体作成的集合,按矩阵 上
的加法和数量乘法， 上的一个线性空间， 的加法和数量乘法，构成数域 P上的一个线性空间， 上的一个线性空间 表示． 用 P m×n 表示．
+ ∀a ∈ R + , ∀k ∈ R, k a = a k ∈ R,且 ak 唯一确定． 唯一确定．
其次， 其次，加法和数量乘法满足下列算律 ① a ⊕ b = ab = ba = b ⊕ a ② (a ⊕ b) ⊕ c = (ab) ⊕ c = (ab)c = a(bc) = a ⊕(bc) = a ⊕(b ⊕ c)
k (α + β ) = kα + k β
数量乘法与加法满足下列两条规则： 数量乘法与加法满足下列两条规则：
§6.2 线性空间的定义与简单性质
( k + l )α = kα + lα
⑧
注：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 ． 称为线性运算 线性运算． 称为线性运算． 2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 ．线性空间的元素也称为向量， 向量 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组． 3 ．线性空间的判定： 线性空间的判定： 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭， 若集合对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者 运算封闭但不满足八条规则中的任一条， 运算封闭但不满足八条规则中的任一条，则此集合 就不能构成线性空间． 就不能构成线性空间．
§6.2 线性空间的定义与简单性质
引例 1
在第三章§ 中 我们讨论了数域P上的 上的n维向量 在第三章§2中，我们讨论了数域 上的 维向量
空间P 定义了两个向量的加法和数量乘法： 空间 n，定义了两个向量的加法和数量乘法：
(a1 , a2 ,⋯ , an ) + (b1 , b2 ,⋯ , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 ,⋯ , an + bn )
k (a1 , a2 ,⋯ , an ) = ( ka1 , ka2 ,⋯ , kan ), k ∈ P
而且这两种运算满足一些重要的规律,如 而且这两种运算满足一些重要的规律,
α + β = β +α (α + β ) + γ = α + ( β + γ )
1α = α k ( lα ) = ( kl )α
1 1 ∈ R＋，且 a ⊕ = a = 1 a a a
；
= a = ( kl ) a ;
kl
⑦ (k + l )
a=a
k +l
= a a = a ⊕ a = (k a ) ⊕ (l a )
k l k l
k k k k k
⑧ k ( a ⊕ b ) = k ( ab ) = ( ab ) = a b = a ⊕ b
称为V的零元素） （具有这个性质的元素0称为 的零元素） 具有这个性质的元素 称为 ④ 对 ∀α ∈ V , 都有 中的一个元素β，使得 都有V中的一个元素 中的一个元素β 负元素） α + β = 0 ;（β称为α 的负元素） 数量乘法满足下列两条规则 : ⑤ 1α ⑦
=α
⑥
k ( lα ) = ( kl )α
f ( A) + g ( A) = h( A), kf ( A) = d ( A) 其中， 其中，k ∈ R, h( x ), d ( A) ∈ R[ x ]
中含有A的零多项式 的零元素. 又V中含有 的零多项式，即零矩阵 ，为V的零元素 中含有 的零多项式，即零矩阵0， 的零元素 以 f(x)的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 的各项系数的相反数为系数作成的多项式记为 有负元素－ －f(x) , 则 f(A)有负元素－f(A). 由于矩阵的加法与数 有负元素 乘满足其他各条， 为实数域R上的线性空间 乘满足其他各条，故V为实数域 上的线性空间 为实数域 上的线性空间.