2020年中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1．﹣5的相反数是（）A．B．5C．﹣5D．﹣2．下列运算中正确的是（）A．2a2•a＝3a3B．（ab2）2＝ab4C．2ab2÷b2＝2a D．（a+b）2＝a2+b23．新冠病毒平均直径为0.0001毫米，但它以飞沫传播为主，而飞沫的直径是大于5微米的，所以N95或医用口罩能起到防护作用，用科学记数法表示0.0001毫米是（）A．0.1×10﹣5毫米B．10﹣4毫米C．10﹣3毫米D．0.1×10﹣3毫米4．一个不等式的解集为﹣1＜x≤2，那么在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．某露天舞台如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．6．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在0.6，则估计口袋中大约有红球（）A．24个B．10个C．9个D．4个7．某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人）317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．17，8.5B．17，9C．8，9D．8，8.58．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF翻折得△GEF，若EG∥AD，FG∥DC，则以下结论一定成立的是（）A．∠D＝∠B B．∠D＝180°﹣∠B C．∠D＝∠C D．∠D＝180°﹣∠C9．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（）A．πB．πC．πD．π10．如图，四个菱形①②③④的较小内角均与已知平行四边形ABCD的∠A相等，边长各不相同．将这四个菱形如图所示放入平行四边形中，未被四个菱形覆盖的部分用阴影表示．若已知两个阴影部分的周长的差，则不需测量就能知道周长的菱形为（）A．①B．②C．③D．④二、填空题（本题6小题，每小题5分，共30分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．分式方程＝的解是．13．已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）14．如图，平行四边形ABCD中，M，N分别为边BC，CD的中点，且∠MAN＝∠ABC，则的值是．15．如图，已知平面直角坐标系中A点坐标为（0，4），以OA为一边在第一象限作平行四边形OABC，对角线AC、OB相交于点E，AB＝2OA．若反比例函数y＝的图象恰好经过点C和点E，则k的值为．16．如图，半径为2的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．三、解答题（本题8小题，共80分.）17．（1）计算：2﹣1+2cos30°+（π﹣3.14）0﹣．（2）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．18．延迟开学期间，学校为了全面分析学生的网课学习情况，进行了一次抽样调查（把学习情况分为三个层次，A：能主动完成老师布置的作业并合理安排课外时间自主学习；B：只完成老师布置的作业；C：不完成老师的作业），并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；（2）将条形图补充完整；（3）求出图2中C所占的圆心角的度数；（4）如果学校开学后对A层次的学生奖励一次看电影，根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中大约有多少名学生能获得奖励？19．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．（1）求m的值及二次函数解析式；（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．20．如图，BC是坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是45°和60°．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果保留根号）．21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DE的长．22．在“前线医护人员”和全国人民的共同努力下，疫情得到了有效控制，宁波各大企业复工复产有序进行．为了实现员工“一站式”返岗，宁波某企业打算租赁5辆客车前往宁波东站接员工返岗．已知现有A、B两种客车，A型客车的载客量为45人/辆，每辆租金为400元；B型客车的载客量为30人/辆，每辆租金为280元．设租用A型客车为x辆，所需费用为y元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该企业需要接的员工有205人，请求出租车费用最小值，并写出对应的租车方案．23．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O 交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB ＝3，BC＝6．（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分∠ABC，求∠BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．