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高中数学解题基本方法——换元法

高中数学解题基本方法——换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。

换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式:4x+2x-2≥0,先变形为设2x=t(t>0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y=x+1-x的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sin2α,α∈[0,π2],问题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2+y2=r2(r>0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。

均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=S2+t,y=S2-t等等。

我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。

Ⅰ、再现性题组:1.y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x2+1)=loga(4-x4) (a>1),则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{an }中,a1=-1,an+1·an=an+1-an,则数列通项an=___________。

4.设实数x、y满足x2+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。

5.方程1313++-xx=3的解是_______________。

6.不等式log2(2x-1) ·log2(2x+1-2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题:设sinx+cosx =t ∈[-2,2],则y =t 22+t -12,对称轴t =-1,当t =2,y max =12+2;2小题:设x 2+1=t (t ≥1),则f(t)=log a [-(t-1)2+4],所以值域为(-∞,log a 4]; 3小题:已知变形为11a n +-1a n =-1,设b n =1a n,则b 1=-1,b n =-1+(n -1)(-1)=-n ,所以a n =-1n;4小题:设x +y =k ,则x 2-2kx +1=0, △=4k 2-4≥0,所以k ≥1或k ≤-1; 5小题:设3x =y ,则3y 2+2y -1=0,解得y =13,所以x =-1; 6小题:设log 2(2x -1)=y ,则y(y +1)<2,解得-2<y<1,所以x ∈(log 254,log 23)。

Ⅱ、示范性题组:例1. 实数x 、y 满足4x 2-5xy +4y 2=5 ( ①式) ,设S =x 2+y 2,求1S max+1S min的值。

(93年全国高中数学联赛题)【分析】 由S =x 2+y 2联想到cos 2α+sin 2α=1,于是进行三角换元,设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式求S max 和S min 的值。

【解】设x S y S ==⎧⎨⎪⎩⎪cos sin αα代入①式得: 4S -5S ·sin αcos α=5解得 S =10852-sin α;∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8-5sin2α≤13 ∴1013≤1085-sin α≤103∴1S max+1S min=310+1310=1610=85此种解法后面求S 最大值和最小值,还可由sin2α=810S S-的有界性而求,即解不等式:|810S S-|≤1。

这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。

【另解】 由S =x 2+y 2,设x 2=S 2+t ,y 2=S 2-t ,t ∈[-S 2,S2], 则xy =±S t 224-代入①式得:4S ±5St 224-=5,移项平方整理得 100t 2+39S 2-160S +100=0 。

∴ 39S 2-160S +100≤0 解得:1013≤S ≤103∴1S max+1S min=310+1310=1610=85【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条件S =x 2+y 2与三角公式cos 2α+sin 2α=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。

第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S =x 2+y 2而按照均值换元的思路,设x 2=S 2+t 、y 2=S 2-t ,减少了元的个数,问题且容易求解。

另外,还用到了求值域的几种方法:有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变量x 、y 时,可以设x =a +b ,y =a -b ,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。

本题设x =a +b ,y =a -b ,代入①式整理得3a 2+13b 2=5 ,求得a 2∈[0,53],所以S =(a -b)2+(a +b)2=2(a 2+b 2)=1013+2013a 2∈[1013,103],再求1S max +1S min 的值。

例2. △ABC 的三个内角A 、B 、C 满足:A +C =2B ,1cos A +1cos C=-2cos B ,求cosA C-2的值。

(96年全国理) 【分析】 由已知“A +C =2B ”和“三角形内角和等于180°”的性质,可得A CB +=⎧⎨⎩12060°=°;由“A +C =120°”进行均值换元,则设A C =°α=°-α6060+⎧⎨⎩ ,再代入可求cos α即cosA C-2。

【解】由△ABC 中已知A +C =2B ,可得 A C B +=⎧⎨⎩12060°=°,由A+C=120°,设AC=°α=°-α6060+⎧⎨⎩,代入已知等式得:1 cos A +1cos C=160cos()︒+α+160cos()︒-α=11232cos sinαα-+11 232cos sinαα+=coscos sinααα143422-=coscosαα234-=-22,解得:cosα=22,即:cosA C-2=22。

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。

所以1cos A+1cos C=-2cos B=-22,设1cos A=-2+m,1cos C=-2-m ,所以cosA=12-+m,cosC=12--m,两式分别相加、相减得:cosA+cosC=2cos A C+2cosA C-2=cosA C-2=2222m-,cosA-cosC=-2sin A C+2sinA C-2=-3sinA C-2=222mm-,即:sin A C-2=-2322mm()-,=-2222m-,代入sin2A C-2+cos2A C-2=1整理得:3m4-16m-12=0,解出m2=6,代入cos A C-2=2222m-=22。

【注】本题两种解法由“A+C=120°”、“1cos A+1cos C=-22”分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。

假如未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。

所以1cos A+1cos C=-2cos B=-22,即cosA+cosC=-22cosAcosC,和积互化得:2cos A C+2cosA C-2=-2[cos(A+C)+cos(A-C),即cosA C-2=22-2cos(A-C)=22-2(2cos2A C-2-1),整理得:42cos2A C-2+2cosA C-2-32=0,解得:cos A C-2=22例3. 设a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a2的最大值和最小值。

【解】设sinx+cosx=t,则t∈[-2,2],由(sinx+cosx)2=1+2sinx·cosx得:sinx·cosx=t21 2 -∴ f(x)=g(t)=-12(t-2a)2+12(a>0),t∈[-2,2]t=-2时,取最小值:-2a2-22a-1 2当2a≥2时,t=2,取最大值:-2a2+22a-12;当0<2a≤2时,t=2a,取最大值:12。

∴ f(x)的最小值为-2a2-22a-12,最大值为122222212222()()<<-+-≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪aa a a。

【注】此题属于局部换元法,设sinx+cosx=t后,抓住sinx+cosx与sinx·cosx 的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。

换元过程中一定要注意新的参数的范围(t∈[-2,2])与sinx+cosx对应,否则将会出错。

本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

一般地,在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时,即函数为f(sinx±cosx,sinxcsox),经常用到这样设元的换元法,转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。

例4. 设对所于有实数x,不等式x2log241()aa++2x log221aa++log2()aa+1422>0恒成立,求a的取值范围。

(87年全国理)y【分析】不等式中log 241()a a +、 log 221aa +、log 2()a a +1422三项有何联系?进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。

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