初等数论（十） ——二次剩余
一、知识要点 （一）、基本定义与定理
1、定义1：设奇质数p ，d 是整数，d p |/．若同余方程)(mod 2p d x ≡有解，则称
d 是模p 的二次剩余（亦称平方剩余）；若无解，则称d 是模p 的二次非剩余（亦称平方非
剩余）．
注：当讨论二次（非）剩余时，一般都约定p 是奇质数． 2、定理1：在模p 的一个简化剩余系．．．．．
中，恰有21-p 个模p 的二次剩余，2
1
-p 个模p 的二次非剩余．并且，若d 是模p 的二次剩余，则同余方程)(mod 2p d x ≡的解数是2． 推论：模p 的二次剩余包含在2
2
122)
(,,2,1-p 的剩余类中． 3、几个常见模的二次剩余与二次非剩余
4、定理2（Euler 判别法）：设奇质数p ，d 是整数，d p |/
． (1) d 是模p 的二次剩余的充要条件是)(mod 12
1
p d
p ≡-；
（2）d 是模p 的二次非剩余的充要条件是)(mod 11p d p -≡-．
5、定义2（Legendre 符号）：设奇质数p ，定义整数d 的函数：
⎪
⎩⎪
⎨⎧-=.
|,
0;,
1;,
1)(d p p d p d p d 的二次非剩余是模的二次剩余是模 注：)(p
d 读作d 对p 的勒让得符号． 6、Legendr
e 符号的几个性质
① )(
)(p d p p d +=； ②)(mod )(2
1p d p d p -≡；③21
)1()1(,1)1(--=-=p p
p ；
④ )())(()(2121p a p a p a p a a a n n =，特别地c p p
d
p dc |),()(2/=． 7、定理3：（1）12)
1()2
(--=p p
；（2）奇质数q p ,满足,1),(=p q 则∑-=-=2
11][)1()(p k p qk
p
q
．
推论：当18±=m p 时，2是二次剩余；当38±=m p 时，2是二次非剩余． 注：①奇质数112±=k p ，则1)3(=p ；奇质数512±=k p ，则1)3(-=p
．
②奇质数18+=k p 或38+=k p 时，则1)2
(=-p
． 8、定理4（Gauss 二次互反律）
设q p ,均为奇质数，且1),(=q p ，则)()1()(1
1q
p p q q p --⋅
-=．
9、定理5（Lagrange ）：每一正整数都能表示成四个整数的平方和．
二、典型问题分析
例1、（1）设质数5≥p ．证明：模p 的全部二次剩余的和是p 的倍数． （2）设p 是奇质数．证明：在1,,2,1-p 中全体模p 的二次剩余
的和][24)
1(1
21
2
∑-=--=p j p j p p p S ．
例2、设奇质数p ，21,d d 是整数，1|d p /，2|d p /．
（1）若21,d d 均为模p 的二次剩余，则21d d 是模p 的二次剩余； （2）若21,d d 均为模p 的二次非剩余，则21d d 是模p 的二次剩余；
（3）若21,d d 分别是模p 的二次剩余和二次非剩余，则21d d 是模p 的二次非剩余．
例3、设p 是奇质数．证明：1-是模p 的二次剩余的充要条件是)4(mod 1≡p ．
例4、判断下列同余方程的解数：
① )61(mod 12-≡x ； ②)51(mod 162≡x ；
③)209(mod 22-≡x ； ④)187(mod 632-≡x ．
例5、设p 是奇质数，若1)(-=p
d ，求证：p dy x =-22无整数解．
例6、证明：不定方程17232=+y x 无整数解．
例7、证明：不定方程122232
2=-+y xy x 无整数解．
例8、证明：14
+x 的奇质因数)8(mod 1≡p ．
例9、证明：费马数122+=n
n F )2(≥n 的质因数122
+=+t p n ，t 是整数．
例10、设12+=k p ，N k ∈，且2≥k ． 求证：p 是质数的充要条件是)(mod 13
2
1p p -≡-．
例11、设p 是满足)4(mod 1≡p 的奇质数，求∑-=1
12
}{p k p
k 的值，其中][}{x x x -=，]
[x 为不超过实数x 的最大整数．
例12、设p 为奇质数，证明：不定方程2
22y x p +=有正整数解的
充要条件是1)2
(
=-p
，即18+=m p 或38+=m p ．。