24．定义：按螺旋式分别延长n边形的n条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形．例如：如图1，分别延长多边形A1A2…A n 的边得A1′，A2′，…，A n′，若多边形A1′A2′…A n′与多边形A1A2…An相似，则多边形A1′A2′…A n′就是A1A2…A n的螺旋相似图形．（1）如图2，已知△ABC是等边三角形，作出△ABC的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明．（2）如图3，已知矩形ABCD，请探索矩形ABCD是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB与BC的比值；若不存在，说明理由．（3）如图4，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，分别延长CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形．若AA′＝kAC，请直接写出BB′，CC′的长（用含k的代数式表示）参考答案一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．﹣5的相反数是（）A．B．5C．﹣5D．﹣【分析】根据只有符号不同而绝对值相等两个数互为相反数，可得﹣5的相反数．解：﹣5的相反数是5，故选：B．2．下列运算中正确的是（）A．2a2•a＝3a3B．（ab2）2＝ab4C．2ab2÷b2＝2a D．（a+b）2＝a2+b2【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．解：（A）原式＝2a3，故A错误．（B）原式＝a2b4，故B错误．（D）原式＝a2+2ab+b2，故D错误．故选：C．3．新冠病毒平均直径为0.0001毫米，但它以飞沫传播为主，而飞沫的直径是大于5微米的，所以N95或医用口罩能起到防护作用，用科学记数法表示0.0001毫米是（）A．0.1×10﹣5毫米B．10﹣4毫米C．10﹣3毫米D．0.1×10﹣3毫米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.0001毫米＝10﹣4毫米；故选：B．4．一个不等式的解集为﹣1＜x≤2，那么在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据数轴上的点表示的数，右边的总是大于左边的数．这个解集就是不等式x ＞﹣1和x≤2的解集的公共部分．解：数轴上﹣1＜x≤2表示﹣1与2之间的部分，并且包含2，不包含﹣1，在数轴上可表示为：故选：A．5．某露天舞台如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从上面看，所得到的图形即可．解：该几何体的俯视图为故选：D．6．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率稳定在0.6，则估计口袋中大约有红球（）A．24个B．10个C．9个D．4个【分析】设口袋中红球有x个，用黄球的个数除以球的总个数等于摸到黄球的频率，据此列出关于x的方程，解之可得答案．解：设口袋中红球有x个，根据题意，得：＝0.6，解得x＝4，经检验：x＝4是分式方程的解，所以估计口袋中大约有红球4个，故选：D．7．某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人）317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．17，8.5B．17，9C．8，9D．8，8.5【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；由统计表可知，处于20，21两个数的平均数就是中位数，∴这组数据的中位数为＝8.5；故选：D．8．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF翻折得△GEF，若EG∥AD，FG∥DC，则以下结论一定成立的是（）A．∠D＝∠B B．∠D＝180°﹣∠B C．∠D＝∠C D．∠D＝180°﹣∠C【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BEG＝∠A，∠BFG＝∠C，再根据四边形内角和为360°，即可得到∠D的度数．解：∵GF∥CD，GE∥AD，∴∠BEG＝∠A，∠BFG＝∠C，由折叠可得：∠B＝∠G，∴四边形BEGF中，∠B+∠G＝2∠B＝360°﹣∠BEG﹣∠BFG，∴四边形ABCD中，∠B+∠D＝360°﹣∠A﹣∠C，∴2∠B＝∠B+∠D，∴∠B＝∠D，故选：A．9．如图，5×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，设经过图中格点A，C，B三点的圆弧与AE交于H，则弧AH的弧长为（）A．πB．πC．πD．π【分析】连接EB，BH，AB，根据勾股定理得到BE＝AB＝＝，AE＝＝，根据勾股定理的逆定理得到△ABE是等腰直角三角形，根据弧长公式即可得到结论．解：连接EB，BH，AB，∵BE＝AB＝＝，AE＝＝，∴BE2+AB2＝AE2，∴∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°，∴AB是圆的直径，∴∠AHB＝90°，∴BH⊥AH，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴弧AH所对的圆心角为90°，∴的长＝＝．故选：B．10．