抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。

A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。

A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。

A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。

2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。

4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。

5、环Z8的零因子有 -------------- 。

&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。

7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。

8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。

9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。

s+s也是子环吗?3、设有置换(1345)(1245) ，(234)(456) S6。

11．求和；12．确定置换和1的奇偶性。

四、证明题(本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分)1、一个除环R 只有两个理想就是零理想和单位理想。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e近世代数模拟试题三 参考答案一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个 备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、 多选或未选均无分。

1、C ;2、C ;3、D;4、D;5、A ;二、 填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正 确答案。

错填、不填均无分。

1、唯一、唯一；2、a ； 3、2; 4、24; 5、; 6 相等；7、商群；8、特征；9、mn ;三、 解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。

用笔在纸上画一下，用 黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只 1种，四白一黑1种，三白二黑2 种，…等等，可得总共8种。

2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b € S1n S2有a-b, ab € S1n S2:因为 S1，S2 是 A 的子环，故 a-b, ab € S1 和 a-b, ab € S2， 因而a-b, ab € S1n S2，所以S1n S2是子环。

S1+S2不 一定是子环。

在矩阵环中很容易找到反例：场见屍与禺均为子环”但&斗&彳：:I 讥〃 2卜是子环3、解：11 (1243)(56) (16524).2•两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、证明：假定 是R 的一个理想而 不是零理想，那么a 0 ，由理想的定卜 €*-{L 茁10 0 ■ ■ 0上E 2卜,i 知二吟％1义a a 1 ，因而R 的任意元b b ?1这就是说 =R ，证毕 2、证必要性：将b 代入即可得。

充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e ， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e ， 所以b=a-1 o•判断题(每小题2分,共20分)1.实数集R 关于数的乘法成群•有限域的特征是合数.10.整数环Z 的全部理想为形如 nZ 的理想. 二•选择题(每小题3分,共15分)的阶G 2.若H 是群G 的一个非空有限子集， 且a,b H 都有ab H 成立，则H 是G 的一个子3. 循环群一定是交换群.4. 素数阶循环群是单群•5. 设G 是有限群，a G , n 是a 的阶，若a ke ，则 n|k .6. 设f 是群G 到群G 的同态映射，H 是G 的子群，贝U f 是G 的子群.7. 交换群的子群是正规子群8. 设G 是有限群，H 是G 的子群，贝U GH |G| |H |9. 11.下面的代数系统 G, 中，( )不是群. A.G 为整数集合, 为加法; B. G 为偶数集合, 为加法; C. G 为有理数集合,为加法;D.G 为整数集合, 为乘法.12.设H 是G 的子群，且G 有左陪集分类H,aH,bH,cH.如果H 的阶为6,那么GA. 6 ;B.24 ;C.10 ;D.12.设S 31 , 12 , 13 , 23 , 123 , 132 ,，则S 3中与元123不能交换的元的个数是 A. 1 ;B. 2 ;C. 3 ;D.4.从同构的观点看，循环群有且只有两种，分别是（）A. G= （ a ）与G 的子群；B.整数加法群与模n 的剩余类的加法群；C.变换群与置换群；D.有理数加法群与模n 的剩余类的加法群.整数环Z 中，可逆元的个数是（） 。

A.1个B.2 个C.4个D.无限个填空题（每小题3分,共15分）如果G 是全体非零有理数的集合，对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元 是 __ .n 次对称群S n 的阶是 ___________ .整数加法群Z 关于子群nZ 的陪集为设N 是G 的正规子群，商群 G N 中的单位元是 __________ 。

若R 是交换环，a R 则主理想 a _____________1 2 3 4 5 6令 6 5 4 3 2 1设H ｛（1）, （123）, （132）｝是3次对称群S 3的子群，求H 的所有左陪集和右陪集，并说 明H 是否是S 3的正规子群.证明题（每题10分，共30分）13. 14. 15.16.17. 18. 19. 20. 四.21. 22.五.计算题（第21小题8分, 第22小题12分，共20分）23.设G是群，H是G的子群，证明：a G,则aHa 1也是子群24.设G是群，H是G的正规子群• G关于H的陪集的集合为GH {gH|g G},证明：G/ H对于陪集的乘法成为一个群，称为G对H的商群.25.证明：域F上全体n n矩阵的集合M n F在矩阵的加法和乘法下成为环一•判断题（每小题2分，共20分）1-10 xx"""二•选择题（每小题3分,共15分）11. D; 12. B ; 13. C; 14. B; 15. B.三•填空题（每小题3分,共15分）16. 1 ；17. n! ；18. nZ,nZ 1,L ,nZ n 1 ；19. N ; 20. aR.四•计算下列各题（第21小题8分，第22小题12分，共20分）1 2 3 4 5 621.解：，LLL LLL LLLLLL LLL4 分5 46 2 1 3i 1 2 3 4 5 6 1.LLLLLLLLLLLLLLLLLL8 分3 1 2 64 522•解：H的所有左陪集为H {(1),(123),(132)},12 H {(12),(13),(23)} ；L L L L L L L L L L L L L L L 4 分H的所有右陪集为H {(1),(123),(132)} , H 12 {(12),(13),(23)}.对S3，有H H ，即H是正规子群.LLL L L L L L L 12分五•证明题(每题10分，共30分)23. 证明：因为H是G的子群，对任意x, y H，有xy 1H . L L L 4分,, 1 11 1由题意，对任意x, y H ，有axa , ay a aHa ，从而axa 1 ay 1a 1axy 1a 1 aHa 1，即aHa 1也是子群• L L L L L L 10 分24. 证明：首先G H对于上述乘法是封闭的，且乘法满足结合律.L L L 3分陪集H eH是它的单位元，eHgH egH gH , g H . L L L 7分又任意gH，有g 1HgH eH gHg 1H，即g 1H是gH的逆元.L L L 10分25. 证明：M n F关于加法是封闭的，且满足结合律，L L L L L L 3分零元是，对任意代.M.F ，有代. An 0n n，即代n的负元是代n・M n F关于乘法是封闭的，且满足结合律，单位元是E nn.LLLLLL 8分乘法关于加法的分配律成立•LLL LLL LLL LLLLLL 10分。