如图，四个菱形①②③④的较小内角均与已知平行四边形ABCD的∠A相等，边长各不相同．将这四个菱形如图所示放入平行四边形中，未被四个菱形覆盖的部分用阴影表示．若已知两个阴影部分的周长的差，则不需测量就能知道周长的菱形为（）A．①B．②C．③D．④【分析】设四个菱形①②③④的边长分别为a、b、c、d，设已知两个阴影部分的周长的差为l，分别用a，b，c，d表示出右上角和左下角阴影部分的周长，合并同类项，即可得出答案．解：设四个菱形①②③④的边长分别为a、b、c、d，设已知两个阴影部分的周长的差为l，由题意得：[（a+d﹣b﹣c）+b+b+（a+d﹣c）+c+（c﹣b）]﹣[（d﹣a）+（d﹣a）+a+a]＝l，整理得：2a＝l．∴若已知两个阴影部分的周长的差，则不需测量就能知道周长的菱形为①，故选：A．二、填空题（本题6小题，每小题5分，共30分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．12．分式方程＝的解是x＝﹣6．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：3x＝2x﹣6，解得：x＝﹣6，经检验x＝﹣6是分式方程的解，故答案为：x＝﹣6．13．已知圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，则这个圆锥的侧面积为20πcm2．（结果保留π）【分析】利用勾股定理易求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．解：∵圆锥的底面半径为4cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴圆锥的侧面积为2π×4×5÷2＝20πcm2．14．如图，平行四边形ABCD中，M，N分别为边BC，CD的中点，且∠MAN＝∠ABC，则的值是．【分析】延长AM与DC的延长线交于点E，先证明△ABM≌△ECM，得AM与AE的关系，AB与EN和ED的关系，再证明△EAN∽△EDA，由相似三角形比例线段便可得结论．解：延长AM与DC的延长线交于点E，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D，∵∠B＝∠MAN，∴∠ECM＝∠B＝∠MAN＝∠D，∵M是BC的中点，N是CD的中点，∴BM＝CM，CN＝DN＝，在△ABM和△ECM中，，∴△ABM≌△ECM（ASA），∴AB＝CE，AM＝EM，∴AE＝2AM，EN＝AB，ED＝2AB，∵∠EAN＝∠D，∠E＝∠E，∴△EAN∽△EDA，∴，即EA2＝ED•EN，∴，∴，∴．故答案为：．15．如图，已知平面直角坐标系中A点坐标为（0，4），以OA为一边在第一象限作平行四边形OABC，对角线AC、OB相交于点E，AB＝2OA．若反比例函数y＝的图象恰好经过点C和点E，则k的值为．【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，由已知条件及平行四边形的性质可得BC＝OA＝4，OC＝AB＝8，设C（x，），则点E（，），点B（x，+4），分别按照点E在反比例函数图象上和作为线段BD的中点，用两种方式表示出点E的纵坐标，从而得到关于x和k的等式，解得x和k的关系，再在Rt△COD中，由勾股定理得关于k的方程，解得k的值，舍去负值，即可得出答案．解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，∵A点坐标为（0，4），AB＝2OA．∴OA＝4，AB＝8，∵四边形OABC为平行四边形，∴BC＝OA＝4，OC＝AB＝8，点B、C、D共线，∵反比例函数y＝的图象恰好经过点C和点E，∴设C（x，），则点E（，），点B（x，+4），∵E为平行四边形对角线的交点，∴E为OB中点，∴点E的坐标又可以表示为：（，+2），∴＝+2，解得：＝，∴x＝，∴在Rt△COD中，由勾股定理得：+＝64，解得k＝．（负值舍去，因为反比例函数图象位于第一象限）．故答案为：．16．如图，半径为2的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是﹣．【分析】连接AG并延长，交BC于点F，由△ABC的重心为G，可知F为BC的中点，再由垂径定理可知OF⊥BC，从而可求得OF的长；在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，可判定△AGE∽△AFO，由相似三角形的性质列出比例式，求得GE的长，进而可得点E的坐标，利用勾股定理求出DE的长，根据G在以E为圆心，为半径的圆上运动，可知DG的最小值为DE的长减去，计算即可．解：连接AG并延长，交BC于点F，∵△ABC的重心为G，∴F为BC的中点，∴OF⊥BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOF＝60°，∴∠OBF＝30°，∴OF＝OB＝1，∵△ABC的重心为G，∴AG＝AF，在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，∵＝＝，∠FAO＝∠GAE，∴△AGE∽△AFO，∴＝，∴GE＝．∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，∴E（，0），∴DE＝＝，∴DG的最小值是﹣，故答案为：﹣．三、解答题（本题8小题，共80分.）17．（1）计算：2﹣1+2cos30°+（π﹣3.14）0﹣．（2）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、二次根式的性质计算；（2）根据分式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算得到答案．解：（1）2﹣1+2cos30°+（π﹣3.14）0﹣＝+2×+1﹣2＝++1﹣2＝﹣；（2）﹣＝﹣＝x﹣＝﹣＝，当x＝﹣2时，原式＝＝﹣4．18．延迟开学期间，学校为了全面分析学生的网课学习情况，进行了一次抽样调查（把学习情况分为三个层次，A：能主动完成老师布置的作业并合理安排课外时间自主学习；B：只完成老师布置的作业；C：不完成老师的作业），并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调查中，共调查了200名学生；（2）将条形图补充完整；（3）求出图2中C所占的圆心角的度数；（4）如果学校开学后对A层次的学生奖励一次看电影，根据抽样调查结果，请你估计该校1500名学生中大约有多少名学生能获得奖励？【分析】（1）通过对比条形统计图和扇形统计图可知：学习态度层级为A的有50人，占调查学生的25%，即可求得总人数；（2）由（1）可知：C人数为：200﹣120﹣50＝30人，将图①补充完整即可；（3）各个扇形的圆心角的度数＝360°×该部分占总体的百分比，所以可以求出：360°×（1﹣25%﹣60%）＝54°；（4）从扇形统计图可知，A层次的学生数占得百分比为25%，再估计该市近1500名初中生中能获得奖励学生数就很容易了．解：（1）50÷25%＝200（人）答：共调查了200名学生，故答案为：200；（2）C人数：200﹣120﹣50＝30（人）．条形统计图如图所示：（3）C所占圆心角度数＝360°×（1﹣25%﹣60%）＝54°．（4）1500×25%＝375（人）．答：该校学生中大约有375名学生能获得奖励．19．如图，直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象交于点A（0，3），已知该二次函数图象的对称轴为直线x＝1．（1）求m的值及二次函数解析式；（2）若直线y＝x+m与二次函数y＝ax2+2x+c的图象的另一个交点为B，求△OAB的面积；（3）根据函数图象回答：x为何值时该一次函数值大于二次函数值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值及二次函数解析式；（2）解析式联立组成方程组，解方程组求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象即可求得．解：（1）∵直线y＝x+m经过点A（0，3），∴m＝3，∴直线为y＝x+3，∵二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点A（0，3），且对称轴为直线x＝1．∴，解得，∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）解得或，∴B（1，4），∴△OAB的面积＝＝；（3）由图象可知：当x＜0或x＞1时，该一次函数值大于二次函数值．20．如图，BC是坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是45°和60°．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果保留根号）．【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC＝CD即可；（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH即可解决问题．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5，BH＝5，∴DH＝15，在Rt△ADH中，AH＝＝15，∴AB＝AH﹣BH＝15﹣10＝5（米）．答：AB的长度约为5米．21．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求DE的长．【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．【解答】证明：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O切线．（2）过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝＝4．∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4．22．在“前线医护人员”和全国人民的共同努力下，疫情得到了有效控制，宁波各大企业复工复产有序进行．为了实现员工“一站式”返岗，宁波某企业打算租赁5辆客车前往宁波东站接员工返岗．已知现有A、B两种客车，A型客车的载客量为45人/辆，每辆租金为400元；B型客车的载客量为30人/辆，每辆租金为280元．设租用A型客车为x辆，所需费用为y元．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该企业需要接的员工有205人，请求出租车费用最小值，并写出对应的租车方案．【分析】（1）根据总费用＝A型看成的费用+B型客车的费用，即可解决问题．（2）列出不等式求出x的范围，再根据x是整数，求出x的值，根据一次函数的性质即可解决问题．解：（1）设租用A型客车为x辆，则租用B型客车为（5﹣x）辆，由题意得：y＝400x+280（5﹣x）＝120x+1400．（2）由题意：45x+30（5﹣x）≥205，解得x≥，而费用y＝120x+1400，∵x为整数，x取最小，费用y最低，∴x＝4，∴方案为租用A型客车4辆，租用B型客车1辆．23．如图1，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点为E（点E在点P右侧），连结DE、BE，已知AB ＝3，BC＝6．（1）求线段BE的长；（2）如图2，若BP平分∠ABC，求∠BDE的正切值；（3）是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出AC＝3，由三角形ABC的面积可求出BE的长；（2）连接DP，证明△CPD∽△CAB，得出＝2，设DP＝BD＝x，则CD＝2x，由CB＝3x＝6，得出x＝2，根据tan∠BDE＝tan∠BPE可得出答案；（3）分三种情况，求出CP＝CD，求出CD，可得出答案．解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，∴AC＝＝＝3，∵BP为⊙O的直径，∴∠BEP＝90°，∴BE⊥AC，∵S△ABC＝×AB×AC，∴BE＝；（2）∵BP平分∠ABC，∴∠DBP＝∠ABC＝45°，连接DP，如图1，∵BP为⊙O的直径，∴∠DBP＝∠DPB＝45°，∴可设DP＝BD＝x，∵∠CDP＝∠ABC＝90°∴PD∥AB，∴△CPD∽△CAB，∴＝2，∴CD＝2x，∴CB＝3x＝6，∴x＝2，∴DP＝BD＝2，CD＝4，∴CP＝＝＝2，∴CE＝＝＝，∴tan∠BDE＝tan∠BPE＝＝＝3．（3）解：存在这样的点P．由△DCP∽△BCA，得，，∴CP＝CD，若△BDE是等腰三角形，可分三种情况：①当BD＝BE时，BD＝BE＝，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣，∴CP＝＝3﹣3．②当BD＝DE时，此时点D是Rt△CBE斜边的中点，∴CD＝BC＝3，∴CP＝；③当DE＝BE时，作EH⊥BC于点H，则H是BD的中点，∵∠ABC＝∠EHC＝90°，∴EH∥AB，∴，又∵AE＝AC﹣CE＝3﹣＝，∴BH＝DH＝＝，∴CD＝6﹣＝，∴CP＝．综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为3﹣3或或．24．定义：按螺旋式分别延长n边形的n条边至一点，若顺次连接这些点所得的图形与原多边形相似，则称它为原图形的螺旋相似图形．例如：如图1，分别延长多边形A1A2…A n 的边得A1′，A2′，…，A n′，若多边形A1′A2′…A n′与多边形A1A2…An相似，则多边形A1′A2′…A n′就是A1A2…A n的螺旋相似图形．（1）如图2，已知△ABC是等边三角形，作出△ABC的一个螺旋相似图形，简述作法，并给以证明．（2）如图3，已知矩形ABCD，请探索矩形ABCD是否存在螺旋相似图形，若存在，求出此时AB与BC的比值；若不存在，说明理由．（3）如图4，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，分别延长CA，AB，BC至A′，B′，C′，使△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形．若AA′＝kAC，请直接写出BB′，CC′的长（用含k的代数式表示）【分析】（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形，证明△DEF是等边三角形即可解决问题．（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似图形，设AB＝CD ＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y．分两种情形，利用相似三角形的性质以及相似矩形的性质，构建关系式证明a＝b即可解决问题．（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．设TB＝TB′＝m，证明△A′CC′≌△A′TB′（ASA），推出A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，构建关系式推出m＝k即可解决问题．解：（1）如图2中，延长AB到E，延长BC到F，延长CA到D，使得BE＝CF＝AD，连接EF，DF，DE．则△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠FCD＝∠EBF＝120°，∵BE＝CF＝AD，∴CD＝AE＝BF，∴△FCD≌△DAE≌△EBF（SAS），∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形，∴△DEF∽△ABC，∴△DEF是△ABC的一个螺旋相似图形．（2）如图3中，假设存在．四边形EFGH是矩形ABCD的螺旋相似图形，设AB＝CD ＝a，BC＝AD＝b，BE＝DG＝x，CF＝AH＝y．由题意：△BEF∽△AHE，∴＝＝，∴＝，当＝＝时，＝＝，∴x＝•y，ax+x2＝by+y2，∴by+•y2＝by+y2，∴a2＝b2，∴a＝b，即AB：BC＝1．当＝＝时．＝＝，∴x＝•y，ax+x2＝by+y2，∴•y+•y2＝by+y2，∴•y（1+）＝0，∵y≠0，1+≠0，∴a2＝b2，∴a＝b，即AB：BC＝1，综上所述，AB：BC＝1．（3）如图4中，作B′T⊥CB交CB的延长线于T．∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠TBB′＝∠ABC＝45°，∴∠TB′B＝∠TBB′＝45°，∴TB＝TB′，设TB＝TB′＝m，∵△A′B′C′是△ABC的螺旋相似三角形，∴A′C′＝B′C′，∠A′C′B′＝90°，∵∠A′C′C+∠B′C′＝90°，∠A′CC+∠C′A′C＝90°，∴∠C′A′C＝∠B′C′T，∵∠A′CC′＝∠T＝90°，∴△A′CC′≌△A′TB′（ASA），∴A′C＝TC′，CC′＝TB′＝BT，∴2+2k＝2+2m，∴m＝k，∴BB′＝k，CC′＝k．。